復(fù)變函數(shù)與積分變換第3章復(fù)變函數(shù)的積分

1、l3.1 3.1 復(fù)積分的概念復(fù)積分的概念l3.2 3.2 柯西積分定理柯西積分定理l3.3 3.3 柯西積分公式柯西積分公式l3.4 3.4 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分c 設(shè) 為平面上一條光滑的簡單有曲,義向線定定3. 13. 1,. ( )( , )( , )ab f zu x yiv x yc起點為終點為在 上有cn定義,把曲線成 個小弧,設(shè)分點為任任意意分分011,nnazzzzbkkki在每個小弧上任取一點,作作和和式式1()nkkkfz1max |,kk nz 設(shè)當(dāng)時,若和式的極限存在 0 0k且不依賴于點 的選擇和c的分法，則稱

2、極限3.1 3.1 復(fù)積分的概念復(fù)積分的概念( )f zc為沿曲線 的積分，記為n nkkkknnk=1k=1c cf(z)dz =limf(f(z)dz =limf()z z( )dccf zz沿曲線 的負(fù)方向的積分記為 ,c如果 為閉曲線 則沿此閉曲線的積分記作( )d .cf zz ( )( , )( , )( )dcf zu x yiv x ycf zz設(shè)在光滑曲線 上連續(xù)則復(fù)積分存在且可表示為 定定理理3. 1 3. 1 1()nkkkfz 證：明明11 (,)(,) (,)(,)nkkkkkkknkkkkkkkuxvyivxuy( )ddd.cccf zzuxvyivdxudy1

3、(,)(,)()nkkkkkkkuivxiy i)( ),( )d.cf zcf zz當(dāng)是連續(xù)函數(shù)而是光滑曲線時 積分是一：定存在的注注ii)( ) d.cfzz可以通過兩個二元實變函數(shù)的線積分來計算事 實 上 還 可 把 復(fù) 積 分 化 為 普 通 的 定 積 分( )( )( )( , cz tx tiy t ta b設(shè)曲線 的方程：）( )ddd.cccf zzuxvyivdxudy ( ), ( ) ( ), ( ) ( )( )du x ty tiv x ty tx tiy tt( )d ( ) ( )d .cf zzf z tz tt所以 ( ) ( )d .f z t z tt

4、( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )d ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )dbabau x ty t x tv x ty ty ttiv x ty t x tu x ty ty tt i)() d() dccccfzzfzz 設(shè)為的 逆 向 曲 線 ，則ii)( )d( )d ;()cckf zzkf zz k 數(shù)線為常性性性性 ( )( )d( )d( )dcccf zg zzf zzg zz復(fù)積分的性質(zhì)：12iii).ccc，其中1 12 2c cc cc cf f( (z z) )d dz z = =f f( (z z) )d dz z+ +f f( (z

5、z) )d dz ziv),( )|( ) |cl f zcf zm設(shè)曲線長度為在上滿足則c cc cf f( (z z) )d dz z| |f f( (z z) )| |d ds sm ml ld1100czzii1 計算，其中c為(1)從 到 的直線段c ;(2)先從 到再從到的折線段.例例1 1解解：（1）1: ( )1(01)ccz ttitt=-+111000(1)(21)czdztit dttdtidti-=-+=-+=蝌蝌有，有，23_,ccczdzzdzzdz=+蝌（2）2132:( )1(01),:( )(01),cz tttcz titt=-=1100(1)()0.t d

6、tit dt= -+-=蝌010d,|,()nczzzrzzn 計算其中c:|為正向圓周，為整數(shù)。例例2 22211(1)000deded()eiinnni nnczirizzrr解：200,d2 ,nii當(dāng)時 結(jié)果為200,(cossin)0.ninnindr當(dāng)時 結(jié)果為010|2 ,0,d0,0.()nz zrinznzz 所以常用結(jié)論，常用結(jié)論，要牢記！要牢記！d34czzi 計算，其中c為從原點到的直線段.l 解解 直線的方程可寫成直線的方程可寫成l 又因為又因為l 容易驗證，右邊兩個線積分都與路線容易驗證，右邊兩個線積分都與路線 無關(guān)，無關(guān)，所以所以 的值無論的值無論 是怎樣的曲線都

