常微分方程考研講義第三章一階微分方程解的存在定理

1、常微分方程考研講義第三章一階微分方程解的存在定理日期:第三章一階微分方程解的存在定理教學(xué)目標(biāo)1.理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次逼近法,熟練近似解的誤差估計(jì)式。2.了解解的延拓定理及延拓條件。3.理解解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。教學(xué)重難點(diǎn)解的存在唯一性定理的證明，解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。教學(xué)方法講授,實(shí)踐。教學(xué)時(shí)間12學(xué)時(shí)解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，解的延拓概念及延拓條教學(xué)內(nèi)容件,解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理及其證明?？己四繕?biāo) 1.理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論，能用逐次逼近法解簡(jiǎn)單的問題。2 .熟練近似解的誤差估計(jì)式，解對(duì)初值

2、的連續(xù)性及可微性公式。3 .利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓條件能證明有關(guān)方程的某些性質(zhì)。§1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程來源于生產(chǎn)實(shí)踐際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)律能動(dòng)解釋所出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)測(cè)未來的可能情況。在第二章介紹了一階微分方程初等解法的幾種類型，但是，大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。而實(shí)際問 題中所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解。因此初值問題的研究就顯得十分重要從前面我們也了解到初值問題的解不一定是唯一的。他必須滿足一定的條件才能保證初值問題解的存在性與唯一性， 而討論初值問題解的存在性與唯一性在常微分方程占有

3、很 重要的地位，是近代常微分方程定性理論，穩(wěn)定性理論以及其他理論的基礎(chǔ)。例如方程¥ 277dx過點(diǎn)（0,0）的解就是不唯一，易知y 一般地,函數(shù)0是方程過（0,0）的解，此外,容易驗(yàn)證,yx2或更（Xc)2c<x 1都是方程過點(diǎn)（0,0）而且定義在區(qū)間1上的解，其中c是滿足0 c 1的任一數(shù)。(3 .3 )解的存在唯一性定理能夠很好地解釋上述問題，它明確地肯定了方程的解在一定 條件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精確解的微分方程為數(shù)不多 ，微分方程的近 似解法具有重要的意義，而解的存在唯一性是進(jìn)行近似計(jì)算的前提，如果解本身不存在， 而近似求解就失去意義；如果存在不唯一，不能

4、確定所求的是哪個(gè)解。 而解的存在唯一性 定理保證了所求解的存在性和唯一性。1.存在性與唯一性定理：（1）顯式一階微分方程dX f(x,y)(3.1 )這里 f(x,y)是在矩形域：R:|x X0 | a,| y y。| b(3.2) 上連續(xù)。定理1：如果函數(shù)f（x, y）滿足以下條件：1）在R上連續(xù)：2）在R上關(guān)于變量y 滿足李普希茲（L ip sc h 1條件，即存在常數(shù)L 0，使對(duì)于R上任何一對(duì)點(diǎn) （X, y1）,（X, y2）均有不等式 |f（x, yj f（x,y2）| l| y1 y2 成立，則方程（3.1）存在唯 一的解y （X）,在區(qū)間| X x0 | h上連續(xù)，而且滿足初始條件

5、（X0） y。其中 h min(a,R),Mmax| f (x, y)|, L 稱為 Lipschi t z 常數(shù).Mx,y R思路:1）求解初值問題（3.1）的解等價(jià)于積分方程的連續(xù)解。Xyof (X, y)dx2）構(gòu)造近似解函數(shù)列 n(X)任取一個(gè)連續(xù)函數(shù)o(x),使得 | o(x)y0| b，替代上述積分方程右端的y，得到X1(x)yoxxof(x, 0(x)dx如果i（X）y，得到0（X）,那么0（X）是積分方程的解,否則,又用1（X）替代積分方程右端的如果2（x）l(x),那么(3.4)X2(x)yox f(x, i(x)dxxo1（X）是積分方程的解，否則,繼續(xù)進(jìn)行，得到n(X)

6、yof(X, n1(X)dXXo于是得到函數(shù)序列 n（X）.3）函數(shù)序列 n（x）在區(qū)間Xo h,Xo h上一致收斂于（X）,即limnn（X）(X)存在，對(duì)（3.4）取極限,得到limnn (X)y。XX0f(X，n1(x)dX=y0limnXf(x, (x)dxxo即(X)yof(x,xo(x)dx.4）（X）是積分方程yf(X, y)dx 在Xoh,x0 h上的連續(xù)解.X這種一步一步求出方程解的方法 證明定理.逐步逼近法.在定理的假設(shè)條件下,分五個(gè)命題來為了討論方便，只考慮區(qū)間 類似.xoXxo h,對(duì)于區(qū)間x0 h x x0的討論完全命題1y (x)是方程(3.）定義于區(qū)間x0XXoh

