第四章 積分變換法

1、第四章第四章 積分變換法積分變換法4.1 傅立葉變換的概念和性質(zhì)4.2 傅立葉變換的應(yīng)用4.3 拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)4.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用定義定義：假設(shè)：假設(shè) I 是數(shù)集是數(shù)集(實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù))，K(s,x) 為為 上的函數(shù)上的函數(shù),這里這里 a,b為任意區(qū)間。如果為任意區(qū)間。如果 f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 a,b 有定義有定義, 且且 K(s,x) f(x)為為 a,b 上可積函數(shù)上可積函數(shù), 則含參變量積分則含參變量積分 , Ia b ,sI ,:bafx dKsxxsF 定義了一個(gè)從定義了一個(gè)從 f(x) 到到 F(s) 的變換的變換, 稱為稱為積分變換積分變換, K(s

2、,x) 為變換的為變換的核核。 常見的積分變換有常見的積分變換有傅立葉變換傅立葉變換和和拉普拉斯變換。拉普拉斯變換。 4.1 4.1 傅立葉變換的概念和性質(zhì)傅立葉變換的概念和性質(zhì)傅立葉變換傅立葉變換 .ixFf x dex 記作：記作：( ) ( )FF f x 假設(shè)假設(shè) f(x) 在在 上有定義，在上有定義，在 上絕對(duì)上絕對(duì)可積，在任一有限區(qū)間上有有限個(gè)極大值、極小可積，在任一有限區(qū)間上有有限個(gè)極大值、極小值，且至多有有限個(gè)值，且至多有有限個(gè)第一類不連續(xù)點(diǎn)第一類不連續(xù)點(diǎn)，則函數(shù)，則函數(shù)(,) (,) 稱為稱為f(t)的傅立葉變換。的傅立葉變換。 , (,)a b 即是區(qū)間即是區(qū)間上，核為上，

3、核為的積分變換的積分變換 ,ixKxe 4.1 4.1 傅立葉變換的概念和性質(zhì)傅立葉變換的概念和性質(zhì)傅立葉逆變換傅立葉逆變換定義為：定義為： 12ixfxFed 記作：記作： 1( )( )f xFF 當(dāng)當(dāng) f(x) 滿足上述條件時(shí)，有滿足上述條件時(shí)，有 1( )2ixitfxedf t edt 傅立葉積分定理：傅立葉積分定理： ( )1( )(0)(0)22ixitf tedf t edtf tf t t是連續(xù)點(diǎn)是連續(xù)點(diǎn)t是第一類間斷點(diǎn)是第一類間斷點(diǎn)特別的，當(dāng)特別的，當(dāng) f(x) 連續(xù)時(shí)連續(xù)時(shí) 4.1 4.1 傅立葉變換的概念和性質(zhì)傅立葉變換的概念和性質(zhì)傅立葉變換具有如下性質(zhì)傅立葉變換具有如

4、下性質(zhì): : ()( )FfgF fF g 1)1)線性性質(zhì)：線性性質(zhì)：設(shè)設(shè) f, ,g是絕對(duì)可積的函數(shù)，是絕對(duì)可積的函數(shù)， 為數(shù)為數(shù) , 2)2)微分運(yùn)算性質(zhì)微分運(yùn)算性質(zhì) Ffi Ff ( )()nnFfiFf 4.1 4.1 傅立葉變換的概念和性質(zhì)傅立葉變換的概念和性質(zhì)3)3)對(duì)傅立葉變換后的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)對(duì)傅立葉變換后的函數(shù)求導(dǎo)數(shù) ( )dFfFix f xd ()( )nnndFfFixf xd 4) 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì) ( )f xg xf xt g t dtf t g xt dt FfgFfF g 則則設(shè)設(shè) f(x)，g(x) 在在 上絕對(duì)可積上絕對(duì)可積, 定義卷積：定義卷積：(,) 4

