172勾股定理的逆定理旋轉(zhuǎn)勾股

1、講學(xué)案勾股定理17.2勾股定理的逆定理（二）基礎(chǔ)版【教學(xué)目標(biāo)】1掌握勾股定理及逆定理與旋轉(zhuǎn)綜合的圖形特征、基本思路以及問題類型，熟練解此類問題2掌握勾股定理及逆定理與常規(guī)問題的圖形特征、基本思路以及問題類型，熟練解此類問題3掌握勾股定理及逆定理與夾半角綜合的圖形特征、基本思路和變式類型，熟練解此類問題【重點(diǎn)難點(diǎn)】1旋轉(zhuǎn)問題（構(gòu)手拉手全等半角模型（構(gòu)Rt）【夯實(shí)基礎(chǔ)】&Rt ）； 2常規(guī)問題（導(dǎo)角導(dǎo)線、Rt斜邊中點(diǎn)處的直角、逆命題）； 3夾1勾股定理及逆定理與旋轉(zhuǎn)問題的圖形特征：2勾股定理及逆定理與旋轉(zhuǎn)問題的基本思路：3勾股定理及逆定理與旋轉(zhuǎn)問題的問題類型：【基本圖形】1 旋轉(zhuǎn)問題：2

2、等腰 Rt夾半角：（ 1）基本圖已知等腰 Rt ABC， ACB 90°， E、F 是斜邊 AB 上兩點(diǎn)， ECF 45°結(jié)論AE2 BF2 EF2證法旋轉(zhuǎn)法（ vs 過 A 作 AF AB 且 AF BF，連 CF、 EF ）； 軸對稱法 CEF CEF （ SAS）， Rt AEF CFA CFB （ SAS）， Rt AEF第 1 頁共 12頁中學(xué)數(shù)理化英工作室講學(xué)案勾股定理（ 2）變式圖已知等腰 Rt ABC， ACB 90°， E、F 是直線 AB 上兩點(diǎn)， ECF 45°結(jié)論AE2 BF2 EF2證法旋轉(zhuǎn)法（ vs 過 A 作 AF AB 且

3、 AF BF，連 CF、 EF ）；軸對稱法 CEF CEF （ SAS）， Rt AEF CFA CFB （ SAS）， Rt AEF重難點(diǎn)1勾股定理及逆定理與旋轉(zhuǎn)問題例一 （ 手拉手 ）（ 1）問題發(fā)現(xiàn)如圖 1， ACB 和 DCE 均為等邊三角形，點(diǎn)A、 D 、E 在同一直線上，連接BE填空： AEB 的度數(shù)為；線段AD 、 BE 之間的數(shù)量關(guān)系為；（ 2）拓展探究如圖 2， ACB 和 DCE 均為等腰直角三角形，ACB DCE 90°，點(diǎn) A、 D、 E 在同一直線上，CM為 DCE 中 DE 邊上的高，連接BE，請判斷 AEB 的度數(shù)及線段CM、 AE、BE 之間的數(shù)量關(guān)

4、系，并說明理由；（ 3）解決問題如圖 3，在 ABC 中， ACB 90°， AC BC 5，平面上一動(dòng)點(diǎn) P 到點(diǎn) B 的距離為 3，將線段 CP 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，得到線段 CD ，連 DA 、 DB、 PB，則 BD 是否有最大值和最小值，若有直接寫出，若沒有說明理由？第 2 頁共 12頁中學(xué)數(shù)理化英工作室講學(xué)案勾股定理圖1圖2圖3鞏固練習(xí)1如圖，在 ABC 中， ACB 90°， AC BC， P 是 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且 PA 3， PB 1，CD CP 2， CD CP，求 BPC 的度數(shù)例二 如圖，在 ABD 中， AB AD， BAD 9

5、0°， PA a， PB b（ 1）若 P 點(diǎn)在 ABD 外，且 APB 45°，求 PD 的長；（ 2）若 P 點(diǎn)在 ABD 內(nèi)，且 APB 135°，求 PD 的長第 3 頁共 12頁中學(xué)數(shù)理化英工作室講學(xué)案勾股定理鞏固練習(xí)1正方形ABCD 內(nèi)一點(diǎn) P，連接 PA、PB、PC （ 1）若 PA： PB： PC 1： 2： 3，求 APB 的度數(shù)；（ 2）若 PA2 PC2 2PB2，求證：點(diǎn) P 在對角線 AC 上例三 （ 1）利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法如圖1，點(diǎn) P 是等邊三角形ABC 內(nèi)一點(diǎn)，PA 1，PB 3 ，PC2求 BPC 的度數(shù)為利