7、上,滿足初始條件(3. 3 )的解，則（X）是積分方程y yo(3.5)的定義于Xo證明（X0） y。Xf (X, y)dxXoXXoX Xo h上的連續(xù)解.反之亦然.因?yàn)閥（X）是方程（3 1)滿足(Xo)yo的解,于是有兩邊取Xo到X的積分得到d (X)dx(X)(Xo)即有(X)yof (x, (x)dxxo所以y（X）是積分方程y yo反之,如果y（X）是積分方程（(X)yof（X,（X）Xf (X, (x)dxxoXoXXohXof （x,y）dx定義在區(qū)間3 .5）上的連續(xù)解，則Xf (X, (x)dxxo(3 .6)XoXoXoXXxohXoXxoh由于f （X, y）在R上連續(xù)

8、，從而f （X, （x）連續(xù)，兩邊對(duì)X求導(dǎo)，可得h上的連續(xù)解.警 f(x,(x)而且(Xo) yo,故y（X）是方程（3.1）定義在區(qū)間XoXx0 h上解.構(gòu)造Picard的逐次逼近函數(shù)序列n (X) o(x)yon(x)Xyox f( , nxo1( )dXoX(3.7 )命題2對(duì)于所有的n ,(3.6 )中的函數(shù) n(x)在 Xo不等式Xo,且滿足初始條件（xo） yo的h(n TIP(3.8 )證明用數(shù)學(xué)歸納法證明1 時(shí)，1 (x)義、連續(xù)且有1 i(x) yo |Xf( ,yo)d |即命題成立.假設(shè)k 1時(shí),由于xoXo h上有定義，連續(xù)且滿足l n(x) yo | bXyof (

9、, yo)d,顯然XoX|f( ,yo)|dxoM(x1 (x)在xo X xo h上有定Xo) Mh bk命題2成立，也就是在xo XXoh上有定義、連續(xù)且滿足不等式k(x)yol bk i(x)yoXf( , k( )dxxof（X, y）在R上連續(xù),從而f（X, k（x）在Xo xo h上有定義、連續(xù)，而且有XX Xo h上連續(xù)，于是得知k1（x）在命題3函數(shù)序列 n（X）在XoX Xo h上是一致收斂的.| k1(x) yo| X|f( , k( )|dM(x Xo) Mh b即命題2對(duì)n k 1時(shí)也成立.由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有的 n均成立.記 lim n(x)(x), Xo X Xo

10、h證明構(gòu)造函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)故(X)是積分方程(3.5)的定義在X。Xx0h上的連續(xù)解.k(x) k 1(X)k 1XoXXoh(3.9 ) 它的部分和為Si(x)o(x)nk(x) k 1 (X) n(x)k 1于是n(x)的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì).的一致收斂性與級(jí)數(shù)(3. 9 )的一致收斂性等價(jià). 為此，對(duì)級(jí)數(shù)(3. 9 )1 i(x)o(x)|XJf(,0()|d M(x Xo)(3 .10)i(x)|Xxo|f(,1()f(，o( )|d由Lipsc hi tz條件得知i(x)|Xo)XL I 1(X0XL M (XoML(X2!o( )|dE設(shè)對(duì)于正整數(shù)n,有不等式MLn 1nW n1(x)|(X X

11、o)n成立，則由Li p sc h i tz條件得知,當(dāng)XoXXoh時(shí),有1 nl(x) n(x)|f(, n(XL JMLn苛MLn)f(，n l( )|d于是由數(shù)學(xué)歸納法可知,1 k(X) k1(X)1MLkk!(3 .11 )由正項(xiàng)級(jí)數(shù)X。XX0n(Xx(n+1)!(X對(duì)所有正整數(shù)k,有1. k 1k ML k-(x Xq)hk!ni()|dEX0)ndX0X。h設(shè)limn命題4證明hkMLk 1一的收斂性，利用W eierstrk 1k!h上一致收斂.因而序列 n(x)在x0X x0a SSn(x)(x),則(X)也在X。X X。h上連續(xù)，且1 (X) y。| b(X)是積分方程(3.

