勾股定理與數(shù)學(xué)思想方法

1、勾股定理與數(shù)學(xué)思想方法李樹臣勾股定理是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，在利用勾股定理解題時(shí)，常常把有關(guān)的已知量與未知量在圖形中表示出來，這就是說，利用勾股定理解決問題時(shí)要用到“數(shù)形結(jié)合思想”，即在研究問題時(shí)把數(shù)和形結(jié)合考慮或者把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。因此，勾股定理體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。除此之外，勾股定理還常常體現(xiàn)出以下三種數(shù)學(xué)思想，下面結(jié)合近年的中考試題舉例說明：1. 方程思想方程思想是指對(duì)所求問題通過列方程（組）求解的一種思維方法，中考中用方程思想求解的題目隨處可見。例1. （河北省2005）工人師傅為檢測(cè)該廠生產(chǎn)的一種鐵

2、球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖1所示的工件槽，其中工件槽的兩個(gè)底角均為90°，尺寸如圖1（單位：cm）。將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)，若同時(shí)具有圖1所示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求。圖2是過球心O及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖。已知O的直徑就是鐵球的直徑，AB是O的弦，CD切O于點(diǎn)E，。請(qǐng)結(jié)合圖1中的數(shù)據(jù)，計(jì)算這種鐵球的直徑。圖2解：連結(jié)OA、OE，設(shè)OE與AB交于點(diǎn)P，如圖3。四邊形ACDB是矩形。與O切于點(diǎn)E，OE為O的半徑，在中，由勾股定理得，即，解得。所以這種鐵球的直徑為20cm。2. 分類思想數(shù)學(xué)中的分類討論就是把所研究的對(duì)象按可能出現(xiàn)的情況不重復(fù)、無遺漏地

3、分別加以討論，從而獲得對(duì)問題完整的解答。在這里充分體現(xiàn)了分類討論的思想。數(shù)學(xué)里的許多問題，只有用分類討論的思想才能保證解答完整準(zhǔn)確，做到“不漏不重”。例2. （山東臨沂市2005）中，若C=90°，如圖4，根據(jù)勾股定理，則。若不是直角三角形，如圖5和圖6，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。解：若是銳角三角形，則有。若是鈍角三角形，C為鈍角，則有。證明：當(dāng)是銳角三角形時(shí)，如圖5，過點(diǎn)A作，垂足為D，設(shè)CD為x，則有。根據(jù)勾股定理，得，即。當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，如圖6，過點(diǎn)B作，交AC的延長線于點(diǎn)D，設(shè)CD為x，則。根據(jù)勾股定理，得。即3. 轉(zhuǎn)化的思想原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家雅諾夫卡婭在

4、回答“解題意味著什么？”時(shí)說：“解題就是意味著把所要解的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的問題?！笨梢哉f，任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題都是通過數(shù)或形的逐步轉(zhuǎn)化，化歸為一個(gè)比較熟悉、比較容易的問題，通過對(duì)新問題的解決，達(dá)到解決原問題的目的?？梢?，轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)問題的一種重要方法。數(shù)學(xué)解題的過程實(shí)際就是轉(zhuǎn)化的過程，換言之，解題就是把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的問題的過程，通過對(duì)條件的轉(zhuǎn)化，結(jié)論的轉(zhuǎn)化，使問題化難為易，化生為熟，最終求得問題的解答。例3. （山東淄博市2004）如圖7是一塊長、寬、高分別是6cm、4cm、3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，

5、那么它需要爬行的最短路徑的長是（ ）A. B. C. D. 解：求空間幾何體表面最短距離問題，通?？蓪缀误w表面展開，把立體幾何圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形問題。由于螞蟻爬行的路徑不同，爬行的路徑的長短不一樣，對(duì)此要分三種情況：（1）經(jīng)過前面和右面或經(jīng)過左面和后面，這時(shí)螞蟻爬行的最短路線是長為4+6=10(cm)，寬為3cm的矩形的對(duì)角線（如圖8中的AB），其長為。（2）經(jīng)過前面和上面，這時(shí)螞蟻爬行的最短路線是長為，寬為4cm的矩形的對(duì)角線（如圖9中的AB），其長為。（3）經(jīng)過左面和上面或經(jīng)過下面和右面，這時(shí)螞蟻爬行的最短路線是長為，寬為6cm的矩形的對(duì)角線（如圖10中的AB），其長為。比較（1）、（2）、（3）的結(jié)果，螞蟻爬行的最短路徑的長為。答案：應(yīng)選C。數(shù)學(xué)思想方法已成為未來社會(huì)公民必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的核心內(nèi)容。數(shù)學(xué)思想方法是隨著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)、運(yùn)用逐