7、等于是怎樣的曲線都等于10 ,4,3ttytx22210210243210143214343ititdtitdtidzzcxdyydxiydyxdxidydxiyxdzzcccccdzzcc24321i1d34czzii 求的積分的一個絕對上界，其中c為從原點到的直線段.例例4 432| |0limd0.1zrrzzz 求證例例3 3練習(xí)練習(xí) 2,cz dz計算ic 如圖所示：解解：1:,0, :11czx yx 112212;3cz dzx dx 2:,:0icze1c2c112220iicz dzeie d330012.33iii ede 可見，積分與路徑無關(guān)僅與起點和終點有關(guān)。22222

8、22cccz dzxydxxydyixydxxydymnmn()yxyxmnuv yxyxmnvu20cz dz ( )d0.cf zz cd( )( )f zf zd定理3.2(柯西定理)設(shè)在單連通區(qū)域d內(nèi)解析，則在內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線c的積分3.2 柯西積分定理1212( ),f zz zz z1212設(shè)在單連通區(qū)域d內(nèi)解析，為d內(nèi)任意兩點，c ,c 為連接的兩條路徑,c ,c包含定理3.3于d,則12( )d( )dccf zzf zz即積分于路徑無關(guān)。sin d ,1| 1czzz 例3.6 計算其中c是圓周|的上半周,走向從0到2.12( )f zddcc122112設(shè)c ,c 為

9、兩條簡單閉曲線,c 位于c 的內(nèi)部,在c ,c 圍成的二連通區(qū)域 d內(nèi)解析，在上連續(xù),則定定理理3 3. .4 4 12( )d( )dccf zzf zz連區(qū)積多多通通域域上上的的柯柯西西分分定定理理：aabbdfeef( )d0( )d0aebb e a aaa f b bfaf zzf zz證明：由柯西定理得1c2c1212( )d( )d0( )d( )dccccf zzf zzf zzf zz即或12( )d( )d( )d( )d( )d( )d0caaca abbb bf zzf zzf zzf zzf zzf zz:cc12n設(shè)為多連通區(qū)域內(nèi)的一條簡單閉曲線，c ,c ， ，c

10、 為 內(nèi)部的簡單閉曲線互論，它們推推( )f z12n不相交也互不包含，且c,c ,c ， ，c 圍成的區(qū)域包含于d.若在區(qū)域 d內(nèi)解析，則1i)() d() d;knkccfzzfzzii)( ) d0fzz ,kkcccc其 中為與圍 成 的 復(fù) 合 閉 路與均 取 正 方 向cicd221d ,01czzzz 例3.7 計算其中c是包含和 的正向簡單閉曲線。c1c2c0112222212121dddcczzzzzzzzzzzz112211dd111dd1cccczzzzzzzz02204iii7 77 8p習(xí) 題 3 . 1 3 . 2 3 . 3 3 . 5作 業(yè) ： ( )f z設(shè)在

11、單連通區(qū)域d內(nèi)解析，則由變上限積分所確定理3.5定的函數(shù)0( )( )dzzf zf( )( ).f zf z在區(qū)域d內(nèi)解析，且00( )( )( )d( )d( )d .zzzzzzzzf zzf zfff證明：1( )( ) d .zzzff zz( )d( )d( )zzzzzzf zf zf zz又因( )( )( )1( )d( )zzzf zzf zf zzff zz0( )( )lim( )0,( )( )zf zzf zf zzf zf z這就是說即1 ( )( )d|1|( )( )|d|zzzzzzff zzff zsz1|zz ( )f z又因為在區(qū)域d上連續(xù)( )( )

12、( )( )( )f zf zf zf zf z數(shù) 設(shè)在單連通區(qū)域d內(nèi)函數(shù)恒滿足，則。數(shù)稱為的原函原原函函( )( )( )( )( )f zf zf zcf zf z易知，若為的原函數(shù)，則仍為的原函數(shù)，故有無窮多個原函數(shù)。01( )( )( ),f zf zf zzz 設(shè)在單連通區(qū)域d解析，為的一個原函數(shù)，則對任意定理3.6d,有1010( )d( )()zzf zzf zf z111eeee1e1.22ii ,bnaz dz 計算其中n是正整數(shù)。例例8 80cos d .izzz 計算例例9 900cos dsincosiizzzzzz：解解sincos1iiiln(1),cz dzii計