12、5 )的定義在X。XX。判別法,級(jí)數(shù)(3.9)h上一致收斂.h上的連續(xù)解.由 Lip sc h itz條件1 f (X,n(X) f(X,(X) 1 L 1 n(X)以及 n(x)在X。X一致收斂于f (X, (X).因此X0h上一致收斂于(x),可知 f (X, n(x)在 X。XX0 h上limnn(X)y。=y0Xnimf(，ni( )dnXqXlimX nf(，n l( )dn(x) y。Xx。"，()d命題5 設(shè)(X)是積分方程(3.5)的定義在X。(X)(X), X。X X。 h.X X。h上的一個(gè)連續(xù)解,X0證明設(shè) g(x) | (x)(x) |，則 g(x)是定義在

13、XoxXoh的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，由而且y。Xf( , ( )d0(X)y。Xf( , ( )d0schitz條件,可得(X)X(X)| |f(X0,()f(,()d |XJf(,()f(,()|dXL J()()|dXLe)d(X)f(x,y)滿足L1Pg(x)1h的連續(xù)可微函數(shù)，且u(x0)0,則 u(x)是 x0令 u(x) L g( )dX0XX00 g(x) u(x), u (x) Lg (x)，u (x) Lu(x), (u (x) Lu(x)e Lx 0,即(u(x)e Lx)0 ,于是在 x0 X x0 h 上,u(x)e Lxu(X0)e LX0故 g(x) u(x) 0 ,即 g

14、(x) 0, Xo XXoh ,命題得證.對(duì)定理說明幾點(diǎn)：(1)存在唯一性定理中h min(aP)的幾何意義.M兀 + t r -ATo,-F%圏(町yZ這里(X, yi),(x, y2)R,0-=I_I1»_I夕 X心一口環(huán)一理幾M與M的直線.在矩形域R中f (x,y) M ,故方程過(Xo, yo)的積分曲線y (x)的斜率必介于 M 與M之間,過點(diǎn)(xo, yo)分別作斜率為當(dāng)M 一時(shí),即a,(如圖(a)所示) aMM 時(shí)，即一 a ,(如圖(b)所示)， a M,解 y(X)在 Xo不能保證解在有可能在區(qū)間內(nèi)就跑到矩形R外去，只有當(dāng)Xo MXo在R內(nèi),故要求解的存在范圍是a

15、X Xo a上有定義；當(dāng)XXoa上有定義，它Mt才能保證解y (x)| X Xo |h.由于李普希茲條件的檢驗(yàn)是比較費(fèi)事的，而我們能夠用一個(gè)較強(qiáng)的，但卻易(2)于驗(yàn)證的條件來代替他，即如果函數(shù)f(x,y)在矩形域R上關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)fy(x,y)存 在并有界，即fy(x,y)L，則李普希茲條件條件成立.事實(shí)上|f(x,yi) f(x,y2)|_llyi y2|yL|yi y21希茲條件.但是，滿足李普希茲條件的函數(shù) f(x,y) | y |在任何區(qū)域都滿足李普希茲條件1 .如果fy(x,y)在R上連續(xù)，它在R上當(dāng)然滿足李普 f(x, y)不一定有偏導(dǎo)數(shù)存在.例如函數(shù),但它在y 0處沒有導(dǎo)數(shù).xm

16、aX|P(x)y0 Qg.(4)、Li ps chitz條件是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件(3)、設(shè)方程(3.1)是線性的,即方程為尋 P(x)y Q(x)易知，當(dāng)P(x),Q(x)在區(qū)間,上連續(xù)時(shí)，定理1的條件就能滿足，且對(duì)任一初值 (Xo,yo),Xo ,所確定的解在整個(gè)區(qū)間,上有定義、連續(xù).實(shí)際上，對(duì)于一般方程(3.1),由初值所確定的解只能定義在|x x0 | h上,是 因?yàn)樵跇?gòu)造逐步逼近函數(shù)序列 n(x)時(shí),要求它不越出矩形域 R，此時(shí)，右端函數(shù)對(duì)y 沒有任何限制，只要取 M所以方程右端函數(shù)在y0的任何鄰域并不滿足Li p schitz條件.例如試證方程dydx0yl