5、.1 4.1 傅立葉變換的概念和性質(zhì)傅立葉變換的概念和性質(zhì)5) 乘積運(yùn)算乘積運(yùn)算 1.2F f gF fF g 傅立葉變換在乘積運(yùn)算和卷積運(yùn)算之間建立傅立葉變換在乘積運(yùn)算和卷積運(yùn)算之間建立了一個(gè)對(duì)偶關(guān)系。了一個(gè)對(duì)偶關(guān)系。 6) 平移性質(zhì)平移性質(zhì) ()( ),.i yF f xyeF fyR 4.1 4.1 傅立葉變換的概念和性質(zhì)傅立葉變換的概念和性質(zhì)思考：思考： 對(duì)于對(duì)于u(x,y), 若以若以 y 為參數(shù)為參數(shù), 對(duì)對(duì) x 作傅立葉變換作傅立葉變換 ,Fourierxu x yUy 由傅立葉變換的由傅立葉變換的線性性質(zhì)線性性質(zhì)同理同理, , ,FourierxUyudx yUyyydy 是參

6、數(shù)是參數(shù) 2222,Fourierxudx yUyydy 4.1 4.1 傅立葉變換的概念和性質(zhì)傅立葉變換的概念和性質(zhì)4.2 4.2 傅立葉變換的應(yīng)用傅立葉變換的應(yīng)用例例 用積分變換法解方程：用積分變換法解方程： 22,0,.,0uutxRtxu xfx 解：解：由自變量的取值范圍，對(duì)由自變量的取值范圍，對(duì) x 進(jìn)行傅立葉變換，設(shè)進(jìn)行傅立葉變換，設(shè) ,ixu x tUtu x t edxf xF 那么方程轉(zhuǎn)變?yōu)槟敲捶匠剔D(zhuǎn)變?yōu)?20,|tdUtUtdtUtF 4.2 4.2 傅立葉變換的應(yīng)用傅立葉變換的應(yīng)用解得解得 2,.tUtFe 為了求出原方程的解為了求出原方程的解, ,下面對(duì)下面對(duì) 關(guān)于關(guān)

7、于 進(jìn)行進(jìn)行 傅立葉逆變換傅立葉逆變換. ,Ut 222144,121.2txtstu x tfxFefxetfxs edst FfgFf F g 1FFfF gfg 4.2 4.2 傅立葉變換的應(yīng)用傅立葉變換的應(yīng)用 22( , ),0,0uuf x txR ttxu xx例例 用積分變換法解方程：解： 作關(guān)于 的傅立葉變換。設(shè)xdxetxutUtxuxi, x 方程變?yōu)?20,|tdUtUtftdtUt ,f x tft 4.2 4.2 傅立葉變換的應(yīng)用傅立葉變換的應(yīng)用 22()0,( , ).tttUtefed 可解得 22412xttFeet 而則 224401122(),( , ).(

8、)xxtttUtFefFedtt 上式兩邊關(guān)于x作逆傅立葉變換，得 4.2 4.2 傅立葉變換的應(yīng)用傅立葉變換的應(yīng)用 1,( , )u x tFUt 2214401212()( , )()xtxttFFetfFedt 241*2xtet 24012()( , )*()xttf xedt 2()412xtedt 24012()()( , )xttfdedt 4.2 4.2 傅立葉變換的應(yīng)用傅立葉變換的應(yīng)用例 用積分變換法求解初值問題： 200( , )(,0)|ttxxtt tua uf x txtuxux 解：作關(guān)于 x 的傅立葉變換。設(shè),u x tUt( )( ),x ( )( ).x ,f

9、 x tft 4.2 4.2 傅立葉變換的應(yīng)用傅立葉變換的應(yīng)用于是原方程變?yōu)?222,d UtaUtftdt 滿足初始條件0,|,tUt 0,|tdUtdt 4.2 4.2 傅立葉變換的應(yīng)用傅立葉變換的應(yīng)用的通解為0( , )cossin1( , )sin()tUtCa tDa tfatda 由初始條件0sin( , )( )cos( )1( , )sin()ta tUta tafatda 2222,d UtaUtftdt 解常微分方程：解常微分方程： 4.2 4.2 傅立葉變換的應(yīng)用傅立葉變換的應(yīng)用取傅立葉逆變換，得 11( )cos2Fa txatxat其中：1( )cos( )( )2i

