多次相遇問題

1、”剖析、直線型直線型多次相遇問題宏觀上分“兩岸型”和“單岸型”兩種?！皟砂缎汀笔侵讣?、乙兩人從路的兩端同時(shí)出發(fā)相向而行；“單岸型”是指甲、乙兩人從路的一端同時(shí)出發(fā) 同向而行。現(xiàn)在分開向大家一一介紹:（一）兩岸型兩岸型甲、乙兩人相遇分兩種情況，可以是迎面碰頭相遇，也可以是背面追及相遇。題干如果沒有明確說明是哪種相遇，考生對兩種情況均應(yīng)做出思考。1迎面碰頭相遇:如下圖，甲、乙兩人從 A、B兩地同時(shí)相向而行，第一次迎面相遇在 a處，（為清楚表示兩人走的路程，將兩人的路線分開畫出）則共走了 1個(gè)全程，到達(dá)對岸b后兩人轉(zhuǎn)向第二次迎面相遇在c處，共走了 3個(gè)全程，則從第一次相遇到第二次相遇走過的路程是第一

2、次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了 2個(gè)全程。所以第三次相遇共走了5個(gè)全程，依次類推得出：第 n次相遇兩人走的路程和為（2n-1）S，S為全程。而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分開看每個(gè)人都是2倍關(guān)系，經(jīng)?？梢杂眠@個(gè)2倍關(guān)系解題。即對于甲和乙而言從a到c走過的路程是從起點(diǎn)到 a的2倍。Ab相遇次數(shù)全程個(gè)數(shù)再走全程數(shù)2n-12、背面追及相遇與迎面相遇類似，背面相遇同樣是甲、乙兩人從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如下圖，此時(shí)可假設(shè)全程為4份，甲1分鐘走1份，乙1分鐘走5份。則第一次背面追及相遇在a處，再經(jīng)過1分鐘，兩人在b處迎面相遇，到第3分鐘，甲走3份，乙走15份，兩人在c處相遇。我們可以觀察

3、，第一次背面相遇時(shí)，兩人的路程差是1個(gè)全程，第二次背面相遇時(shí)，兩人的路程差為3個(gè)全程。同樣第二次相遇多走的路程是第一次相遇的單看每個(gè)人多走的路程也是第一次的2倍。依次類推，得：第n次背面追及相遇兩人的路程差為（2n-1）S。ba.（二）單岸型單岸型是兩人同時(shí)從一端出發(fā)，與兩岸型相似，單岸型也有迎面碰頭相遇和背面追 及相遇兩種情況。1、迎面碰頭相遇:如下圖，假設(shè)甲、乙兩人同時(shí)從 A端出發(fā)，假設(shè)全程為3份，甲每分鐘走2份，乙每分鐘走4份，則甲乙第一次迎面相遇在 a處，此時(shí)甲走了 2份，乙走了 4份，再過1分鐘，甲共走了 4份，乙共走了 8份，在b處迎面相遇，則第二次相遇多走的跟第一次2ns。相遇相

4、同，依次類推，可得出：當(dāng)?shù)?n次碰頭相遇時(shí)，兩人的路程和為411空,1 1|1b W£2、背面追及相遇與迎面相遇相似，假設(shè)全程為3份，甲每分鐘走1份，乙每分鐘走7份，則第一次背面相遇在a處，2分鐘后甲走了 2份，乙走了 14份，兩人在b處相遇。第一次相遇,兩人走的路程差為2S,第二次相遇兩人走的路程差為 4S,依次類推，可以得出：當(dāng)?shù)趎次追及相遇時(shí)，兩人的路程差為2ns。第n次背面追及相遇，兩人的路程差為2ns?！爸本€型”總結(jié)（熟記）兩岸型:第n次迎面碰頭相遇，兩人的路程和是(2n-1)S。第n次背面追及相遇，兩人的路程差是(2n-1)S。單岸型:第n次迎面碰頭相遇，兩人的路程和為2

5、ns。A 150B、170C、180F面列出幾種今后可能會(huì)考到的直線型多次相遇問題常見的模型:模型一 :根據(jù)2倍關(guān)系求AB兩地的距離?！纠?】甲、乙兩人在 A B兩地間往返散步，甲從 A,乙從B同時(shí)出發(fā)，第一次相遇點(diǎn)距B60米，當(dāng)乙從A處返回時(shí)走了 10米第二次與甲相遇。 A B相距多少米?200【答案及解析】B。如下圖，第一次相遇在 a處，第二次相遇在 b處，aB的距離為 60，Ab的距離為10。以乙為研究對象，根據(jù) 2倍關(guān)系，乙從a到A,再到b共走了第一次相遇的2倍，即為60X 2=120米，Ab為10,則Aa的距離為120-10=110米，則AB距離為 110+60=170 米。爭SO.

