與圓有關(guān)的位置關(guān)系 華東師大版

1、與圓有關(guān)的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1探索并了解點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系2了解三角形的內(nèi)心和外心及內(nèi)切圓、外接圓、內(nèi)接三角形、外切三角形的概念3了解切線的概念，探索切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑之間的關(guān)系，掌握切線的識(shí)別方法4了解切線長(zhǎng)及切線長(zhǎng)定理5會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫(huà)圓的切線6知道圓與圓的五種位置關(guān)系的意義；弄清兩圓的半徑及圓心距之間數(shù)量關(guān)系及聯(lián)系【基礎(chǔ)知識(shí)精講】1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分為點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外三種情況，這三種位置關(guān)系，與點(diǎn)到圓心的距離(d)、圓的半徑(r)之間有著緊密的聯(lián)系這反映了“形”與“數(shù)”的內(nèi)在聯(lián)系，也就是說(shuō)：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，不僅可以用圖形來(lái)表現(xiàn)，還可以

2、由數(shù)量關(guān)系來(lái)表示，其對(duì)應(yīng)關(guān)系可簡(jiǎn)明地表示如下：圖形(點(diǎn)與圓)的位置關(guān)系數(shù)量(d與r)的大小關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)d<r點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)在圓外d>r(2)我們已知道，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小，即圓心和半徑是確定圓的兩個(gè)元素，所以過(guò)已知點(diǎn)畫(huà)圓的問(wèn)題，應(yīng)緊緊抓住圓心位置和半徑大小進(jìn)行探討當(dāng)圓心的位置確定了，圓的半徑也就隨之確定，因此過(guò)已知點(diǎn)畫(huà)圓的問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為找圓心的問(wèn)題，是否可以作圓以及能作多少個(gè)圓，都取決于能否確定圓心的位置和圓心的個(gè)數(shù)經(jīng)過(guò)探討：我們發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過(guò)平面上一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓經(jīng)過(guò)平面上兩個(gè)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓注意：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的無(wú)數(shù)個(gè)圓的圓心在已

3、知兩點(diǎn)連結(jié)的垂直平分線上經(jīng)過(guò)不在同一條直線上三點(diǎn)的圓的圓心是任意兩點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以畫(huà)一個(gè)圓，并且只能畫(huà)一個(gè)(3)經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形注意：三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)2直線與圓的位置關(guān)系(1)設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012數(shù)量關(guān)系d>rdrd<r注意：若一條直線與一個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)圓相離；若一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)圓相切；若一條

4、直線與一個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)圓相交3圓的切線(1)定義：和圓有唯一公共點(diǎn)的直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫切點(diǎn)(2)切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(3)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑推論：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心注意：是對(duì)“切線的識(shí)別”的兩種敘述方式，雖然形式上不相同，但本質(zhì)上是一致的，在解題時(shí)，我們可根據(jù)題目特點(diǎn)靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄔ趹?yīng)用切線的識(shí)別方法時(shí)，必須先弄清“題設(shè)”中的兩個(gè)事項(xiàng)：一是經(jīng)過(guò)半徑外端，二是垂直于這條半徑，這兩者缺一不可4切線長(zhǎng)定理(1)切線長(zhǎng)定義：我們把圓的切線上某

5、一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)(2)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角注意：我們要明確切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量5三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形注意：三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)6三角形外心、內(nèi)心有關(guān)知識(shí)比較圖形名稱確定方法性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)OAOBOC外心不一定在三角形的內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)

6、切圓的圓心)三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)ODOEOFOA、OB、OC分別平分BAC、ABC、ACB注意：我們一定要從文字、圖形和實(shí)際意義上區(qū)別“內(nèi)切圓”和“外接圓”這兩個(gè)概念，以免混淆7圓與圓的位置關(guān)系在平面內(nèi)，兩圓作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可以得到下面不同的位置關(guān)系(其中設(shè)R、r為兩圓的半徑，d為圓心距)位置關(guān)系圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)R、r與d的關(guān)系外離0d>Rr外切1dRr相交2Rr<d<Rr內(nèi)切1dRr內(nèi)含0d<Rr從上表中可看出，兩種圓的五種位置關(guān)系是從d很大，然后逐漸減小，它們的位置從外離逐漸演變成內(nèi)含注意：兩圓內(nèi)含時(shí)，如果d0，則兩圓同心，這是內(nèi)含的一種特殊情況【經(jīng)典例題精講】例

