解三角形(正弦定理余弦定理)知識(shí)點(diǎn)例題解析高考題匯總及答案

1、解三角形【考綱說(shuō)明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。2、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題【知識(shí)梳理】、正弦定理a1、正弦定理：在 ABC中，7sin Absin BcsinC2R （R為abc外接圓半徑）2、變形公式：（1）化邊為角:a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC;(2)化角為邊：sin A ,sin B ,sin C ; 2R 2R 2R(3) a: b: c sin A:sin B :sin C(4) 0-Aab 2R.sin A sin B sin C sin A sin B sinC3、

2、三角形面積公式:SABC1111abc2-ah -absinC -acsinB -bcsinA 2RsinAsinBsinC22224R4、正弦定理可解決兩類問(wèn)題：（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；（解唯一）（2）兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角.（解可能不唯一）、余弦定理21、余弦定理：a22b c 2bccosA222a b c acos A 2bc2 2 2b c a 2ac cos Bcos B22cab2ca222cab 2ab cosCcos C222abc2ab2、余弦定理可以解決的問(wèn)題：（1）已知三邊，求三個(gè)角；（解唯一）（2）已知兩邊和它們的夾角

3、，求第三邊和其他兩個(gè)角；（解唯一）（3）兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊，進(jìn)而可求其它的邊和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的應(yīng)用1、仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖1）B點(diǎn)的方位角為2、方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如3、方向角相對(duì)于某一正方向的水平角（如圖3）.（如圖2）.4、坡角：坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角（如圖 坡度：坡面的鉛直高度與水平寬度之比叫做坡度（或坡比）4).【經(jīng)典例題】1、（2012天津理）在ABC中，內(nèi)角A,B , C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知 8b=5c, C=2B,則 cosC7A

4、 . 25【答案】A7 B.257 C.2524 D.25【解析】Q 8b 5c,由正弦定理得8sin B5sinC ,又 QC2B, 8sinB 5sin 2B ,7252、（2009廣東文）已知 ABC中,A, B, C的對(duì)邊分別為a,b,c若a cV6亞且 A75°,則 b42 -所以 8sin B 10sin BcosB ,易知 sin B 0, cosB 一，c°sC c°s2B 2c°s B 15A . 2B. 4+ 273C. 4- 273D. 76 72【答案】A【解析】sin A sin 750 sin(300 450) sin300c

5、os45° sin 450 cos30°由 a c 66 J2可知，C 750，所以 B 300,sin B -2a.2 、6 1由正弦te理得b sin B 一 2,故選Asin A26 242 3、(2011 浙江)在 ABC 中，角 A, B,C 所對(duì)的邊分 a,b,c.右 acosA bsin B ,則 sinAcosA cos BA . -B. -C. -1D. 122【答案】D【解析】acosA bsin B , sin Acos A sin2 B ,222 . sin AcosA cos2 B sin2 B cos2 B 1 .4、（2012福建文）在ABC中

6、，已知 BAC60 , ABC 45 ,BC3，則 AC【解析】由正弦定理得ACsin 453sin 60AC 25、（2011 北京）在 VABC 中，若 b 5, B. A1 i一 ,sin A一,則 a43【答案】5-2-【解析】：由正弦定理得asin A又 b 5, B 一,sin A 一所以 sin B431355、. 2,a 3 sin 一46、（2012重慶理）設(shè) ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且cosA一 ,cos B 55,一，b 3,則 c13一 14【答案】c 1435412【斛析】由 cosA ,cos B - sin A ,sin B 一, 51351

7、33 4由正弦定理ab得a bsin A-513,sin Asin B sin B 12513由余弦定理 a2 c2 b2 2bccosA25c2 90c 56 014c 一57、（2011全國(guó)）4ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.己知a sin A csin C、. 2asin C bsin B .(I)求 B； (n)若 A 750,b 2,求a, c.【解析】（I）由正弦定理得a2 c2 72ac b2由余弦定理得b2a2,因此B 45o(II) sin Asin(30o 45o)sin300 cos45o cos30osin 45o,2 . 64.sin A b -sin

