鮑亨忠文獻(xiàn)綜述(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上畢業(yè)設(shè)計(論文)文獻(xiàn)綜述 題 目：淺談“循環(huán)矩陣”的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué) 院：數(shù)理與信息學(xué)院學(xué)生姓名：鮑亨忠 學(xué) 號：專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范類）班 級：B08數(shù)學(xué)指導(dǎo)老師：王小雙起止日期：2012.02.12-2012.03.15 2012年 3月15日循環(huán)矩陣的概念是于1885年首先提出來的, 所謂的循環(huán)矩陣是指形如矩陣其中, 這樣的矩陣稱為數(shù)域的循環(huán)矩陣. 循環(huán)矩陣自提出以來, 直到1950-1955年, Good等人開始分別對循環(huán)矩陣的逆, 行列式及其特征值進行了相應(yīng)地研究1-2. 目前有關(guān)循環(huán)矩陣的問題依然是大家喜歡和熱愛研究的一個熱點.自1950年以來, 循環(huán)矩

2、陣被數(shù)學(xué)界高度重視, 發(fā)展迅速, 各種新的循環(huán)矩陣概念也被相繼提出, 已有十幾種: 如向后循環(huán)矩陣, 循環(huán)布爾矩陣, -(塊)循環(huán)矩陣, 循環(huán)矩陣, 向后(對稱)循環(huán)矩陣, 塊循環(huán)矩陣等等5-7. 許多數(shù)學(xué)工作者對它進行了大量研究, 得出很多成果. 比如在文獻(xiàn)6給出了以下幾個性質(zhì): (1) 對于任意兩個循環(huán)矩陣與來說, 顯然有也是循環(huán)矩陣, 也是循環(huán)矩陣, 并且. 即任意兩個循環(huán)矩陣都是可交換的.(2) 任意的階循環(huán)矩陣都可以用基本循環(huán)矩陣線性表出, 即,其中基本循環(huán)矩陣,.,.(3) 基本循環(huán)矩陣是線性無關(guān)的.在文獻(xiàn)3中還循環(huán)矩陣的以下幾個性質(zhì):(4) 設(shè)都是數(shù)域上階循環(huán)矩陣, 數(shù),那么也都

3、是階循環(huán)矩陣. 性質(zhì)3表明: 循環(huán)矩陣對于通常的矩陣的加法 數(shù)乘矩陣以及矩陣的轉(zhuǎn)置運算都是封閉的.(5) 若是階循環(huán)矩陣, 且是可逆, 那么也是循環(huán)矩陣.(6) 復(fù)數(shù)域上任意一個階循環(huán)矩陣都可以對角化, 更一般地, 可由同一個復(fù)階可逆矩陣, 使復(fù)數(shù)域上任意階循環(huán)矩陣同時對角化.也可以換言之,(7) 任何一個循環(huán)矩陣在復(fù)數(shù)域上都與一個對角矩陣相似4.(8) 若是復(fù)數(shù)域上的階循環(huán)矩陣, 那么的行列式, 其中,是全部次單位根, .(9) 循環(huán)矩陣的伴隨矩陣是循環(huán)矩陣.(10) 若循環(huán)矩陣如前面定義, 則其中,即為所有次單位根. 即循環(huán)矩陣相似于對角矩陣.從性質(zhì)(10)可推出以下幾個性質(zhì): (11)

4、若循環(huán)矩陣可逆, 則逆矩陣為, 其中階矩陣, 它的共軛矩陣, 是方程的單位根. (12) 循環(huán)矩陣的特征值為, 從而它的秩為中非零的個數(shù).(13) 循環(huán)矩陣可逆的充要條件是方程無單位根.在線性代數(shù)中, 循環(huán)矩陣是一種特殊形式的矩陣, 它的行向量的每個元素都是前一個行向量各元素依次右移一個位置得到的結(jié)果. 由于可以用離散傅立葉變換快速解循環(huán)矩陣, 所以在數(shù)值分析中有重要的應(yīng)用.近年來, 循環(huán)矩陣類已成為矩陣?yán)碚摵蛻?yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個非?；钴S的和重要的研究方向, 而它之所以會引起數(shù)學(xué)工作者如此大的興趣, 是因為循環(huán)矩陣是一類具有特殊結(jié)構(gòu)且有良好性質(zhì)的矩陣, 并且是非常重要的矩陣, 同時它應(yīng)用非常廣

5、泛的一類矩陣, 如在編碼理論, 數(shù)理統(tǒng)計, 理論物理, 固態(tài)物理, 結(jié)構(gòu)計算, 分子軌道理論, 數(shù)學(xué)圖象處理等方面應(yīng)用很廣. 而循環(huán)矩陣的逆特征值問題, 在力學(xué)振動系統(tǒng)設(shè)計, 分子結(jié)構(gòu)理論, 線性多變量控制理論, 解多項式方程及數(shù)值分析等領(lǐng)域中也經(jīng)常出現(xiàn). 例如在解四次多項式方程, 考慮根的精確表達(dá)式這一問題, 首先考慮循環(huán)矩陣.這里, , 次單位根是和. 由矩陣的第一行組成的多項式為:.通過計算可得矩陣的特征值為和, 對應(yīng)的特征向量分別為 ,.矩陣的特征多項式是. 因此的解為. 數(shù)學(xué)循環(huán)矩陣當(dāng)中不光在解多項式方程里面有很大的應(yīng)用, 還在衍生出其他類型的循環(huán)矩陣. 1950年以來, 循環(huán)矩陣被

6、數(shù)學(xué)界高度重視, 發(fā)展迅速, 各種新的循環(huán)矩陣概念也被相繼提出, 已有十幾種: 如向后循環(huán)矩陣, 循環(huán)布爾矩陣, (塊)循環(huán)矩陣和循環(huán)矩陣, 向后(對稱) 循環(huán)矩陣, 塊循環(huán)矩陣等等. 許多數(shù)學(xué)工作者對它進行了大量研究, 得出很多成果. 本文在對已有文獻(xiàn)進行深入討論和研究的基礎(chǔ)之上進行分析總結(jié), 了解我們現(xiàn)在對數(shù)學(xué)循環(huán)矩陣性質(zhì)和應(yīng)用的實際的現(xiàn)狀綜合, 整理關(guān)于循環(huán)矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用, 并在此基礎(chǔ)上進行進一步的討論.參考文獻(xiàn)1 Dan Kalman and James E.White, Polynomial Equations and Circulant MatricesJ, The Mathem

7、atical Association of America, 2001.11(18), 821-8402 Philip Davis, Circulant MatricesM, Wiley, New York, 1979, 12-253 張盛虞, 關(guān)于循環(huán)矩陣的一些性質(zhì)J, 贛南東南民族師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報, 2006.12 第24卷第6期4 吳世軒, 循環(huán)矩陣的若干性質(zhì)及應(yīng)用J, 南方冶金學(xué)院學(xué)報, 2002年1月第23卷第1期5 徐春, 一類特殊矩陣的性質(zhì)及求逆方法, 科技傳播J, 2010.116 李天增, 王瑜, 循環(huán)矩陣的性質(zhì)及求逆方法J, 四川理工學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版), 2009 年8月第22卷第4期7 趙立寬, 岳曉鵬, 杜學(xué)知, 關(guān)于循環(huán)矩陣的幾個性質(zhì)的推廣J, 曲阜師范大學(xué)學(xué)報, 2006年4月第32卷第2期 8 郭訓(xùn)香, 吳冬香,