7、1 如圖23-2-1，已知等邊ABC的邊長(zhǎng)為，下列以A為圓心的各圓中，半徑是3cm的圓是( )分析：此題是考查線與圓的位置關(guān)系，由基本知識(shí)點(diǎn)可知，要判斷直線與圓的位置關(guān)系，只需知道圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系過(guò)A作ADBC，交BC于D，可求出AD3cm，即AD等于半徑，故圓與直線BC相切答案：C注意：要判斷直線與圓的位置關(guān)系，一定要知道圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，若題目中沒(méi)有直接給出，要想辦法求出例2 如圖23-2-2，AB為O的直徑，C為O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D，試說(shuō)明：AC平分DAB分析：CD是O的切線，連結(jié)OC，則OCCD連結(jié)圓心與切點(diǎn)是解決切線問(wèn)題時(shí)常用的作

8、輔助線方法之一解：連結(jié)OC，AC平分DAB注意：在解有關(guān)圓的切線問(wèn)題時(shí)，常常需要作出過(guò)切點(diǎn)的半徑例3 已知AB是O的直徑，BC是O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD(如圖23-2-3)試說(shuō)明DC是O的切線分析：欲說(shuō)明DC是O的切線，需連結(jié)OD證ODCD即可解：連結(jié)ODBC是O的切線，OBC90°，ODC90°DC是O的切線注意：欲說(shuō)明一條直線是圓的切線，需證這條直線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，這是證明某直線是圓的切線的方法之一，也是常用的方法例4 如圖23-2-4，已知PA、PB是O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，直線OP交O于點(diǎn)D、E，交AB于C(1)寫(xiě)出圖中所有的垂直關(guān)系；(2)寫(xiě)

9、出圖中所有的全等三角形；(3)如果PA4cm，PD2cm，求半徑OA的長(zhǎng)解：(1)OAPA，OBPB，OPAB(2)OAPOBP，OCAOCB，ACPBCP(3)設(shè)OAxcm在RtOAP中，OAxcm，OPODPD(x2)cm，PA4cm，由勾股定理得，x3答：半徑OA的長(zhǎng)為3cm例5 兩圓半徑長(zhǎng)分別是R和r(R>r)，圓心距為d，若關(guān)于x的方程有兩相等的實(shí)數(shù)根，則兩圓的位置關(guān)系是_A一定內(nèi)切B一定外切C相交D內(nèi)切或外切分析：此題考查了兩個(gè)方面的知識(shí)，一是一元二次方程根的判別式，二是圓與圓之間的位置關(guān)系，由題設(shè)條件得4(Rrd)(rRd)0R>r，Rrd，或Rrd兩圓的位置關(guān)系外切

10、或內(nèi)切答案：D注意：方程有兩相等實(shí)數(shù)根，說(shuō)明0這是一道代數(shù)與幾何綜合題，解題時(shí)一定注意分析明白例6 如圖23-2-5，施工工地的水平面上，有三根外很都是1米的水泥管兩兩相切摞在一起，則其最高點(diǎn)到地面的距離是( )A2BCD分析：如圖23-2-5，連結(jié)，設(shè)外切于點(diǎn)A，則在中，最高點(diǎn)C到水平面的距離答案：D注意：兩圓外切，連結(jié)圓心，即連心線是常用的輔助線，當(dāng)涉及到計(jì)算時(shí)，構(gòu)造直角三角形是常用的方法之一【中考考點(diǎn)】例7 (2002·陜西省)如圖23-2-6，兩個(gè)等圓O和O外切，過(guò)O作 O的兩條切線OA、OB，A、B是切點(diǎn)，則AOB等于( )A30°B45°C60

11、6;D90°分析：連結(jié)AO，OO，OA切O于A，OAOA在RtOAO中，OOA30°，同理OOB30°，AOB60°答案：C注意：兩圓相切，連心線必過(guò)切點(diǎn)，故OO2OA，另外考查了直角三角形的性質(zhì)例8 (1)(2002·南通市)已知兩圓的半徑分別為3cm和4cm，圓心距為2cm，那么這兩圓的位置關(guān)系是( )A內(nèi)含B相交C內(nèi)切D外離(2)(2002·揚(yáng)州市)已知兩圓的半徑為7和4，圓心距為5，那么這兩圓的公切線的條數(shù)是( )A1條B2條C3條D4條分析：(1)熟練地掌握兩圓的5種位置關(guān)系，一般抓住兩種特殊的位置關(guān)系，即(外切、內(nèi)切)，然

