鮑亨忠文獻(xiàn)綜述(共6頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)文獻(xiàn)綜述 題 目：淺談“循環(huán)矩陣”的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué) 院：數(shù)理與信息學(xué)院學(xué)生姓名：鮑亨忠 學(xué) 號(hào)：專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范類(lèi)）班 級(jí)：B08數(shù)學(xué)指導(dǎo)老師：王小雙起止日期：2012.02.12-2012.03.15 2012年 3月15日循環(huán)矩陣的概念是于1885年首先提出來(lái)的, 所謂的循環(huán)矩陣是指形如矩陣其中, 這樣的矩陣稱(chēng)為數(shù)域的循環(huán)矩陣. 循環(huán)矩陣自提出以來(lái), 直到1950-1955年, Good等人開(kāi)始分別對(duì)循環(huán)矩陣的逆, 行列式及其特征值進(jìn)行了相應(yīng)地研究1-2. 目前有關(guān)循環(huán)矩陣的問(wèn)題依然是大家喜歡和熱愛(ài)研究的一個(gè)熱點(diǎn).自1950年以來(lái), 循環(huán)矩

2、陣被數(shù)學(xué)界高度重視, 發(fā)展迅速, 各種新的循環(huán)矩陣概念也被相繼提出, 已有十幾種: 如向后循環(huán)矩陣, 循環(huán)布爾矩陣, -(塊)循環(huán)矩陣, 循環(huán)矩陣, 向后(對(duì)稱(chēng))循環(huán)矩陣, 塊循環(huán)矩陣等等5-7. 許多數(shù)學(xué)工作者對(duì)它進(jìn)行了大量研究, 得出很多成果. 比如在文獻(xiàn)6給出了以下幾個(gè)性質(zhì): (1) 對(duì)于任意兩個(gè)循環(huán)矩陣與來(lái)說(shuō), 顯然有也是循環(huán)矩陣, 也是循環(huán)矩陣, 并且. 即任意兩個(gè)循環(huán)矩陣都是可交換的.(2) 任意的階循環(huán)矩陣都可以用基本循環(huán)矩陣線性表出, 即,其中基本循環(huán)矩陣,.,.(3) 基本循環(huán)矩陣是線性無(wú)關(guān)的.在文獻(xiàn)3中還循環(huán)矩陣的以下幾個(gè)性質(zhì):(4) 設(shè)都是數(shù)域上階循環(huán)矩陣, 數(shù),那么也都

3、是階循環(huán)矩陣. 性質(zhì)3表明: 循環(huán)矩陣對(duì)于通常的矩陣的加法 數(shù)乘矩陣以及矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算都是封閉的.(5) 若是階循環(huán)矩陣, 且是可逆, 那么也是循環(huán)矩陣.(6) 復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)階循環(huán)矩陣都可以對(duì)角化, 更一般地, 可由同一個(gè)復(fù)階可逆矩陣, 使復(fù)數(shù)域上任意階循環(huán)矩陣同時(shí)對(duì)角化.也可以換言之,(7) 任何一個(gè)循環(huán)矩陣在復(fù)數(shù)域上都與一個(gè)對(duì)角矩陣相似4.(8) 若是復(fù)數(shù)域上的階循環(huán)矩陣, 那么的行列式, 其中,是全部次單位根, .(9) 循環(huán)矩陣的伴隨矩陣是循環(huán)矩陣.(10) 若循環(huán)矩陣如前面定義, 則其中,即為所有次單位根. 即循環(huán)矩陣相似于對(duì)角矩陣.從性質(zhì)(10)可推出以下幾個(gè)性質(zhì): (11)