17、n|y|y=0y 0證明 y 0 時(shí),f (x, y) yln| y|,在 y經(jīng)過xoy平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的0上連續(xù),fy(x,y)1 In |y|也在y 0上連續(xù)，因此對(duì)x軸外的任一點(diǎn)(X0,y0),方程滿足y(X0) y。的解都是唯一存在的. 又由dX yln|y|可得方程的通解為y下半平面的通解，它們不可能與 任一點(diǎn)(滄,0)，只有xcee ,其中y e為上半平面的通解，yy 0相交.注意到y(tǒng) 0是方程的解，因此對(duì) y 0通過,從而保證xoy平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的.cexe 為上半平面的通解,xcee 為x軸上的但是|f(x,y) f (x,0) | |yl n|y| |1 n

18、|y|y|因?yàn)?lim |ln | y|y 0,故不可能存在L 0,使得此題說明L ip1 f(x, y) f(x,0) | L|y|s chitz條件是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件.2)考慮一階隱方程F(x,y,y) 0(3.1 2)由隱函數(shù)存在定理,若在(xo,yo,yo)的某一鄰域內(nèi)F連續(xù)且F(Xo,yo,yo) o,而 o，則必可把y唯一地表為x,y的函數(shù)yy f(x, y)(3. 1 3)并且f(x,y)于(xo, yo)的某一鄰域連續(xù),且滿足yo f (xo, yo)(3.15)求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法如果F關(guān)于所有變?cè)嬖谶B續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 并且則 f

19、 (x, y)對(duì)x, y也存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，(3. 14 )顯然它是有界的，由定理1可知，方程(3.一.從而得到下面的定理.3)滿足初始條件的y(xo) o解存在且唯定理2如果在點(diǎn)(xo, yo, yo)的某一鄰域中：i ) F(x, y, y )關(guān)于所有變?cè)?x,y,y)連續(xù)，且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);ii) F (xo, yo, yo) o巧 F(Xo,yo,yo) o則方程(3. 12 )存在唯一的解y y(x) |x xo | h ( h為足夠小的正數(shù))滿足初始條件y(xo) yo,y (xo) y。1、近似計(jì)算和誤差估計(jì)0(x) y。Xn(x)y0f ( , n 1( )dX0XoXx0h

20、對(duì)方程的第n次近似解n(X)和真正解(X)在|XXo |h內(nèi)的誤差估計(jì)式(3.佝1 n(x)(X)| (nML1)!此式可用數(shù)學(xué)歸納法證明.1 o(X)(x)|XJf(,)|dM(XXo) Mh設(shè)有不等式| n1(X)(X)|MLn1-nr(xXo)n.n 1ML nh n!成立,則l n(X)(X)|XJf(,XL JMLnn!MLnn1(n1(Xx(n+1)!(X例1討論初值問題dy 22dX x八)f(，( )|d()|dEXo)ndn 1X0)也hn1(n+1)!y(0) 0解的存在唯一性區(qū)間，并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超過R: 1 X 1,0.05的近似解，其中,1 y 1.(m

21、axR|f(x，y| 2，a 1，b 1，hL ,根據(jù)誤差估計(jì)式(3.1 6)MLn . n(n 1)!1n解 Mmin aMi，由于一1一0.05(n 1)!0(x)0可知n 3.于是2(x) 0xo(x)dxX 2(x) 0x212(x)dx(x)0xx222(x)dx1237x633(x)就是所求的近似解,在區(qū)間§27x6311x207915x5953511上，這個(gè)解與真正解得誤差不超過0.0 5 .2解的延拓上節(jié)我們學(xué)習(xí)了解的存在唯一性定理，當(dāng)f (x, y)的右端函數(shù)dxf(x,y)在 Rdyf(x，y)的解在 |x x0 |上滿足解的存在性唯一性條件時(shí)，初值問題 dxy。

22、唯一.但是,這個(gè)定理的結(jié)果是局部的，也就是說解的存在區(qū)間是很小的.f(x,y)的存在區(qū)域的增大，而能肯定的解得存在區(qū)間反而縮小。例如，2 y 2 時(shí)，M 8,h min2, 28當(dāng)定義區(qū)域變?yōu)镽: 2 x 2,1 一為| x x01 -.在實(shí)際引用中,4展概念，盡量擴(kuò)大解的存在區(qū)間1、飽和解及飽和區(qū)間(3.1)設(shè)y區(qū)間y(x0)我們也希望解的存在區(qū)間能盡量擴(kuò)大h上存在且可能隨著上一節(jié)的例 1,1-,解的范圍縮小4,下面討論解的延,把解的存在唯一性定理的結(jié)果由局部的變成大范圍的定義1對(duì)定義在平面區(qū)域 G上的微分方程dx f(x，y)(x)是方程(3.1)I2 R上的另一解定義在區(qū)間11R上的一個(gè)

