勾股定理的探索方法及教法

1、勾股定理的探索方法及教法崗子中學齊玲玲2009年4月內(nèi)容摘要:勾股定理的三種探索方法及教法,主要有以下三個方面:1.數(shù)格子，即在格子紙上建構直角三角形及相關正方形，通過數(shù)格子探索其面積關系與勾股定理的聯(lián)系；2.拼圖法的運用，通過補直角三角形和割直角三角形，表示其相關的面積關系導出勾股定理;3.無字證明，“青朱出入圖”等面積填補法直觀易懂的探索出勾股定理。關鍵詞：勾股定理、數(shù)格子、拼圖法、補直角三角形、割直角三角形、青朱出入圖、直觀易懂。勾股定理的歷史悠久廣遠，它的發(fā)現(xiàn)與證明是古代人類智慧的鑒定和驕傲。古巴比倫人和古代中國人看出了這一關系，古希臘的華達哥拉斯學派首先證明了這個關系,總結其法，趣味

2、無窮，我主要從下面三種探索方法及教法談起。一、數(shù)格子。即在格子紙上構造直角三角形，以它的勾、股、弦為三個邊長分別建立相關正方形（盡量取易數(shù)的完整格子）通過學生數(shù)格子，得出以勾為邊長形成的正方形的面積，加上以股為邊長的正方形的面積之和，等于以弦為邊長的正方形的面積。（如圖1）再適當引導：這三個正方形的面積與這個直角三角形的三邊有什么關系？（每個方格為一個面積單位） 學生發(fā)言說出結論： SA+SB=9+9 =18 =Sc SA+SB=4+4 =8 =SC'講解：它們各自的面積剛好就是這個直角三角形勾的平方，股的平方和弦的平方。學生自己得出：直角三角形，兩直角邊的平方之和等于斜邊的平方這一理

3、論. 令:勾-a 股-b 弦-c 則它們之間的關系又可以用怎樣的表達式呢？學生說出：a2+b2=c2老師板書其內(nèi)容。這樣就可以通過最直觀形象的圖形加上簡單的理論證明，讓學生觀察、歸納、總結出勾股定理的由來。二、拼圖法的運用。拼圖法的運用又分為兩個方案：第一種方案“補”；第二種方案“切割”.（一）“補”,即“作出RTABC，分別以它的勾、股、弦為正方形的邊長，作出三個正方形，延長它的兩條直角邊a、b到以c為邊長的正方形的外部，過以斜邊c為邊長的正方形上頂點，右頂點，在它的外部分別補作平行于a、b的線段作一個大的正方形。也就是給以c為邊長的正方形外補上三個全等于RTABC的直角三角形.如圖2所示：

4、 我先讓學生直觀的理解補圖全過程，再讓學生在圖中標出正方形的其余線段a、b、c的名稱，然后引導學生思考：1 最大的正方形的面積怎樣表示？學生發(fā)言，并小結：a.看作以a+b為邊長的正方形,則S大正方形=(a+b)2； b.看作以c為邊長的正方形以及4個以a、b為兩直角邊的直角三角形五部分組成， 則S大正方形=c2+（12）ab×4這兩種表達方式有什么關系？怎樣表示它們的關系？（相同）即：（a+b）2=c2+（12）ab×4這與我們所講的勾股定理 a2+b2=c2 又有什么聯(lián)系呢？怎樣推理？學生說出推理思路及過程，老師小結并板出： 把（a+b）2=c2+（12）ab×

5、4變形化簡 即 ：（a+b）2=c2+2ab a2+2ab+b2=c2+2ab a2+b2=c2 （符合勾股定理）（二）“切割“即：以勾a，股b，弦c分別為直角三角形的三邊作一個直角三角形,再分別以它們各自為三個正方形的邊長作三個正方形.延長a、b到以c為邊長的正方形的上、右頂點，在它的內(nèi)部作互相垂直的線段，把這個正方形切害成四個全等的直角三角形和中間一個小的正方形。（如圖3所示）（切割出的正方形內(nèi)部組成的也就是我國數(shù)學家趙爽在周髀算經(jīng)中提出的弦圖）圖3即北師大版八年級數(shù)學（上冊）第8頁的圖1-6.先讓學生看清切割方法及圖的由來，指名說出圖中其余線段的名稱a、b、c，并標出切割圖中線段的名稱，

6、引導學生：（1）中間小正方形的面積怎樣表示?(也可以換個角度表示以C為邊長的正方形的面積）學生發(fā)言，教師小結并板書：a.看作以（b-a）為邊長的小正方形的面積，則：S小正方形=(b-a)2b.看作以c為邊長的正方形內(nèi)部由4個全等的直角三角形和一個正方形組成，則：S小正方形=c2-(12)ab×4（2）兩個表示式子有什么關系？（相等）即：(b-a)2=c2-(12)ab×4（3）它與勾股定理有什么聯(lián)系？怎么樣探索它們之間的關系？學生口述聯(lián)系的探索方法及過程。 把c2-(12)ab×4=(b-a)2變形， 即:(b-a)2=c2-(12)ab×4 b2-2a