6、模型二:告訴兩人的速度和給定時(shí)間，求相遇次數(shù)?！纠?】甲、乙兩人在長30米的泳池內(nèi)游泳，甲每分鐘游37.5米，乙每分鐘游52.5米。兩人同時(shí)分別從泳池的兩端出發(fā)，觸壁后原路返回，如是往返。如果不計(jì)轉(zhuǎn)向的時(shí) 間，則從出發(fā)開始計(jì)算的1分50秒內(nèi)兩人共相遇多少次?【答SE及解折】題目沒iRJEM面還是WBL斷以兩種相週的;劃®郡應(yīng)該計(jì)茸*分幵討臨 如是是迎面相遇，則走的全程的個(gè)數(shù)為11帖（” Fir £）=110子20 = 5 個(gè).根擔(dān)迎面相遇斤心 芒的全程為Srrl巧，求得*3：如果是背面相遇，則走的全程數(shù)為 110（ §2 爲(wèi) j）韻e + UO弋1,故在1分50#

7、內(nèi)，不能M面豐所以共相逸3 ；如60模型三:告訴兩人的速度和任意兩次迎面相遇的距離，求AB兩地的距離?！纠?】甲、乙兩車分別從 A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在 A B間不斷往返行駛。甲車每 小時(shí)行20千米，乙車每小時(shí)行 50千米，已知兩車第10次與第18次迎面相遇的地點(diǎn)相距 60千米,則A、B相距多少千米?110A 95B、100C、105【答案及解析】C。走相同時(shí)間內(nèi)，甲乙走的路程比為20: 50=2:5。將全程看成7份，則第一次相遇走1個(gè)全程時(shí)，甲走2份，乙走5份。以甲為研究對象（也可以以乙）,第10次迎面相遇走的全程數(shù)為 2X 10-1=19個(gè)，甲走1個(gè)全程走2份,則走19個(gè)全程可走19X 2=

8、38份。7份是一個(gè)全程，則38份共有38-7=53份（當(dāng)商是偶數(shù)時(shí)從甲的一端數(shù)，0也是偶數(shù)；當(dāng)商是奇數(shù)時(shí)從乙的一端數(shù)，比如第1個(gè)全程在乙的一端，第 2個(gè)全程在甲的一端）從乙端數(shù)3份。同理當(dāng)?shù)?8次相遇，甲走的份數(shù)為（2 X 18-1） X 2=70份。共有70* 7=10個(gè)全程，10為偶數(shù)在甲的端點(diǎn)。如下圖:甲A 41810則第10次相遇與第18次相遇共有4份為60千米，所以AB長為（60/4） X 7=105千米。點(diǎn)評(píng)：對于給定任意兩次的距離，主要是根據(jù)速度轉(zhuǎn)化為全程的份數(shù)，找一個(gè)為研然后根據(jù)一個(gè)全程的份數(shù)，將究對象，看在相遇次數(shù)內(nèi)走的全程數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為份數(shù),研究對象走的總份數(shù)去掉全程的個(gè)數(shù)

9、看剩余的份數(shù),注意由全程的個(gè)數(shù)決定剩余的份數(shù)從哪一端數(shù)?！纠?】甲、乙兩車分別從 A、B兩地同時(shí)出發(fā),在 A B間不斷往返行駛。甲車每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行36千米，已知兩車第2次與第3次迎面相遇的地點(diǎn)相距 40千米,則A、B相距多少千米?270A 90B、180D 110C、【答案及解析】A。法一：同上題。相同時(shí)間，甲、乙路程比為45: 36=5: 4,則將全程分成9份。則一個(gè)全程時(shí)甲走 5份，乙走4份。以甲為研究對象，第 2次相遇，走的全程數(shù)為2X2-1=3個(gè)，則甲走的份數(shù)為3X 5=15份，一個(gè)全程為9份，則第2次相遇甲走的份數(shù)轉(zhuǎn)化為全程的個(gè)數(shù)為15*9=1-"6份，則從