10、atiata tee注意到1sin( )ata tFgx1,( )20,atatxatgx其它而 4.2 4.2 傅立葉變換的應(yīng)用傅立葉變換的應(yīng)用所以 取傅立葉逆變換，得 ( , )Ut()01,211( )( )tata tu x txatxatgxfgx daa11()cos2Fatxatxat11,sin()20,atatxatatFgx其 它0sin1( , )( )cos( )( , )sin()ta tUta tfatdaa 4.2 4.2 傅立葉變換的應(yīng)用傅立葉變換的應(yīng)用 ()0()1211,22x a tx attx atx a txatxats dsdf sdsaa所以 取傅

11、立葉逆變換，得 ( , )Ut()01,211( )( )tata tu x txatxatgxfgx daa 4.24.2 傅立葉變換的應(yīng)用傅立葉變換的應(yīng)用4.3 拉普拉斯變換的拉普拉斯變換的 概念和性質(zhì)概念和性質(zhì)拉普拉斯變換拉普拉斯變換 傅立葉變換要求函數(shù)傅立葉變換要求函數(shù) f 在在 有定義并且絕對(duì)有定義并且絕對(duì)可積。很多常見函數(shù)，如常函數(shù)，多項(xiàng)式，三角可積。很多常見函數(shù)，如常函數(shù)，多項(xiàng)式，三角函數(shù)等都不滿足條件。以時(shí)間函數(shù)等都不滿足條件。以時(shí)間 t 為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間 也無意義。這些都限制了傅立葉變也無意義。這些都限制了傅立葉變換的應(yīng)用。為此引入換的應(yīng)用。為此引入拉

12、普拉斯拉普拉斯 (Laplace) 變換變換。(,) (,0)拉普拉斯變換的積分核為拉普拉斯變換的積分核為 ,0,ptet 0:.pteLf tFpf tdt （單邊）拉普拉斯變換：（單邊）拉普拉斯變換： ( ) ( )F pL f t 4.3 4.3 拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)0,)( ),f t在在上上有有定定義義 且且積積分分 0.ptf tdte 在在復(fù)參數(shù)復(fù)參數(shù) p 的某個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂。的某個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂。（單邊）拉普拉斯變換對(duì)函數(shù)（單邊）拉普拉斯變換對(duì)函數(shù) f(t) 的要求：的要求：定理定理：若函數(shù)：若函數(shù)f(t)滿足下列條件：滿足下列條件：1. 0, ( )0t

13、f t2. 0, ( )tf t 在任意有限區(qū)間上分段連續(xù)在任意有限區(qū)間上分段連續(xù)003. ( ) |( )|, 0, ,0s tf tf tMetM s 的增長(zhǎng)速度不超過一個(gè)指數(shù)函數(shù)，即的增長(zhǎng)速度不超過一個(gè)指數(shù)函數(shù)，即( )f t則：則： 的的LaplaceLaplace變換在半平面變換在半平面 存在。存在。0Re ps 4.3 4.3 拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)( )( )( )( )F pf tf tF p若若是是的的拉拉普普拉拉斯斯變變換換，則則稱稱拉拉普普拉拉斯斯逆逆為為的的變變換換，記記作作：1( )( )f tLF p 基本性質(zhì)：基本性質(zhì)： 1)1)基本變換

14、基本變換: :1!(),0,1,2,nnnL tnp 1(),atL epa 22(sin),aLatpa 22(cos)pLatpa 4.3 4.3 拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)2)2)線性性質(zhì)線性性質(zhì) LfgL fL g 3) 微分性質(zhì)微分性質(zhì) 0 ,L ftpFpf 若若 則則( ) ( ),F pL f t 2 0 0 ,L ftp F pp ff 2110 00 .nnnnnL ftp F ppfpff 4.3 4.3 拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)4) 積分性質(zhì)積分性質(zhì) 01tLf s dsF pp 6) 位移性質(zhì)位移性質(zhì) atL ef tFp

