圓錐曲線中的定點、定值、最值、范圍問題專題訓練

1、第2講圓錐曲線中的定點、定值、最值、范圍問題專題訓練對接舟帶 求落實迎高著一、選擇題221 .若雙曲線點b2=1(a0, b0)與直線y=43x無交點，則離心率e的取值范圍是().A. (1,2)B.(1,2C. (1, V5)D.(1,洞解析 因為雙曲線的漸近線為y=1x,要使直線v= J3x與雙曲線無交點， a則直線y= $x應在兩漸近線之間，所以有b&V3,即bV3a,所以b23a2, ac2-a23a2,即 c204a2, e24,所以 1e02.答案 B222. 已知橢圓+$=1(0b2),左、右焦點分別為Fi, F2,過Fi的直線l交橢圓于A, B兩點，若|BF2|+AF2|的最大

2、值為5,則b的值是().A. 1B. . 2C.2D. 3解析 由橢圓的方程，可知長半軸長為a = 2；由橢圓的定義，可知|AF2|十|BF2|+ AB| = 4a=8,所以|AB|=8(|AF2| 十 |BF2|)3,由橢圓的性質，可知過橢圓2b2焦點的弦中，通徑最短，即2b = 3,可求得b2=3,即b = /Mi0cos a(sin a 6；2=469sin2 a i2sin a= 丫50 9in a+ |廣倔=5 業(yè)當且僅當sin of= 一2時取等號，所以 |PQ| 1),則 PAi PF2=(1x, y) (2 x, y) = 4x2 x 5.令 f(x) = 4x2x 5,則 f

3、(x)在1 , 十 00)上單調(diào)遞 增，所以當x=1時，函數(shù)f(x)取最小值，即PAi PF2取最小值，最小值為2.答案 26.已知A(1,2), B(-1,2),動點P滿足APBP.若雙曲線與一2=1(a0, b0) a b的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是 解析 設P(x, y),由題設條件，得動點P的軌跡為(x1)(x+ 1)+(y-2)(y-22)=0,即x2+(y 2)2=1,它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓.又雙曲線02-2b2= 1(a0, b0)的漸近線方程為y=2a，即bxiay= 0,由題息，可得一 2a 一 c1，gP7 1，所以 e=a 1

4、，故1eb0)與雙曲線/一b2=1的離心率分別為e1, 62,則s女的取值范圍為.9 a2 b2 解析可知e1=一a2 =b21a2, e22 a2 b2.2L . b=1 + 孑, a所以 e1+e2 = 22ee2? 0eie2b0),則 b=2*.由備=2, a2 = c2+b2,得 a = 4, 22:橢圓c的方程為2+ 12=1.當/ APQ=/BPQ時，F(xiàn)A, PB的斜率之和為0,設直線PA的斜率為k, 則PB的斜率為k, PA的直線方程為y3=k(x2),y-3=k(x-2),由x2 y2整理得一+ = 1116 十 121，(3+ 4k2)x2 + 8(3 2k) kx+ 4(

5、3 2k)2 48= 0,8(2k- 3 kx1 + 2 3 + 4k2，同理PB的直線方程為y3= k(x 2),可得x2+ 2 =8k(2k3)8k(2k+3)T 223+ 4k2= I723+4k2 16k2-12-48kx1 +x2 = 2-, x1 x2 = 772, 3 +4k 3 + 4k y1 y2 k(x1 一 2)+ 3 + k(x2 - 2 尸 3 , , Kab =x1 x2x1 x2k(x1 + x24k 1一x1一x2-21所以直線AB的斜率為定值2.10. (2014湖北黃岡中學等八校聯(lián)考)如圖所示，已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點F(1,0), C1的中心和C

6、2的頂點都在坐標原點，過點 M(4,0)的直線l與拋物線C2分別相交于A,(1)寫出拋物線C2的標準方程；求證：以AB為直徑的圓過原點；若坐標原點。關于直線l的對稱點P在拋物線C2上，直線l與橢圓C1有 公共點，求橢圓C1的長軸長的最小值.解(1)設拋物線的標準方程為y2 = 2px(p0),由 F(1,0),得 p = 2, C2: y2=4x.22(2)可設 AB: x= 4+ ny,聯(lián)立 y =4x,得 y 4ny 16=0.2 2設 A(xi, yi), B(x2, y2),則 yiy2=16, xix2= 6=16,.OA OB=xiX2 + yiy2=0,即以AB為直徑的圓過原點.

7、(3)設P(4t2,4t),則OP的中點(2t2,2t)在直線l上，得n=土，又. t0,得a，長軸長最小值為 34.11. (20i4金麗衢十二校聯(lián)考)如圖，過橢圓L的左頂點A(3,0)和下頂點B(0, i)且斜率均為k的兩直線li, 12分別交橢圓于C, D,又li交y軸于M, 12 交x軸于N,且CD與MN相交于點P.(i)求橢圓L的標準方程；(2)( i )證明存在實數(shù) N使得aM= 6P;(ii)求|OP|的取值范圍.解(i)由橢圓L的左頂點為A(-3,0),下頂點為B(0, i)可知橢圓L的標準2方程為：方+ y2 = i.(2)(i)證明由(i)可設直線li, l2的方程分別為y

8、=k(x+3)ffi y=kx- i,其中kw0,則 M(0,3k), N(1 0).7=k(x+3),由 記十 y2 1 消去 x 得(1 + 9k2)x2+ 54k2x+ 81k2-9= 0.-2 3-27k2以上方程必有一根一3,由根與系數(shù)的關系可得另一根為:c2，故點C的1 + 9k26k 、1 + 9k2),y=kx- 1,由* i消去 x彳#(1 + 9k2)x218kx= 0,3 27k 坐標為(彳有聲,18k解得一根為k18k9k21故點D的坐標為(渭，=9/).由11與12平行得MP=t MN, CP = t CD,然后，進行坐標運算，即可得出點3 3 3k 、 一( 3 3k、P的坐標為 白，皆),而AM=(313k), OP=i，17kJ- . AM=(1 + 3k)OP, 存在實數(shù)仁 1 + 3k,使得 AM= 20P. r 3 3 3k )CD由 0P=