12、后推出其他三種情況即：內(nèi)切dRr(R>r)外切dRr相交Rr<d<Rr(R>r)外離d>Rr內(nèi)含d<Rr(R>r)(2)由位置關(guān)系判定公切線條數(shù)是常見(jiàn)題型答案：(1)B(2)B例9 (2001·北京市)如圖23-2-7，AB為半圓O的直徑，弦AD、BC相交于P點(diǎn)，若CD3，AB4，則tanBPD等于( )ABCD分析：要求tanBPD，必須構(gòu)建直角三角形，因此，連結(jié)BD，得ADB90°，但CD與AB無(wú)法直接運(yùn)用定理建立關(guān)系，所以此題關(guān)鍵是通過(guò)證PCDPAB，得，答案：A注意：當(dāng)證明有關(guān)線段的比例式才能直接運(yùn)用基本定理推導(dǎo)時(shí)，通常由“

13、三點(diǎn)定形法”證三角形相似例10 (2003·福州市)已知ABC內(nèi)接于O，過(guò)點(diǎn)A作直線EF(1)如圖23-2-8a，AB為直徑，要使EF是O的切線，還要添加的條件是(只需寫(xiě)出三種情況)_，或_，或_(2)如圖b，AB為非直徑的弦，CAEB，試說(shuō)明EF是O的切線分析：根據(jù)切線的判定定理，由AB是直徑，因此圍繞BAE90°可得到其他的條件解：(1)CAEB，ABEF，BACCAE90°，CFAB，EABFAB，供參考(2)證明：連結(jié)AO并延長(zhǎng)AO交O于H，連結(jié)HCHBAH是直徑，BCAECAEHAC90°HAEFEF是O的切線例11 (2002·北京

14、市西城區(qū))如圖23-2-9，已知AB為O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作O的切線，設(shè)切點(diǎn)為C(1)當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置如圖所示時(shí)，連結(jié)AC，作APC的平分線，交AC于點(diǎn)D，請(qǐng)你測(cè)量CDP的度數(shù)(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置如圖和圖所示時(shí)，連結(jié)AC，請(qǐng)你分別在這兩個(gè)圖形中用尺規(guī)作APC的平分線(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)，設(shè)此角平分線交AC于點(diǎn)D，然后在這兩個(gè)圖形分別測(cè)量出CDP的度數(shù)猜想CDP的度數(shù)是否隨點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置的變化而變化？并對(duì)你的猜想加以證明分析：這是一道融測(cè)量、猜想、證明于一體的綜合性問(wèn)題，測(cè)量是關(guān)鍵，因此要絕對(duì)準(zhǔn)確；猜想要合理解：(1)測(cè)量結(jié)果CDP45&

15、#176;(2)測(cè)量結(jié)果CDP45°(圖中)(3)圖中的測(cè)量結(jié)果CDP45°因此，猜想CDP的度數(shù)不隨點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置的變化而變化證法一：連結(jié)BC，如圖AB為O的直徑，ACB90°PC切O于點(diǎn)C，1APD平分APC，23412，CDPA3，CDP445°猜想正確證法二：如圖，連結(jié)OCPC切O于點(diǎn)C，PCOC1CPO90°PD平分APCOAOC，A31A3，猜想正確【常見(jiàn)錯(cuò)誤分析】例12 如圖23-2-10，PA、PB是O的切線，A、B為切點(diǎn)，APB78°，點(diǎn)C是O上異于A、B的任意一點(diǎn)，那么ACB_錯(cuò)解：51°正解：

16、51°或129°誤區(qū)分析：由于點(diǎn)C是O上異于A、B的任意一點(diǎn)，故點(diǎn)C可能在劣弧上，也可能在優(yōu)弧上，即點(diǎn)C有兩種位置關(guān)系，ACB有兩解，錯(cuò)因就是對(duì)位置關(guān)系考慮不全面，產(chǎn)生少一解的錯(cuò)誤例13 如圖23-2-11，兩圓同心，半徑分別為9cm和5cm，另有一個(gè)圓與這兩圓都相切，則此圓半徑為_(kāi)A2cmB7cmC2cm或7cmD4cm錯(cuò)解：選A正解：選C誤區(qū)分析：另有一個(gè)圓與這兩圓都相切存在兩種情況，如圖23-2-12一種是與大圓內(nèi)切與小圓外切，如，求得半徑為2cm一種是與大圓內(nèi)切與小圓內(nèi)切，如，求得半徑為7cm錯(cuò)因由于對(duì)位置關(guān)系考慮不全面，出現(xiàn)漏解錯(cuò)誤小結(jié)：經(jīng)過(guò)以上2題的錯(cuò)解原因，我