6、用已知條件，不妨把BPC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得 APC，連接 PP，則 PP的長為；在 PAP中，易證 PAP 90°，且 PPA 的度數(shù)為，綜上可得 BPC 的度數(shù)為；（ 2）類比遷移如圖 2，點(diǎn) P 是等腰 Rt ABC 內(nèi)一點(diǎn)， ACB 90°， PA 2， PB2 ， PC 1求 APC 的度數(shù)；（ 3）拓展應(yīng)用如圖 3，在四邊形 ABCD 中，BC 4，CD 5，AB AC 1AD ， BAC2 ADC ，請直接寫出 BD 的長2圖1圖2圖3第 4 頁共 12頁中學(xué)數(shù)理化英工作室講學(xué)案勾股定理鞏固練習(xí)1在 ACD 中， AD4， CD 3；在

7、ABC 中， AB AC（ 1）如圖 1，若 CAB 60°， ADC 30°，在 ACD 外作等邊 ADD ，求證： BD CD ；求 BD 的長；（ 2）如圖 2，若 CAB 90°， ADC 45°，求 BD 的長圖1圖22請閱讀下面的材料：問題：如圖，在等邊 ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA2， PB3， PC 1，求BPC的度數(shù)和等邊 ABC的邊長；李明同學(xué)的思路是：將BPC 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖）根據(jù)李明同學(xué)的思路，進(jìn)一步思考后可求得BPC°，等邊 ABC 的邊長為連接PP（ 2）請你參考李明同學(xué)的思

8、路，探究并解決下列問題：如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且 PA5，BP2， PC 1，求 BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長第 5 頁共 12頁中學(xué)數(shù)理化英工作室講學(xué)案勾股定理例四 如圖，在等腰RtABC中，ACB 90°，點(diǎn)P 是 ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB 、PC，且PA 2 PC，設(shè) APB ， CPB （ 1）如圖 1，若 ACP 45°，將 PBC邊三角形，則， ；繞點(diǎn)C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至 DAC，連結(jié)DP ，易證DAP為等（ 2）如圖2，若 PB2 PA，則 ， ；（ 3）如圖 3，試猜想與 之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明圖1圖2圖3鞏固練習(xí)1如圖

9、， P 是正 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且PA 6， PB8， PC 10，求 S PAB SPAC 的值重難點(diǎn)2勾股定理及逆定理與常規(guī)問題例五 等邊 ABC 的邊長為2，P 是 BC 邊上的任一點(diǎn)（與B、C 不重合），連接 AP ，以 AP 為邊向兩側(cè)作等邊 APD 和等邊 APE，分別與邊AB、 AC 交于點(diǎn) M、 N（如圖）（ 1）求證： AM AN；（ 2）連接 DE 分別與邊 AB、AC 交于點(diǎn) G、 H，如圖，當(dāng) BAD 是多少度時(shí)， AD DH ？（ 3）在（ 2）的條件下， 以 DG 、GH 、HE 這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，并說明理由第6頁 共12頁中學(xué)數(shù)理化英工作室

10、講學(xué)案勾股定理鞏固練習(xí)1如圖， 在 ABC 中， ABC 45°， CD AB，BE AC，垂足分別為 D 、E，F(xiàn) 為 BC 中點(diǎn)， BE 與 DF 、 CD 分別交于點(diǎn) G、 H， ABE CBE（ 1）線段 HB 與 AC 相等嗎？若相等，請給予證明；若不相等，請說明理由；（ 2）求證： BG2 GE2 EA2 第 7 頁共 12頁中學(xué)數(shù)理化英工作室講學(xué)案勾股定理例六 （ Rt斜邊中點(diǎn)處的直角）如圖，在 ABC 中， D 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) M 是 AB 上的點(diǎn)，點(diǎn) N 在AC 邊上，并且 MDN 90°，如果BM2CN2DM 2 DN2，求證： BAC 90

11、76;鞏固練習(xí)1如圖，在 ABC 中， CA CB， ACB 90°， D 為 AB 的中點(diǎn)， M、 N 分別為 AC、 BC 上的點(diǎn)，且 DM DN（ 1）求證： CM CN 2 BD；（ 2）如圖，若M、 N 分別在 AC、 CB 的延長線上，探究CM 、CN、 BD 之間的數(shù)量關(guān)系2如圖，在 ABC中， AB 6， AC 10，AD是BC邊上的中線，且AD 4，延長AD到點(diǎn)E，使DEAD ，連接 CE（ 1）求證： AEC是直角三角形； （ 2）求BC邊的長第 8 頁共 12頁中學(xué)數(shù)理化英工作室講學(xué)案勾股定理3如圖， CD 是 ABC 的高， D 在邊 AB 上，且 CD 2

