求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法_(有答案)

1、練習(xí).已知數(shù)列an滿足a1a a n an 13,/(n2),求此數(shù)列的通項(xiàng)公式答案：裂項(xiàng)求和an求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法一、累加法1 .適用于：an 1 an f(n) 這是廣義的等差數(shù)列累加法是最基本的二個(gè)方法之"o2 .解題步驟：若 an 1 an f (n) (n 2),a2 ai f(1)a3 a2 f (2)則 3所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann 。' 'L Lan 1 an f (n) n兩邊分別相加得an 1 a1 f (n)k 1例1已知數(shù)列an滿足an 1 an 2n 1, ai 1 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：由 an 1 an 2n 1 得 an

2、1 an 2n 1 則an(anan 1)(an 1 an 2) L (a3a2)(a2 a1)a12( n1) 1 2(n 2) 1L (2 21) (2 11)12(n 1) (n 2) L 2 1 (n 1) 12( (n 1) 12(n 1)(n 1) 12n.下載可編輯.評(píng)注：已知a1 a, an1 anf(n),其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函2.解題步驟：若an 1an兩邊分別相乘得,an 1al例2已知數(shù)列an滿足an 12(n 1)5n an, ai3,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?an 1 2(n 1)5n an, a13,所以an0 ,則an 1an2(n 1

3、)5n,故數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng) an.若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和；若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。二、累乘法1.適用于：an i f(n)an 這是廣義的等比數(shù)列，累乘法是最基本的二個(gè)方法之f(n),則空 f(1),也 f(2),L L ,皿 f(n)ala2annaif (k)k 1_an_ a_1兔也。anL a11) 51 3an 1 an 2a2 al2(n 1 1)5112(n 2 1)5n 2 L 2(2 1) 522(1

4、2n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1) (n2) L 21 3n(n 1)n 1 L -Q-,3 25 2 n!n(n 1)所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an 3 2n 1 5 2n!.練習(xí).已知an 1nann 1,a11,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式答案：an(n 1)!(a11) -1an 1評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把原來的遞推關(guān)系式an 1 nan n 1，轉(zhuǎn)化為1 n(an 1)，若令bn an 1,則問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為bn 1nbn形式，進(jìn)而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式三、待定系數(shù)法適用于an 1 qan f (n)基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)

5、集的一 個(gè)函數(shù)。1.形如an 1 cand,(c 0,其中 a a型(1)若c=1時(shí)，數(shù)列 an為等差數(shù)列；(2)若d=0時(shí),數(shù)列 an為等比數(shù)列;來求.(3)若c 1且d0時(shí)，數(shù)列an為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列解題步驟:設(shè)an 1c(an)，得 an 1can(c1),與題設(shè)an 1 can d，比較系數(shù)彳導(dǎo)(c 1)d,(c 0)anc 1,所以有：c(an 1 c 1因此數(shù)列an 一 ca1 一構(gòu)成以 cd1為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)歹U,an所以(aid 、 n 1 cn)can (a1即：c、n 1 d)c n.例3已知數(shù)列an中,a11,an 2an 11(

6、n 2),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：Q an 2an1 1(n2),an2(an 11)練習(xí).已知數(shù)列an答案：2,anan中,(2)n11是首項(xiàng)為a12, an 12,公比為211-an 一22的等比數(shù)列求通項(xiàng)anan 1 2n,即 an2n 12.形如：an 1P anq（ 其中q是常數(shù)，且n 0,1）n若P=1時(shí)，即：an1 an q ,累加即可n若p 1時(shí)，即：an1 p an q ,求通項(xiàng)方法有以下三種方向：i.兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列即:P nan(-)bnbn1q ,令 P ,則1 ,P、nbn （）P q ,然后累加求通項(xiàng).ii.n 1兩邊同除以q ,目的是把

7、所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。an 1_p 包 1n 1n即：q q q qbn令annq ,則可化為bn 1P h bnqq,然后轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法第一種情況來解。.下載可編輯.注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求p q,否則待定系數(shù)法會(huì)失效。例4已知數(shù)列an滿足an 1解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)an 113n2(an3n 1)比較系數(shù)得14, iii. 2 2,n則數(shù)列an4 3是首項(xiàng)為a14 35 ,公比為2的等比數(shù)歹U,所以an4 3n 15 2n 1 an 4 3n 1 5 2n 1 :n 1解法二（兩邊同除以 qan 1n 1n 1兩邊同日中除以3得：32生4c «nN3 33 ,下面解法

8、略解法三（兩邊同除以an 1n 1n兩邊同時(shí)除以2 得：2an 4 .3.n，（力23 2,下面解法略3.形如 an 1 pankn（ 其中k,b是常數(shù)，且0)待定系數(shù)法解題步驟:通過湊配可轉(zhuǎn)化為(a nxny) p(an 1 x(n 1)y)比較系數(shù)求x、y;解得數(shù)列（an xny）的通項(xiàng)公式；得數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。例5 .在數(shù)列 4中,a1 一 ,2an2an 1 6n3,求通項(xiàng)an.（待定系數(shù)法）解：原遞推式可化為2（an xn y）an1 x(n1) y比較系數(shù)可得：x=-6 , y=9,上式即為2bnbn 1所以bn是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)biai6n 9bn即:an 6n1 c9 9