4、若循環(huán)矩陣可逆, 則逆矩陣為, 其中階矩陣, 它的共軛矩陣, 是方程的單位根. (12) 循環(huán)矩陣的特征值為, 從而它的秩為中非零的個(gè)數(shù).(13) 循環(huán)矩陣可逆的充要條件是方程無(wú)單位根.在線性代數(shù)中, 循環(huán)矩陣是一種特殊形式的矩陣, 它的行向量的每個(gè)元素都是前一個(gè)行向量各元素依次右移一個(gè)位置得到的結(jié)果. 由于可以用離散傅立葉變換快速解循環(huán)矩陣, 所以在數(shù)值分析中有重要的應(yīng)用.近年來(lái), 循環(huán)矩陣類(lèi)已成為矩陣?yán)碚摵蛻?yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)非?；钴S的和重要的研究方向, 而它之所以會(huì)引起數(shù)學(xué)工作者如此大的興趣, 是因?yàn)檠h(huán)矩陣是一類(lèi)具有特殊結(jié)構(gòu)且有良好性質(zhì)的矩陣, 并且是非常重要的矩陣, 同時(shí)它應(yīng)用非常廣

5、泛的一類(lèi)矩陣, 如在編碼理論, 數(shù)理統(tǒng)計(jì), 理論物理, 固態(tài)物理, 結(jié)構(gòu)計(jì)算, 分子軌道理論, 數(shù)學(xué)圖象處理等方面應(yīng)用很廣. 而循環(huán)矩陣的逆特征值問(wèn)題, 在力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì), 分子結(jié)構(gòu)理論, 線性多變量控制理論, 解多項(xiàng)式方程及數(shù)值分析等領(lǐng)域中也經(jīng)常出現(xiàn). 例如在解四次多項(xiàng)式方程, 考慮根的精確表達(dá)式這一問(wèn)題, 首先考慮循環(huán)矩陣.這里, , 次單位根是和. 由矩陣的第一行組成的多項(xiàng)式為:.通過(guò)計(jì)算可得矩陣的特征值為和, 對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 ,.矩陣的特征多項(xiàng)式是. 因此的解為. 數(shù)學(xué)循環(huán)矩陣當(dāng)中不光在解多項(xiàng)式方程里面有很大的應(yīng)用, 還在衍生出其他類(lèi)型的循環(huán)矩陣. 1950年以來(lái), 循環(huán)矩陣被

6、數(shù)學(xué)界高度重視, 發(fā)展迅速, 各種新的循環(huán)矩陣概念也被相繼提出, 已有十幾種: 如向后循環(huán)矩陣, 循環(huán)布爾矩陣, (塊)循環(huán)矩陣和循環(huán)矩陣, 向后(對(duì)稱(chēng)) 循環(huán)矩陣, 塊循環(huán)矩陣等等. 許多數(shù)學(xué)工作者對(duì)它進(jìn)行了大量研究, 得出很多成果. 本文在對(duì)已有文獻(xiàn)進(jìn)行深入討論和研究的基礎(chǔ)之上進(jìn)行分析總結(jié), 了解我們現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)循環(huán)矩陣性質(zhì)和應(yīng)用的實(shí)際的現(xiàn)狀綜合, 整理關(guān)于循環(huán)矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用, 并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步的討論.參考文獻(xiàn)1 Dan Kalman and James E.White, Polynomial Equations and Circulant MatricesJ, The Mathem

7、atical Association of America, 2001.11(18), 821-8402 Philip Davis, Circulant MatricesM, Wiley, New York, 1979, 12-253 張盛虞, 關(guān)于循環(huán)矩陣的一些性質(zhì)J, 贛南東南民族師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào), 2006.12 第24卷第6期4 吳世軒, 循環(huán)矩陣的若干性質(zhì)及應(yīng)用J, 南方冶金學(xué)院學(xué)報(bào), 2002年1月第23卷第1期5 徐春, 一類(lèi)特殊矩陣的性質(zhì)及求逆方法, 科技傳播J, 2010.116 李天增, 王瑜, 循環(huán)矩陣的性質(zhì)及求逆方法J, 四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2009 年8月第22卷第4期7 趙立寬, 岳曉鵬, 杜學(xué)知, 關(guān)于循環(huán)矩陣的幾個(gè)性質(zhì)的推廣J, 曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào), 2006年4月第32卷第2期 8 郭訓(xùn)香, 吳冬香,