12、AD · DB，求證： ABC 為直角三角形重難點(diǎn) 3勾股定理及逆定理與夾半角模型例七 ABC 中， BAC 90°，ABAC，點(diǎn) D、E 在直線 BC 上，如圖 1，若 DAE 45°，求證：BD2 CE2 DE2【閱讀理解】要證明 BD 2 CE2 DE 2，設(shè)法將 BD 、CE、DE 轉(zhuǎn)化為某直角三角形的三邊即可，故過A 作AF AD ，且 AF AD 連接 CF 、EF 再通過證明 ABD ACF ， AED AEF 即可將 BD 、 CE、DE 三邊轉(zhuǎn)化到直角 ECF 中解決問題【拓展應(yīng)用】如圖 2，若 DAE 135°，其他條件不變，請?zhí)骄浚?/p>

13、以線段BE、 CD、 DE 的長度為三邊長的三角形是何種三角形？并說明理由圖1圖2鞏固練習(xí)1（ 1）如圖，在正方形 ABCD 中， AEF 的頂點(diǎn) E、 F 分別在 BC、 CD 邊上，高 AG 與正方形的邊長相等，求 EAF 的度數(shù)（ 2）如圖，在 Rt ABD 中， BAD 90°，AB AD，點(diǎn) M、N 是 BD 邊上的任意兩點(diǎn)， 且 MAN 45°，將 ABM 繞點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至 ADH 位置，連接NH，試判斷MN 、 ND、 DH 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由第 9 頁共 12頁中學(xué)數(shù)理化英工作室講學(xué)案勾股定理（ 3）在圖中，連接BD分別交AE 、

14、AF 于點(diǎn)M 、N，若EG 4，GF 6，BM 3 2 ，求AG、MN的長2如圖，已知在Rt AOB 中， OA OB， AOB 90°， E、 F 在 AB 上，且 EOF 45°（ 1）求證： EF2AE2 BF2；（ 2）如圖，過 E 作 EM OA 于 M，過 F 作 FN OB 于 N， ME、NF 交于點(diǎn) P，若設(shè) NF x，ME y，PE a，則 x2 y2 與 a2 之間的關(guān)系式為S2 、S3 ，則 S1 S2 與 S3 之間的數(shù)量關(guān)系為，若 AME 、 BFN 、 PEF 的面積分別為S1、例八 某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過程如下：如圖 1，在等腰 A

15、BC 中， AB AC， BAC 90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在點(diǎn)A 處，從 AB 邊開始繞點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC 于點(diǎn) D，直角邊所在的直線交直線 BC 于點(diǎn) E（ 1）小敏在線段BC 上取一點(diǎn)M，連接 AM ，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD 平分 BAM ，則 AE 也平分 MAC 請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；222同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決：小穎的想法：將ABD 沿 AD 所在的直線對折得到ADF ，連接 EF（如圖 2）；小亮的想法：將ABD 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到 ACG，連接 EG（如圖

16、 3）；請你從中任選一種方法進(jìn)行證明；第10頁共 12頁中學(xué)數(shù)理化英工作室講學(xué)案勾股定理（ 3）小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出當(dāng)45° 135°且 90°時(shí)，等量關(guān)系BD 2 CE2 DE 2 仍然成立，現(xiàn)請你繼續(xù)研究：當(dāng) 135° 180°時(shí)（如圖 4）等量關(guān)系 BD 2 CE2 DE 2 是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由圖1圖2圖3圖4鞏固練習(xí)1已知 Rt ABC 中， ACB 90°， CA CB，有一個(gè)圓心角為 45°，半徑長等于CA 的扇形 CEF 繞點(diǎn)C 旋轉(zhuǎn)，且直線CE、CF 分別與直線 A

17、B 交于點(diǎn) M、 N（ 1）如圖，當(dāng)AM BN 時(shí)，將 ACM 沿 CM 折疊，點(diǎn) A 落在弧 EF 的中點(diǎn) P 處，再將 BCN 沿 CN 折疊，點(diǎn) B 也恰好落在點(diǎn)P 處，此時(shí)， PM AM， PN BN， PMN 的形狀是，線段AM、 BN、 MN 之間的數(shù)量關(guān)系是（ 2 ）如圖，當(dāng)扇形CEF 繞點(diǎn)C 在 ACB 內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段MN 、 AM 、 BN 之間的數(shù)量關(guān)系是試證明你的猜想；（3）當(dāng)扇形 CEF繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)至圖的位置時(shí)，線段 MN、AM、BN之間的數(shù)量關(guān)系是（無需證明）第 11頁共 12頁中學(xué)數(shù)理化英工作室講學(xué)案勾股定理2（ 1）如圖， 在 ABC中，BA BC，D、E 是AC邊上的兩點(diǎn)， 且滿足DBE 1 ABC（ 0° CBE2 1 ABC）以點(diǎn) B 為旋轉(zhuǎn)中心，將 BEC 按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABC，得到 BEA（點(diǎn) C 與點(diǎn) A 重合，點(diǎn) E2到點(diǎn) E處）連接DE ，求證：