13、算其中c為從到的直線段。例例10 10 1ln(1)d ,1izzz計算路徑為圓周|z|=1在第一象限的部分.例例11 11 223ln2ln 23288i 21122ln(1)1dln (1)121ln (1)ln (2)2|iizzzzi解：2211ln2ln 2224i 計算(1) ;(2)zdzz10sin1010cos1coscos0zdzzzzdz= -輊犏= -犏臌10(1)sinzzdz1cossin0sin1cos1zzz= -=-dzezzi01izzdzeiez001()()00(2)1ziizze dzzi de-= -蝌()( )( )110cos1sin1sin1c

14、os1zzizeeieiii-輊= -+犏臌= -輊= -+-臌= -解：解：001( )()d .2cf zf zzizz 0( )f zddczd設(shè)在簡單曲線圍成的區(qū)域d內(nèi)解析，在上連續(xù)， 是 內(nèi)任意一點，則定定理理3. 73. 7積3. 3 柯3. 3 柯西西分分公公式式dc0z0000()( )()ddkkf zf zf zzzzzzz000( )()2 ()dkfzfzifzzzz ：由柯西積有證分定理，明明00( )( )ddckfzfzzzzzzz又因為，又因為，0000( )()|( )()|dd|d2kkkf zf zf zf zzszzzzsr001( )()d .2cf

15、zf zzizz 所以 12cfor f zdiz -解析函數(shù)可用復(fù)積分表示。解析函數(shù)可用復(fù)積分表示。20001()(e )d .2if zf zr00( )|1|f zzzrzzr設(shè)在內(nèi)推論解析,在上連續(xù)，則一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值周上的平均值.21221設(shè)c ,c 為兩條簡單閉曲線,c 位推于c論的內(nèi)120( )f zddccd12部,在c ,c 圍成的二連通區(qū)域d內(nèi)解析，在上連續(xù),是 內(nèi)任意一點,則120001( )1( )()dd .22ccf zf zf zzzizzizzd0z1c2c例例1 czrrzcdzzzze)2 ,

16、1(:)2)(1(計算積分解解： 01,rczdzzzze)2)(1(izzeizz0)2)(1(212,r12323ccciieppi=+= -+蝌蜒1c2c3c0123(1)2zcezzd zz+- ieiei3322| | 4| | 4| | 412123)ddd13132 12 26 .zzzzzzzzzziii 求下列積例2分的值.| | 4| | 212123)d ; 4)d.1313zzzzzzzz2| | 4| | 21sin1)d ;2)d .2 (9)()zzzzzzizzzi0| |41sin1)dsin0;2 |zzzzziz 解解 ：7 77 8p習(xí) 題 3 . 73

17、 . 8 ( 2 ) ( 3 ) 3 . 1 0 ( 3 ) ( 4 ) 3 . 1 1作 業(yè) ： ( )|( )|f zf z定理3.8()設(shè)為區(qū)域d內(nèi)的非最大模原理常數(shù)解析函數(shù)，則在d內(nèi)沒有最大值.)1(f zf z設(shè)為區(qū)域d內(nèi)的解析函數(shù)，若其模在d內(nèi)達(dá)到最大值，則推論為常數(shù).)|2( )|(f zdf z設(shè)在區(qū)域d內(nèi)解析，在 上連續(xù)，則在d的邊界上達(dá)到推論最大值。| |( )0,( )max |( )|,( )zrf zrm rf zm rr 設(shè)函數(shù)在全平面上解析，對任意的令求證是 的單調(diào)上升函數(shù).例例3 3( )1!( )( )d(1,2,)2()nncnffzniz( )( )f z

18、ddcf zdz設(shè)在簡單曲線圍成的區(qū)域d內(nèi)解析，在上連續(xù)，則的各階導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)解析，且對內(nèi)任意一點 有定定理理3. 93. 9數(shù)髙階導(dǎo)數(shù)3.4 解3.4 解析析函函的的322| 1| | 4cose1)d ;2)d()(1)zz izzzzzizz 3| 11cos2d(cos)()(3 1)!().2|z iz izizzziiee 解：例3.12 求下列積分的值.22| | 4e3)d(1)zzzz 2212123).(1),.,.zeczizciic cc cc 函數(shù)在 內(nèi)的處不解析我們在 內(nèi)以 和為中心作兩個正向圓周則此函數(shù)在由和所圍成的區(qū)域內(nèi)是解析的xyoc1c2ciix1222222