八個無敵模型全搞定空間幾何的外接球和內(nèi)切球問題

1、八個有趣模型搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球(3)題-1文：付雨樓、段永建今天給大家?guī)?個求解立體幾何內(nèi)切球與外接球半徑的模型，本文最開始成員段永建老師進(jìn)源自付雨樓老 師分享的模型，教研QQ群（群號：545423319）步作圖編輯優(yōu)化分享。類型一、墻角模型（三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）圖3圖4方法:找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）2b2c2，即 2RJOc2，求出 R例1A.（1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為16 B . 20 C . 24體積為16，則這個球的表面積是（.32(2)若三棱錐的三個側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長均為則其外接球的表面積是解:(1) Va

2、2h16，a2，4R2 a22 h24 4 16 24，S24 ，選 C；(2)4R23 3在正三棱錐SABC 中,M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且AMMN ,若側(cè)棱SA2j3,則正三棱錐S ABC外接球的表面積是36解：引理：正三棱錐的對棱互垂直 。證明如下: 如圖（3） -1，取AB, BC的中點(diǎn)D, E，連接AE,CD，AE,CD交于H，連接SH，則H是底面正三角形ABC的中心， SH 平面ABC， SH AB，AC BC， ADBD， CD AB， AB 平面 SCD，AB SC，同理:BC SA，ACSB，即正三棱錐的對棱互垂直,本題圖如圖（3） -2，AMMN，SB/MN，AM

3、SB， AC SB，SB平面SAC，CSB SA, SB SC， SB SA, BC SA,SA 平面 SBC， SA SC，故三棱錐S ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，(2R)2(2 備2(2 忑)2(273)2236，即 4R236 ,正三棱錐SABC外接球的表面積是36C四面體 S ABCSA 平面ABC(6)解析:BCBAC120 ,SA AC 2, AB40D.31,則該四面體的外接球的表面積為（D ） A.11C.103如果三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為 何體外接球的體積為(4)在 ABC 中，BC2 AC2AB2 2ABB.

4、7, ABC的外接球直徑為2rBC sinBAC6、4、3，那么它的外接球的表面積是1的等腰直角三角形和邊長為 1的正方形,BCCOS120(2R)2 (2r)2 SA2 (誓)2 4403（5）三條側(cè)棱兩兩生直,設(shè)三條側(cè)棱長分別為ab12bcabc24， a 3， bac(6) (2R)b2c23, R234R3類型二、1.題設(shè)：如圖5, PA 平面ABC解題步驟：垂面模型（一條直線垂直于一個平面）則該幾3，選a,b, C( a,b,c，則c 2 , (2r)2b229, S 4 R229第一步:將 ABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點(diǎn)，作小圓的直 徑AD，連接PD，貝y PD必過球心

5、O ;第二步:Oi為ABC的外心，所以O(shè)Oi 平面ABC，算出小圓Oi的半第三步:徑O1Dasin Ar （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得be12r), OO1PA ；sin B sin C2利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 PA2(2r)2 2R J PA2(2r)2 ；R Jr2 OO122.題設(shè)：如圖6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心三棱錐P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)R2r2 OO12三棱錐PP點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)ABC的三條側(cè)棱相等POi圖6P圖7-1PP01 圖7-2圖8PB.圖8-3 _4PP圖8-1圖8-2解題步驟:第一步:確定球心0的位置

6、，取ABC的外心0i，則P,O,Oi三點(diǎn)共線;第二步:先算出小圓 01的半徑AO1 r，再算出棱錐的高 PO1 h （也是圓錐的高）第三步:勾股定理： OA2 O1A2 O1O2R2 (h R)2 r2，解出 R方法二:小圓直徑參與構(gòu)造大圓。例2 一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為16C. D .以上都不對3A. 3B. 2()C解：選 C,(V3R)21R2,32V3rR21R2,42V3r0,OmiflrRT類型三、切瓜模型（兩個平面互相垂直）P圖9-1圖9-2圖9-3圖9-41題設(shè)：如圖9-1，平面PAC 平面ABC , 第一步：第二步:易知球心 O必是 PAC的外