8、B<2,61 .3sinC 2 sin B8、（2012 江西文）ABC 中，角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c.已知 3cos（B-C）-1=6cosBcosC.(1)求cosA;(2)若a=3,AABC 的面積為 2J2 ,求 b,c.3(cosB cosC sin Bsin C) 1 6cos BcosC3cos B cosC 3sin Bsin C 1【解析】（1）3cos( B C) 1，1cos( A)3則 cos A(2)由,.、，自 2 2一 .（1）得sin A ，由面積可得bc=6，則根據(jù)余弦定理3222a b c acosA 2bc22b c 912c2 13

9、 ,兩式聯(lián)立可得9、（2011 安徽）在4ABC中,a, b,c分別為內(nèi)角A ,B, C所對(duì)的邊長(zhǎng),a=V3, b=V2, 1 2cos( B C)0,求邊BC上的高.【解析】：.A + B+C= 180°,所以 B + C = A,22c 2accosB .故 cosB 2又 1 2cos(B C) 0,，1 2cos(180o A) 0,1即 1 2cos A 0，cos A 二， 2又 0°<A<18O ,所以 A = 60°.在ABC中，由正弦定理asin Ab-得 sinB sin Bbsin A 、2sin60o、2又 b a,所以 B&l

10、t;A, B = 45°, C=75°, .BC 邊上的高 AD=ACsinC= J2sin75° J2sin(450 30o)、.2(sin 450 cos300 cos45o sin 30o)a,b,c.角A,B,C成等差數(shù)列10、（2012遼寧理）在 ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為（I）求cosB的值；（n）邊a,b,c成等比數(shù)列，求sin AsinC的值.1 【解析】(I)由已知2B A C,A B C , B -,cos B 32(n)解法一：b2 ac ,由正弦定理得 sin AsinC sin2 B 3 ,422222解法二：b2ac, cosB

11、 ac acac,由此得 a2b2 ac ac,得 a c2 2ac2ac3 所以 A B C -,sin AsinC 一3 4【課堂練習(xí)】1、（2012廣東文）在ABC中，若 A 60B 45 ,BC 3 2，則 ACA. 4萬(wàn)B, 2m22、（2011 四川）在4ABC 中，sin A2sin BC. V3sin2 CD.sin BsinC ,則A的取值范圍是（6, )C. (0,/. 3,)3、（2012陜西理）在 ABC中，角A, B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若a2 b2 2c2,則cosC的最小值為2224、（2012陜西）在 ABC中，角 A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a, b,

12、 c,若a b 2c ,則cosC的最小值為（）A.旦.在 C. 1 D,122225、（2011天津）如圖，在 ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且 AB CD,2AB J3BD,BC 2BD則sinC的值為（）3、3. 6、6A . - B. C. - D. 6、（2011遼寧）4ABC的三個(gè)內(nèi)角 A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c, asinAsinB+bcos2A= J2a ,則上 aA. 26B. 2&C. M7、（2012湖北文）設(shè) ABC的內(nèi)角A,B,C,所對(duì)的 邊分 別為a,b,c,若三邊的 長(zhǎng)為 連續(xù)的三個(gè) 正整數(shù)，且A B C,3bA . 4 ： 3 ： 220

13、acosA,則 sin A: sin B: sinC 為（B. 5 ： 6 ： 7C. 5 ： 4 ： 3）D. 6： 5 ： 48、（2011上海）在相距2千米的A. B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo) C,若CAB 750, CBA 600 ,則A C兩點(diǎn)之間的距離是千米。1 一9、 （2012重慶又）設(shè) ABC的內(nèi)角A B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且a=1, b=2,cosC ，則sinB410、（2012北京文）在 ABC中若a 3,b <3, A ,則 C的大小為.311、（2012陜西文）在三角形ABC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)分別為 a,b,c,若a=2 ,B= £ ,c=2 $

14、3 ,則b=112、（2012 北京理）在 4ABC 中，若 a 2,b c 7 , cosB -,則 b.413、已知 ABC得三邊長(zhǎng)成公比為 J2的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為 .14、如圖所示，貨輪在海上以40 km/h的速度沿著方位角（指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方 向線的水平轉(zhuǎn)角）為140°的方向航行，為了確定船位，船在B點(diǎn)觀測(cè)燈塔A的方位角為110°, 航行半小時(shí)后船到達(dá) C點(diǎn)，觀測(cè)燈塔 A的方位角是65。，則貨輪到達(dá) C點(diǎn)時(shí)，與燈塔 A的距離是多少?115、(2009 安徽理)在 ABC 中，Sin(C A) 1, sinB=. 3(I)求sinA的值;(II