15、a 7) 延遲性質(zhì)延遲性質(zhì) psL f tseF p 5) 對(duì)拉普拉斯變換求導(dǎo)對(duì)拉普拉斯變換求導(dǎo)( )( )()( )nnFpLtf t 4.3 4.3 拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)8) 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì) L fgL f L g 0tfgtf s g ts ds 其其中中應(yīng)用應(yīng)用：拉普拉斯變換既適用于常微分方程：拉普拉斯變換既適用于常微分方程 (如如 P38 ),也適用于偏微分方程。也適用于偏微分方程。4.3 4.3 拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)例例 解常微分方程的初值問題解常微分方程的初值問題: : 20, 0.Tta T tf tTbTc 解解：對(duì)：

16、對(duì) t 進(jìn)行拉普拉斯變換進(jìn)行拉普拉斯變換, 設(shè)設(shè) 則原方程變?yōu)閯t原方程變?yōu)?22( )p T pbp ca T pF p ( ),LT tT p .Lf tF p 4.3 4.3 拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)拉普拉斯變換的概念和性質(zhì) 222222221F pbp capcaT pF pbpaapapaa pa 對(duì)對(duì) p 進(jìn)行拉普拉斯逆變換進(jìn)行拉普拉斯逆變換, , 考慮到考慮到 112222sin,cosapLatLatpapa 有有 11sincossinT tLT pcf tatbatataa 01( )sin ()dcossintcf sa tssbatataa 4.3 4.3 拉普拉斯變換的

17、概念和性質(zhì)拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)例 設(shè) ，求解常微分方程的初值問題: tyy 1| , 0|32 00tttyyeyyy解 對(duì) 進(jìn)行拉普拉斯變換, 設(shè) , 則t pFty11pet )(0ppFyppFy 00 2ypypFpy 12pFp4.3 4.3 拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)于是原方程變?yōu)?11321)(2ppFppFpFp由上式得: 318111411183ppppF對(duì) 進(jìn)行拉普拉斯逆變換, 得 pF 3311848ttty teee4.3 4.3 拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)拉普拉斯變換的反演公式：拉普拉斯變換的反演公式： 0 ( )( )

18、.ptF pf tL ftted 11( )(,02()iiptef tF pdptiFtL ,( )Re( )Re( ).F ppp 在在計(jì)計(jì)算算這這個(gè)個(gè)積積分分時(shí)時(shí), ,適適當(dāng)當(dāng)選選取取使使得得的的所所有有奇奇點(diǎn)點(diǎn)均均落落在在直直實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)積積分分值值不不線線依依的的左左側(cè)側(cè)，即即內(nèi)內(nèi)，賴賴于于4.3 4.3 拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)利用留數(shù)基本定理，可得利用留數(shù)基本定理，可得1,( ),( )0,nppF ppF p 若若是是的的所所有有奇奇點(diǎn)點(diǎn) 并并且且當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)則則11( )( )Re ( )2knipptip pktf tF pdtsp eieF 4.3 4.3

19、 拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)( )(Laurent)naf z如如果果點(diǎn)點(diǎn)是是的的，這這時(shí)時(shí)階階有有洛洛朗朗極極點(diǎn)點(diǎn)展展開開式式：00122( )()()()()kknnf zCCzaCzaCCCzazaza 則則1111Re ( )lim()( )(1)!nnnzaz ads f zCzaf zndz 4.3 4.3 拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)220011Relim1,(1)(1)ptptppseep pp 2111Relim(1).(1)ptpttppdesee tdppp p 1211(1),0.(1)tLe ttp p 21:( ).(1)F