17、們解題一定要分類討論，考慮全面，以免出現(xiàn)漏解現(xiàn)象，同時(shí)要注意二值題型【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】1注意運(yùn)用類比的方法，如學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系可與點(diǎn)與圓的位置關(guān)系相類比，學(xué)習(xí)圓與圓的位置關(guān)系時(shí)與點(diǎn)與圓，直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行類比2我們學(xué)習(xí)點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)要應(yīng)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)和數(shù)形結(jié)合的思想方法，借助圖形的直觀，注意圖形位置關(guān)系變化時(shí)，相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系如何變化，抓住圖形的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中“形”(不同的位置關(guān)系)和“數(shù)”(相關(guān)的數(shù)量關(guān)系)之間的本質(zhì)聯(lián)系【規(guī)律總結(jié)】1判定一條直線是圓的切線，常有以下兩種情況：(1)當(dāng)已知直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，畫(huà)出以這個(gè)公共點(diǎn)為一個(gè)端點(diǎn)的半徑，再說(shuō)明這條半徑與已

18、知直線垂直(2)當(dāng)直線與圓的公共點(diǎn)尚未確定時(shí)，則應(yīng)畫(huà)出圓心到這條直線的垂線段，再說(shuō)明這條垂線等于圓的半徑2本單元常用輔助線：(1)有切點(diǎn)，可作過(guò)切點(diǎn)的半徑(2)兩圓相交，可作公共弦(3)兩圓相切，可作公切線(4)有半圓，可作整圓；有直徑，可作直徑所對(duì)的圓周角(5)圓與圓要心連心，即作連心線3遇有三角形的內(nèi)切圓，要聯(lián)想到：(1)三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等(2)三角形的內(nèi)心與三個(gè)頂點(diǎn)的連線平分三角形的三個(gè)內(nèi)角【同步達(dá)綱練習(xí)】一、填空題1一個(gè)圓的直徑是6cm，到圓心的距離是4cm的一點(diǎn)A在圓_2O的半徑r5cm，圓心O到直線l的距離dOD3cm，在直線l上有P、Q、R三點(diǎn)，且PD4cm，QD

19、>4cm，RD<4cm，則點(diǎn)P在圓_，點(diǎn)Q在圓_，點(diǎn)R在圓_3ABC中，O是它的外心，BC24cm，O到BC的距離為5cm，則ABC外接圓的半徑等于_cm4已知AOC60°，點(diǎn)B在OA上，且，若以B為圓心，R為半徑的圓與直線OC相離，則R的取值范圍是_5如圖23-2-13，RtABC中，ACB90°，A30°，BC4cm，若以點(diǎn)C為圓心畫(huà)圓與AB相切，則C的半徑等于_cm6如圖23-2-14，AB、AC是O的兩條切線，切點(diǎn)為B、C，D是優(yōu)弧BC上的點(diǎn)，已知BAC80°，那么BDC_7如圖23-2-15，PA與PB分別切O于A、B兩點(diǎn)，C是上任

20、意一點(diǎn)，過(guò)C作O 的切線交PA及PB于D、E兩點(diǎn)，若PAPB5cm，則PDE的周長(zhǎng)為_(kāi)cm8ABC的內(nèi)切圓O與BC、AC、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB13cm，BC14cm，AC9cm，則AF_，BD_，CE_9已知相切兩圓半徑分別為2cm和5cm，則兩圓的圓心距為_(kāi)10兩圓外切時(shí)，圓心距為12cm，當(dāng)它們內(nèi)切時(shí)，圓心距為3cm，兩圓半徑分別為_(kāi)與_，當(dāng)它們內(nèi)含時(shí)，圓心距的取值范圍是_二、選擇題11已知等腰ABC中，ABAC5，底邊BC6，若以頂點(diǎn)A為圓心，以4為半徑作A，則BC與A( )A相交B相切C相離D不能確定12如圖23-2-16，已知O的直徑AB與弦AC的夾角為30°

21、，過(guò)C點(diǎn)的切線PC與AB延長(zhǎng)交于P，PC5，則O的半徑為( )ABC10D513如圖23-2-17，點(diǎn)O是ABC的內(nèi)心，AO的延長(zhǎng)線交ABC的外接圓于點(diǎn)D，下列結(jié)論：BDCDDO；ACOABO；BODCOD；AOBCBO；OAOBOC其中正確的有( )A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D5個(gè)14若直角三角形斜邊長(zhǎng)為10cm，其內(nèi)切圓的半徑為2cm，則它的周長(zhǎng)為( )A24cmB22cmC14cmD12cm15半徑分別為1cm和5cm的兩個(gè)圓相交，則圓心距d的取值范圍為( )Ad<6B4<d<6C4<d<6D1<d<5三、解答題16如圖23-2-18，AB是O的直徑，AE平分BAC交O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作O的切線交AC于點(diǎn)D，試判斷AED的形狀并說(shuō)明理由17如圖23-2-19，要在一個(gè)直角三角形的鐵片上裁剪下一個(gè)圖片，已知AB6