10、乙端數(shù)6份。第3次相遇走的份數(shù)為(2 X3 - 1) X 5=25份，轉(zhuǎn)化為全程的個(gè)數(shù)為 25-9=27,則從甲端數(shù)7份。如下圖:由圖第2次和第3次相遇之間共有4份為40千米，則AB相距(40/4) X 9=90千米。法二：在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解題的前提是題干中已知兩人的速度。將速度轉(zhuǎn)化為相同路程的條件下兩人的時(shí)間比，則以時(shí)間為刻度，畫出兩人到達(dá)對岸的路線圖，兩人走的路線圖相交的點(diǎn)即為兩人相遇的地點(diǎn)。s-t圖中的路線因像古代記時(shí)間的沙漏故稱為“沙漏模型”。本題中，甲、乙走到端點(diǎn)用的時(shí)間比為36: 45=4: 5。如下圖:根據(jù)路線圖看出甲乙第 2次相遇和第3次相遇的交點(diǎn)E和O根據(jù)三

11、角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2，則求得第2次相遇距A地的比例為S/3，同理DO:ON=7 2,則第3次相遇距A地的比例為7S/9，則兩次相遇比例為939 為40千米，則S=90千米。點(diǎn)評(píng)：考生如果能掌握“沙漏”模型，則會(huì)直觀快速的提高解題速度。用交點(diǎn)判斷 是迎面相遇還是背面相遇的技巧：看相交的兩條線是由同一岸引出還是兩岸，同一岸則 說明是背面相遇，不同岸則說明是迎面相遇。用時(shí)注意：一般題干涉及到的相遇次數(shù)較少時(shí)可畫，相遇次數(shù)太多，則會(huì)花費(fèi)大量 時(shí)間，不利于提高速度；畫時(shí)的單位刻度要看時(shí)間比，如果時(shí)間比中的數(shù)據(jù)較大可把刻 度畫大。模型四:告訴兩人的速度，相遇次數(shù)較少時(shí)，利用s-t圖形成

12、“沙漏”模型速解?！纠?】A B兩地相距950米。甲、乙兩人同時(shí)由 A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí)。甲步行，每分鐘走40米；乙跑步，每分鐘行150米。則甲、乙二人第幾次迎面相遇時(shí)距B地最近。C、【答案及解析】Bo利用“沙漏模型”。甲乙走到端點(diǎn)用的時(shí)間比為 150:40=15:4,半小時(shí)兩人共走的全程數(shù)為護(hù)040+150個(gè)。對于單岸型，相遇6個(gè)全程,則是迎面第三次相遇（由前邊公式推出）畫出s-t圖:觀察上圖可知，可第3次迎面相遇的過程中，甲乙有一次背面相遇（交點(diǎn)由同一點(diǎn)引出）。而在三次迎面相遇中第 2次相遇離B地最近，并且可根據(jù)三角形相似求出離B地的距離?！纠?】河道賽道長120米，水流速度為2米/秒，

13、甲船靜水速度為6米/秒，乙船 靜水速度為4米/秒。比賽進(jìn)行兩次往返，甲、乙同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，先順?biāo)叫校瑔柖嗌倜?后甲、乙船第二次迎面相遇?A 48B、50C、52D 54【答案及解析】C。由題知，得出如下關(guān)系:順流逆流甲8(15)4(30)乙6(20)2(60)注：（）中為走完全程的時(shí)間。假設(shè)A到B是順流，由上表可知甲、乙兩人第2次迎面相遇共有4個(gè)全程。由于甲的速度快，則第2次相遇前甲已走了 2個(gè)全程。共15+30=45秒。當(dāng)?shù)?5秒時(shí)乙走了一個(gè)順流全程20秒和25秒的逆流，走的路程為 25X 2=50米，則在剩余的70米內(nèi)，甲乙分別以順流和逆流相遇時(shí)間為t ,則有70=(8+2) X t ,