15、)設(shè)AC= J6,求 ABC的面積.16、（2012 安徽文）設(shè) ABC的內(nèi)角 A,B,C 所對(duì)的邊為 a, b,c,且有 2sin BcosA sin AcosC cosAsinC（I）求角A的大小；（II）若b 2,c 1,D為BC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng).17、（2011江蘇）在4ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊為 a,b,c(1)若 sin(A ) 2cosA,求 A 的值；61 . 一右cos A ,b 3c,求sinC的值.318、（2012天津文）在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的分別是a,b,c.已知a 2,c J2,cos A4（I）求 sinC 和 b 的值；（II）求 cos（2

16、A ）的值.19、（2010陜西）如圖，A, B是海面上位于東西方向相距 5 3 ，3海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于 A點(diǎn)北偏東45°, B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60。且與B點(diǎn)相距20J3海里的C點(diǎn)的救援船立即即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá) D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？20、我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點(diǎn)C和D處，已知CD 6000米， ACD 45 , ADC 75 ,目標(biāo)出現(xiàn)于地面點(diǎn) B處時(shí)，測(cè)得 BCD 30 , BDC 15 （如圖），求炮兵陣地到目標(biāo)的距離（結(jié)果保留 根號(hào)）.【課后作業(yè)】1、（2009全國(guó)卷

17、n文）已知4ABC中,cot A12A .13r 5B.13C.12 一，則 cosA55D.122、（2009全國(guó)卷n理）已知 ABC中,12 A.135B.131312 A,貝U cosA5c 3d 12.13 .13cot A133、（2012湖南文）在ABC中,AC= J7 ,BC=2,B =60，則BC邊上的高等于（）A.B 3/3C 桓而 D 也癡2244、在 ABC 中，若 sin2A= sin2B+sin2C+ sinB sinC,則角 A 等于()A.B,守 C. 3f D.345、在 ABC 中，若 acosA= bcosB,則4 ABC 的形狀是（）A.等腰三角形 B.直

18、角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6、在 ABC 中，a ： b ： c= 1 ： 5 ： 6,則 sinA : sinB : sinC 等于（）A.1：5：6B.6： 5 ： 1C. 6：1：5D,不確定AC 一7、（2009湖南文）在銳角 AB。，BC 1,B 2A,則的值等于，AC的取值范圍為.cosA8、（2012湖北理）設(shè) ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若（a b c）（a b c） ab,則角C 9、在 ABC 中，已知 c= 10V2 , C=60°, a = 2°3,則/A=.10、在ABC中，已知三邊滿足（a+ b+c

19、）（a+b-c）=3ab,則/ C等于.11、在 ABC 中，若 a2 =tanA ,則 ABC 是. b tanB12、在ABC中，已知B=135°, C= 15°, a = 5,那么此三角形的最大邊的長(zhǎng)是.13、在 ABC 中，已知 sin2B-sin2C-sin2A = V3 sinAsinC,求 B 的度數(shù).14、如圖，在 ABC中，已知角B=45°, D 是 BC 邊上一點(diǎn)， AD = 5, AC= 7, DC = 3,求 AB.4D 32215、（2009全國(guó)卷I理） 在 ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為 a、b、c,已知a c 2b ,且sin

20、 AcosC 3cos Asin C,求 b.uuuA 2 516、（2009浙江理）在 ABC中，角A, B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c ,且滿足cos- , ABuuurAC 3 .（I）求 ABC的面積；（II）若b c 6,求a的值.17、已知 ABC的三個(gè)內(nèi)角 A、B、C依次成等差數(shù)列，又三邊 a、b、c依次成等比數(shù)列，求證：該三角形為正三 角形.cos A 2cos C18、（2011山東）在 ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知 cosB2c ab（I）求snC的值；（n）若cosB -,b 2,求 ABC的面積S。 sin A419、某觀測(cè)站C在目標(biāo)A南偏西25方向，從A出發(fā)有一條南偏東 35走向的公路，在C處測(cè)得公路上與 C相距31千米的B處有一人正沿此