7、心，即a在 PAC中，可根據(jù)正弦定理 sin A且AB BC （即AC為小圓的直徑）PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑b cAC2r ；2.如圖9-2，平面 PAC平面ABC，且ABsin B2R，求出Rsin CBC（即AC為小圓的直徑）0C2O1C2 O1O2R2r2 O1O2AC2Jr2 O1O29-3，平面 PAC三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等 圓錐的頂點(diǎn) 解題步驟：3.如圖外心平面ABC，且ABBC三棱P（即AC為小圓的直徑），且 P的射影是 ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)ABC的P點(diǎn)也是第一步:確定球心 O的位置，取 ABC的外心01，則P,0,01三點(diǎn)共線;第二步:先

8、算出小圓 Oi的半徑AOir，再算出棱錐的高 POj h （也是圓錐的高）；第三步:勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2(h R)2 r2，解出 R4.如圖9-3，平面PAC 平面ABC，且ABBC （即AC為小圓的直徑），且 PA AC，則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2PA2 (2r)22R JPA2 (2r)2 ； R2 r2 OO12 R Jr2 OO12例3 (1)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1，底面邊長為2j3，則該球的表面積為(2)正四棱錐S ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為 莊，各頂點(diǎn)都在同一個球面上，則此球的體積為2解：(1)由正弦定理或找球心

9、都可得 2RS 4 R249(2)方法一：找球心的位置，易知r 1 , h1,方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是42R 2, R 1 , V 34h r ,故球心在正方形的中心 ABCD處，R 1, V 3SAC的外接圓，此處特殊，Rt SAC的斜邊是球半徑，(3)在三棱錐P ABC中，PA PB PCJ3,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60 ,則該三棱錐外接球的體積為(A.B.C. 4D.解：選D,圓錐A, B,C在以r逅的圓上，20的求面上,AABC是邊長為1的正三角形，SC為球0的直(4)已知三棱錐S ABC的所有頂點(diǎn)都在球 徑,且SC 2，則此棱錐的體積為(B.D.422解：00

10、1 Jr2 r2J1爭1 -Sh326丘類型四、漢堡模型(直棱柱的外接球、圖10-2，圖圓柱的外接球)10-3,直三棱柱內(nèi)接于球題設(shè)：如圖10-1 ,是任意三角形)(同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以第一步：確定球心0的位置，01是 ABC的外心，則001 平面 ABC ；第二步：算出小圓0“ 的半徑 A01 r , 0011AA121h ( AA h也是圓柱的咼)；第一步：先畫出如圖所示的圖形，將BCD畫在小圓上，找出BCD和 ABD的外心H1和H2 ；第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 (£)22j 2 h 2r RI，解出R例4(1) 一個正六棱柱的底面上

11、正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上,9且該六棱柱的體積為一，底面周長為3，則這個球的體積為8 解：設(shè)正六邊形邊長為正六棱柱的高為 h，底面外接圓的關(guān)徑為3底面積為S 6 473，R2y/3 21x2 A(R(R1R 1，球的體積為V 43(2)直三棱柱 ABC A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上,ABACAAi2, BAC 120，則此球的表面積等于解：BC2麗，2r 藹4，r 2，R 亦，S20(3)已知EAB所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直,EA EB3, AD 2, AEB 60，則多面體 EABCD的外接球的表面積為。16解析：折疊型，法一:EA

12、B的外接圓半徑為r1OO1DR Vl 32 ；法二:O1MO2DVis2,R213 4, R 2, S 164(4)在直三棱柱ABCAl B1C1 中，AB4,AC6,A亍AA14則直三棱柱 ABC A1B1C1的外接球的表面積為160解析:2BC 163628,BC 2V7,2r2/7732R2r2(竽)2283403類型五、折疊模型題設(shè)：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖11)第二步：過H1和H2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心 0,連接0E,0C ；第三步：解OEH1，算出 OH1，在 Rt OCH1 中，勾股定理： OH2 CH12 OC2P