14、求得t=7秒，則共用時(shí)間45+7=52秒。本題同樣可用“沙漏模型”解決。根據(jù)上表中的速度關(guān)系，可得出一個(gè)全程時(shí)的時(shí) 間關(guān)系如下:順流逆流甲36乙412根據(jù)時(shí)間的關(guān)系，得出s-t圖像，如下:觀察上圖，可看出第二次迎面相遇在P點(diǎn)，以甲為研究對象計(jì)算時(shí)間，此時(shí)甲走了一個(gè)順流，一個(gè)逆流，另外 EP段為順流，根據(jù)三角形相似可求出走EP用的時(shí)間，則甲共走的時(shí)間為EP:PN=EF:MN=7：8由上表，求出走 EP用的時(shí)間為 15+30+7=52。二、環(huán)型環(huán)型主要分兩種情況，一種是甲、乙兩人同地同時(shí)反向迎面相遇（不可能背面相遇）， 一種是甲、乙兩人同地同時(shí)同向背面追及相遇 （不可能迎面相遇）。分開討論如下:（

15、一）甲、乙兩人從 A地同時(shí)反向出發(fā):如下圖，一個(gè)周長分成 4份，假設(shè)甲是順時(shí)針每分鐘走1份到B,乙是逆時(shí)針每分鐘走3份到B,則第一次相遇兩人走了1個(gè)周長，則再過1分仲，甲再走1份到C,同樣乙走3份也到C,則第二次相遇共走了2個(gè)周長，依次類推，可得出：第 n次迎面相遇共走了 n圈。0（二）甲、乙兩人從A地同時(shí)同向出發(fā):1份,如下圖，全程分成4份。假設(shè)甲、乙兩人都是順時(shí)針同時(shí)出發(fā)，甲每分鐘走 乙每分鐘走5份，則1分鐘后兩人在B處第一次背面追及相遇， 兩人走的路程差為1個(gè) 周長。再過1分鐘后，甲到C處，乙也到C處，兩人第二次背面追及相遇，多走的路程n圈。差同樣為一個(gè)周長，依次類推，可以得出：第n次背

16、面追及相遇，路程差為E環(huán)型多次相遇問題相對比較簡單，當(dāng)甲、乙不在同一地點(diǎn)出發(fā)時(shí)相對具有難度。比 如在直徑兩端出發(fā)?？忌赏ㄟ^下面的例題把握。【例1】老張和老王兩個(gè)人在周長為 400米的圓形池塘邊散步。老張每分鐘走9米,老王每分鐘走16米。現(xiàn)在兩個(gè)人從同一點(diǎn)反方向行走，那么出發(fā)后多少分鐘他們第三次相遇?A 3345C 48D 56【答案及解析】C。第一次迎面相遇時(shí)間為400*(9+16)=16，則第三次迎面相遇時(shí)間為 16X 3=48?！纠?】小明、小亮從400米環(huán)形跑道的同一點(diǎn)出發(fā)，背向而行。當(dāng)他們第一次相遇時(shí)，小明轉(zhuǎn)身往回跑;再次相遇時(shí)，小亮轉(zhuǎn)身往回跑；以后的每次相遇分別是小明和小亮兩人交替

17、調(diào)轉(zhuǎn)方向,小明速度3米/秒，小亮速度5米/秒，則在兩人第30次相遇時(shí)小明共跑了多少米?A 11250B 1135011420D 11480【答案及解析】A。由題意知，第1次是迎面相遇，第2次是背面追及相遇，之后都是迎面與背面相遇交替。則在30次相遇中，迎面相遇15次，背面相遇15次。迎面相遇一次用時(shí)為400*(3+5)=50，背面相遇一次用時(shí)為400*(5 -3)=200，則30次相遇共用時(shí)為15X (50+200)=3750s，則小時(shí)在這段時(shí)間里跑的路程為3750X 3=11250米。【例3】甲、乙兩人分別從一圓形場地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開始以勻速按相反方向繞此圓形路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇，則這個(gè)圓形場地的周長為多少米?B 360A 320420D 480【答案及解析】D。如下圖，假設(shè)甲、乙分別在直徑 A B兩端以順時(shí)針和逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。第1次相遇在C點(diǎn)距B點(diǎn)100米，第2次相遇在D點(diǎn)，距A點(diǎn)60米。當(dāng)在直徑端點(diǎn)兩岸行走時(shí)， 可將環(huán)型轉(zhuǎn)化為直線型， 則第2次相遇每個(gè)人走的路都 是第1次相遇的2倍。以乙為研究對象，則從C到D走的路是B到C的2倍，即200米, 因AD為60米，貝