9、 (2)n1an 9 (-)故26n 9o練習(xí)在數(shù)列an中,a11, an 13an2n,求通項(xiàng)an. （逐項(xiàng)相減法）解:a n 1 3a n2n, n2 時(shí)，an3an 1 2(n 1),兩式相減得an 1a n 3(a n an 1 )2.令 bnan ,則 bn3bn知 bn 5 3n 12即 an 1 an5 3n 1 1an再由累加法可得亦可聯(lián)立an解出23n4.形如 an 1 pan（ 其中a,b,c是常數(shù)，且a 0)基本思路是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù),其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。例6已知數(shù)列an滿足an 12an 3n2 4n 5, a1 1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式

10、。解：設(shè) an1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(an xn2 yn z)比較系數(shù)得x 3,y 10,z 18,所以 an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2(an 3n2 10n 18),22由 ai 3 110 1 18 1 31 32 0 ,得 an 3n 10n 18 0則 an 1 3(n 1)10(n 1) 18 2,故數(shù)列an 3n2 10n 18為以an 3n2 10n 18 2a1 3 110 1 18 1 31 32為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此an 3n2 10n 18 32 2n 1 ,則 an 2n 4 3n2 10n 18。5.形如an 2pan

11、 1 qan時(shí)將an作為f(n)求解分析：原遞推式可化為an 2 an 1( p )(an 1 an)的形式，比較系數(shù)可求得an 1 an為等比數(shù)列。例7已知數(shù)列 an滿足an 25an 16an，a11，a22 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an 2an 1 (5)(an 1 an)比較系數(shù)得2,(取-3結(jié)果形式可能不同，但本質(zhì)相同)貝U an 22an 13(an 12an)，則an 1 2an是首項(xiàng)為4,公比為 3的等比數(shù)列an 12an4 3n 1n 1，所以an4 35 2n 1練習(xí).數(shù)列an中，若a18,a22,且滿足an24an 13an0,求an答案:an 11 3n四、不動(dòng)

12、點(diǎn)法目的是將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比(差)數(shù)列的方法不動(dòng)點(diǎn)的定義：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在f(x)x0 D ,使f(x0) x0成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)或稱(xo, f(xo)為函數(shù)f (x)的不動(dòng)點(diǎn)。分析：由f(x)x求出不動(dòng)點(diǎn)x0,在遞推公式兩邊同時(shí)減去xo,再變形求解。類型一：形如 an 1 qan d例8已知數(shù)列an中，a1 1,an 2an 1 1(n 2),求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。解：遞推關(guān)系是對(duì)應(yīng)得遞歸函數(shù)為f (x) 2x 1,由f (x) x得，不動(dòng)點(diǎn)為-1 an 1 1 2(an 1),類型二：形如an 1a an b c an d分析：遞歸函數(shù)為f (x)(1)

13、若有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)p,q時(shí)，將遞歸關(guān)系式兩邊分別減去不動(dòng)點(diǎn)p,q ,再將兩式相除得an 1 p . an p 苴中 a pc .(a1q pq)kn 1 (a1p pq)k，八十 k，一 an、, n 1,、an 1 qan qa qc(a p)k(a1 q)(2)若有兩個(gè)相同的不動(dòng)點(diǎn)p,則將遞歸關(guān)系式兩邊減去不動(dòng)點(diǎn)p,然后用1除，得1an 1 pk ,其中k an p2ca d例9.設(shè)數(shù)列an滿足a12, an 15an 4 一 ， 一，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(答案：an2an 7n 14 32n)4 3n 11分析：此類問題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解解：對(duì)等式兩端同時(shí)加參數(shù) t,得：5an

14、 4 t (2t 5) an 7t2an 72an 77t 4a n2t 5(2t 5)2t2an 77t 42t 5解之得t=1,-2一an t 廣代入 an1t (2t 5)得2an 7an 1an 2an 1 1 3, an 1 2 92an 72an 7相除得an 11an 121an1an1口“a11n一，即一是首項(xiàng)為 3an2an2a121 a11公比為1的等比數(shù)列，史一1 = 1 31 n,解得an3an2 44 3n 124 3n 11 .練習(xí).已知數(shù)列an滿足a1 2,an 12a. 1(n N ),求數(shù)列an的通項(xiàng)an4an 6答案:an13 5n10n 6五、對(duì)數(shù)變換法r

15、適用于an1pan(其中p,r為常數(shù))型p>0 , an例10.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列2an 滿足 a11 , an 2an 1(n>2).求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對(duì)數(shù)得：10g 2n1 2 log 2n1, log 2nbn 2bn 1bn 是以 2為公比的等比數(shù)列,nlog an 12n 1 log 2n2n 1 1. an 221 2(logan11),設(shè) bnlog2n1,貝b1 log211 bn1 2n12n11練習(xí)數(shù)列an中，a11 , an 2Yan 1 (nR2),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式答案:an22六、倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)2a例11已知數(shù)列

16、an滿足an 1 ,a1 1 ,求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。“ 一 111解：求倒數(shù)得1 an 12 anan 1an 21an1 ,，、-(n 1), an2七、階差法(逐項(xiàng)相減法)1、遞推公式中既有Sn,又有anS,n 1分析：把已知關(guān)系通過 an轉(zhuǎn)化為數(shù)列an或Sn的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的Sn Sn 1,n 2方法求解。1 ._例12已知數(shù)列七的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前 n項(xiàng)和Sn滿足Sn-(an1)(an2),且a2,a4,a9成6等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。1解：對(duì)任思n N有Sn (an 1)(an 2)61，當(dāng) n=1 時(shí)，S1 a1g 1)(a1 2),解得 a1 1 或 a1261當(dāng) n>2 時(shí)，Sn 1 -(an 1 1)(an 1 2)6-整