13、ABC中，平面PAC 平面ABC， PAC和 ABC均為邊長為2的正三角形，則三棱 錐P ABC外接球的半徑為.例5三棱錐解析:2ri222sin 602r1 r2 石，02h173，R2o2h22r1法二:O2HR2AO2AH1,CAH 2 O1H 2O1O2類型六、對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）(AB CD，AD BC，AC BD)題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等， 求外接球半徑 第一步：畫出一個長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱；第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為a,b,c，ADBC x，ABCDy，AC BD z，列方程組,2ab22cb2c22a2x2y2z(2R)2 a

14、2b2補(bǔ)充:VaBCDabctabc64-abc3圖12第三步：根據(jù)墻角模型,2RVa2 b2 c2R2222X y z8（222，求出R，例如,正四面體的外接球半徑可用此法。(1)題例6（ 1）棱長為2的正四面體的四個頂點(diǎn)都在同一個球面上，若過該球球心的個截面如圖，則圖中三角形 (正四面體的截面)的面積是 (2) 一個正三棱錐的四個頂點(diǎn)都在半徑為在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是A.婕 B .逅 C431的球面上，其中底面的三個頂點(diǎn))12解：(1)截面為 pcOi,面積是J2；(2)高h(yuǎn) R 1，底面外接圓的半徑為直徑為2R(1)題解答圖P設(shè)底面邊長為a，則2Rsiny 2，3/

15、9;341三棱錐的體積為V Sh3(3)在三棱錐A BCD中，AB CD2,AD BC 3,ACBD 4,則三棱錐 A BCD外接球的表面積為29O 2解析：如圖12,設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個長度為三對面的對角線長,設(shè)長寬高分別為a, b, c，則a2 b29 ,b2c2c2a2162(a2b2 c2) 9 4 1629，2(a2 b2 c2) 9 4 1629 ,a22929 ,4 R 2如圖所示三棱錐 A BCD廠其中AB CD 5, AC BDb2c22T，S6,AD(4)表面積為.解析：同上，設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為2(a2 b2 c2)25 36 491

16、10，a2 b2 c255，4R255，【55;對稱幾何體；放到長方體中】(5) 正四面體的各條棱長都為72，則該正面體外接球的體積為 BC解析：這是特殊情況,但也是對棱相等的模式，放入長方體中,2R 73，7,則該三棱錐外接球的a,b,c，55L73R ，V2類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同，也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型題設(shè)： APB ACB 90，C求三棱錐P ABC外接球半徑(分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)O,連接1OP,OC，則0A 0B 0C 0P AB , 0為三棱錐P ABC外接球球心，然后在 OCP中求出 2半徑)，當(dāng)看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面

17、角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定 值。例7 (1)在矩形ABCD中，AB 4,則四面體ABCD的外接球的體積為(A.空 B .竺1295解：( 1) 2R AC 5 , R 5 , V2(2)在矩形 ABCD 中，AB 2, BC的外接球的表面積為BC3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角 B AC D , )125百I 412512533,沿BD將矩形1254，選6ABCD折疊,連接AC ,所得三棱錐 A BCD解析：(2) BD的中點(diǎn)是球心0 , 2R BD,S 4 R213類型八、錐體的內(nèi)切球問題1.題設(shè)：如圖14，三棱錐P ABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步:先現(xiàn)出內(nèi)切球

18、的截面圖，E,H分別是兩個三角形的外心;第二步:求DHiBD3P0 PH r, PD是側(cè)面ABP的高;第三步:由 POE相似于PDH，建立等式：-0EDHP0 ,解出rPDC圖142.題設(shè)：如圖15，四棱錐ABC上正四棱錐，求其外接球的半徑第一步:先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖,P,O,H三點(diǎn)共線;第二步:求 FH 1BC , P02PH r , PF是側(cè)面PCD的高;第三步:由 POG相似于 PFH，建立等式： 29HF0，解出PFP3.題設(shè)：三棱錐 P ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等 第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為 r ,建立等式：VPABCVoABCVOPABVP ABCIsABC1SPAB r SPAC331sc SPBC3(S ABCS PABSpACS PBC ) r第三步:解出3Vp ABCSO ABCSO PABSO PACS0 PBC習(xí)題：1.若三棱錐A. 3ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA 2 ,B. 6C. 36D. 9SB SC4,則該三棱錐的外接球半徑為(3解：【A】(2R)2 74 16