20、 pp p 求求的的拉拉普普拉拉斯斯逆逆變變換換例例4.3 4.3 拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)4.4 4.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用拉普拉斯變換的應(yīng)用例例：設(shè)：設(shè) x0, y0, 求解定解問題求解定解問題 22201|,|cosyxux yx yuxuy 解解：對(duì)：對(duì) y 進(jìn)行拉普拉斯變換。設(shè)進(jìn)行拉普拉斯變換。設(shè) ,u x yU x p則方程變?yōu)椋簞t方程變?yōu)椋?2221,dpU x pxxdxp4.4 4.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用拉普拉斯變換的應(yīng)用232.dUxxdxpp 而而 變?yōu)樽優(yōu)?1|cosxuy 12,|,1xpU x pp 解解ODE: ODE: 323231111

21、,.313pU x pxxppppp 對(duì)對(duì) p 取拉普拉斯逆變換，得取拉普拉斯逆變換，得 322211,cos166u x yx yxyy1!(),0,1,nnnL tnp 4.4 4.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用拉普拉斯變換的應(yīng)用0, 0,222txxuatu0|0tu 0|xuf t解 問題歸結(jié)為求解下列定解問題: 例 一條半無限長(zhǎng)的桿，端點(diǎn)溫度變化已知，桿的初始溫度為0，求桿上溫度分布規(guī)律。對(duì) t 進(jìn)行拉普拉斯變換怎么變換？為什么？知道 的值了0|tu4.4 4.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用拉普拉斯變換的應(yīng)用分析分析 由于由于 ，故不能用傅立葉變換，故不能用傅立葉變換，而要用拉普拉斯變換。如果對(duì)而要

22、用拉普拉斯變換。如果對(duì) 進(jìn)行拉普進(jìn)行拉普拉斯變換，由于方程中出現(xiàn)了拉斯變換，由于方程中出現(xiàn)了 , ,在變換在變換中需要知道中需要知道 以及以及 的值；如果對(duì)的值；如果對(duì) 進(jìn)行拉普拉普拉斯變換，由于方程中出進(jìn)行拉普拉普拉斯變換，由于方程中出現(xiàn)了現(xiàn)了 ，在變換中需要知道，在變換中需要知道 。因此，。因此，我們對(duì)我們對(duì) 進(jìn)行拉普拉斯變換進(jìn)行拉普拉斯變換。0, txx22xu0|xu0|xxuttu0|tut4.4 4.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用拉普拉斯變換的應(yīng)用對(duì)對(duì) t 進(jìn)行拉普拉斯變換，設(shè)進(jìn)行拉普拉斯變換，設(shè) ,u x tU x pf tF p于是方程變?yōu)橛谑欠匠套優(yōu)?2220,|xd U x pap

23、U x pdxU x pFp 這是二階常微分方程的邊值問題，它的通解為這是二階常微分方程的邊值問題，它的通解為 ,.ppxxaaU x pCeDe 22200,|0,|.txuuatxuuft 二階方程，但是僅有一個(gè)邊界條件！需要引入自然二階方程，但是僅有一個(gè)邊界條件！需要引入自然邊界條件邊界條件. 4.1 4.1 傅立葉變換的概念和性質(zhì)傅立葉變換的概念和性質(zhì)4.4 4.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用拉普拉斯變換的應(yīng)用 ,.ppxxaaU x pCeDe 考慮到具體問題的物理意義：考慮到具體問題的物理意義：u(x, t) 表示溫度，表示溫度，, ( , )( , )xu x tU x p 當(dāng)當(dāng)應(yīng)應(yīng)該該有有界界，所所以以也也應(yīng)應(yīng)該該有有界界。從而從而 D=0. 再由邊值條件再由邊值條件 可知，可知，C = F(p). 0,|xU x pF p ,.pxaU x pF p e 為求出為求出 u(x,t), 在上式中對(duì)在上式中對(duì) p 進(jìn)行拉普拉斯逆變換進(jìn)行拉普拉斯逆變換4.4 4.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用拉普拉斯變換的應(yīng)用 ,.pxaU x pF p e 111,ppxxaau x tLF pLef tLe 由拉普拉斯變換表知，由拉普拉斯變換表知， 2212( ),pxyaxa tL g teg tedyp d ( )1(0),dppxxaag tLpegetp由由于于221