7、b+a2=c2-2ab a2+b2=c2即勾股定理.這種方法主要是通過“補、切”拼圖，再運用初一數(shù)學“字母表示數(shù)”的知識，正確表示有關圖形的面積，建立等量關系，并將等式變形而得出的結論，從而探索出勾股定理。三、無字的證明。1.青朱出入圖:（1）首先我向學生講明并演示“青朱出入圖”的成圖過程。以勾a，股b，弦c作RTABC,再分別以a、b、c為正方形的邊長作三個正方形，把以a為邊長的正方形向右平移，使它最左的邊與RTABC的勾a重合，再把以c為邊長的正方形向左下方平移，使它斜上方的邊與RTABC的弦重合.（如圖4）（即北師大版八年級數(shù)學（上冊）(第十二頁的圖1-11)（2）再講解各部分名稱及緣由

8、。講：以勾a為邊長的正方形叫朱方，以股b為邊長的正方形叫青方，以弦c為邊長的正方形叫弦方。并在圖中標明：朱方、青方、弦方。講：朱方在弦方以外的稱朱出，青方在弦方以外的稱青出，先標出朱出及兩個青出，再在弦方以內(nèi)找出與之對應的圖形，與朱出對應的標為朱入，與青出相對應的標為青入。（如圖5）即北師大版八年級數(shù)學（上冊)第十三頁的圖1-12.（圖見下一頁） 這樣，學生就對“青朱出入圖”的成圖過程有了整體認識。（3）“無字證明”的引導。問：“以盈補虛”,你明白是什么意思嗎？學生發(fā)表理解。小結：“以盈補虛”即把弦方以外的部分朱出、青出補入弦方以內(nèi)相對應的朱入、青入，剛好補成一個弦方，而剛好填補完了青方和朱方

9、的總面積。即：S朱方+S青方=S弦方a2+b2=c2不需要理論推導，只要圖形的相關移動，填補便可得出勾股定理。2.達·芬奇對勾股定理的研究： 借助意大利文藝復興時代的著名畫家達·芬奇對勾股定理的研究進行探究引導。其實驗方法分為四個步驟。（圖6）（1） 在一張長方形的紙板上畫兩個邊長分別為a、b的正方形（即正方形ABOF和正方形COED）,并連接BC、FE（如圖所示）（2） 沿 ABCDEFA剪下，得到兩個大小相同的紙板：I、II，如圖所示。（3） 將紙板II翻轉后與I拼成如圖所示的圖形。（4） 比較圖、圖中兩個多邊形ABCDEF和ABCDEF的面積，驗證勾股定理。1 可以先

10、讓學生先動手根據(jù)步驟做一做,通過作圖實踐,全面認識成圖過程,及圖中的一些等量關系,得出:圖和圖中多邊形ABCDEF和多邊形ABCDEF的面積相等（因為圖和圖中原長方形紙板的面積沒變。）引導學生：圖中和圖中的RTBOC和RTBAF;RTFOE和RTEDC的面積分別全等。如果兩圖中互相抵消兩對直角三角形的面積，則圖中剩下的空白部分面積，S正方形ABOF和S正方形COED的總面積等于圖中剩下的空白部分S正方形BCEF. 而圖中正方形ABOF的邊長是以RTBOC的直角邊a為邊長，正方形COED的邊長是以RTBOC的另一條直角邊b為邊長,圖中的正方形BCEF的邊長是圖中RTBOC的斜邊BC(即:c)為邊

11、長. 問:圖和圖中的空白部分面積關系共有哪幾種表示形式? 學生口答,老師小結: 兩種:S正方形ABOF+S正方形COFD=S正方形BCEF a2+b2=c2這樣的證明，沒有繁瑣的公式推導，只是通過紙板變化前后面積不變，剪切圖形的面積不變，再拼湊填補，列出面積等量關系而導出勾股定理。3正方形“填心”法:即：作RTABC，分別以勾a，股b，弦c為邊長作出三個正方形，過較大正方形（即以b為邊長的正方形）的中心，作兩條互相垂直的線段（水平方向和鉛垂方向），將其分成4份，然后，將這四部分按順時針方向圍在四周，每部分順時針旋轉180°），把以勾a為邊長作的小正方形填在中間，恰好得到最大的正方形（即以c為邊長的正方形）。（如圖7所示）即北師大版八年級數(shù)學（上冊） “聯(lián)系拓廣”的圖。（圖見下一頁）（1）作圖之前先向學生講明：正方形中心的確定方法。問：怎么樣確定正方形的中心？ 講明：正方形的兩條對角線的交點就是正方形的中心。（2）讓學生親自作圖并剪切拼圖，為增加趣味還可讓學生給分成的4個部分分別涂上不同的顏色。在班級內(nèi)展示優(yōu)秀手工作業(yè)。（3）讓學生自己說出作圖過程及得出的結論，以勾a為邊長，股b為邊長作的