23、解，如果方程(3 . 1)還有一個(gè)定義在y (x),且滿足(1) I1 I2；但是I1 I2則稱y (X), X Ii是可延拓的，并稱y (X)是y (x)在12上的延拓.否則如果不 存在滿足上述條件的解 y (X)，則稱y (x), X Ii是方程(3.1 )的不可延拓解或飽 和解，此時(shí)把不可延拓解的區(qū)間I,稱為一個(gè)飽和區(qū)間.2、局部李普希茲條件定義2 若函數(shù)f(X, y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且對(duì)G內(nèi)每一點(diǎn)P,都存在以P點(diǎn)為中 心，完全含在G內(nèi)的閉矩形域Rp,使得在Rp上f (X, y)關(guān)于y滿足李普希茲條件(對(duì)于 不同的點(diǎn)，閉矩形域Rp的大小和李普希茲常數(shù) L可能不同)，則稱f (X, y)在

24、G上關(guān)于y 滿足局部李普希茲條件.定理3 (延拓定理)如果方程 dydx區(qū)域G R2上連續(xù)，且在關(guān)于y滿足局部李普希茲條件，則對(duì)任意一點(diǎn)程dy f(x,y)以(xo,yo)為初值的解(X)均可以向左右延展，直到點(diǎn) dx近區(qū)域G的邊界.f(x,y)的右端函數(shù)f (x, y)在(有界或無界)(X0, yo) G，方(x, (X)任意接時(shí),或者y (X)無界，或者點(diǎn)(X,(X) G .以向X增大的一方來說，如果 y (X)只能延拓到區(qū)間上，則當(dāng)X 時(shí)，(X, (x)趨于區(qū)域G的邊界。證明(xo,yo)G,由解的存在唯一性定理dy f(x,y)yoy(xo)(1)存在唯一的解y(X),解的存在唯一區(qū)間

25、為|XXo |ho.取 X,Xoho,yi(xi),(X, y,)為中心作一小矩形RiG,則初值問題因?yàn)?Xi)xi hi X Xi 時(shí)dy十 f(x, y) dxyi y(xi)(Xi)，有唯一性定理，在兩區(qū)間的重疊部分應(yīng)有(X)(X)(X).定義函數(shù)(X),即當(dāng)(x)(x),xo(x),xohoXhoXXoXohohoh.則y (X)是方程(3 . 1)滿足(1)(或(2)這樣，把方程(3. 1 )滿足(1)的解yy (x)看作方程(3.1)的解y(X)在定義區(qū)間|x區(qū)間x0h0X X) h0 h-i.同樣的方法,也可把解h0,x1 hl上有定義的唯一的解.的,在Xo(X)在定義區(qū)間上向右

26、延伸了一段.即把解x0 | h0的向右延拓,延拓到更大(X)向左延拓這種將曲線向左右延拓的辦法可繼續(xù)進(jìn)行下去，最后將得到一個(gè)解 個(gè)解稱為方程(3 . 1)的飽和解.推論1對(duì)定義在平面區(qū)域G上的初值問題dy子 f(x,y) dxyoy(xo)(x),不能再向左右延拓了.這其中(x0, yo) G若f (x, y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足局部Lips ch t iz條件，則它的任一非飽和解均 可延拓為飽和解.dy dx yof (x, y)y(x0)的一個(gè)飽和解，則該飽和解的飽和區(qū)間I一定是開區(qū)間.其中(X0,yo) G推論2 設(shè)y(X)是初值問題證明若飽和區(qū)間I不是開區(qū)間,不妨設(shè)I (,則(，

27、()G ,這樣解(X)還可以向右延拓，從而y(X)是非飽和解，矛盾.對(duì)I ,)時(shí)，同樣討論,(或 X)時(shí)， (X, (X) G .推論3的解y如果G是無界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下，方程(3 .1 )通過(xo, yo)點(diǎn)(x)可以延拓，以向x增大(減小)一方的延拓來說，有以下兩種情況：(1)解y(X)可以延拓到區(qū)間Xo,)(或(，xo);解y(X)只可延拓到區(qū)間Xo,m)(或(m,Xo),其中為有限數(shù),則當(dāng)x m例1討論方程dydx亡分別通過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(In 2, 3)的解的存在區(qū)間.22解此方程右端函數(shù)f(x, y) L-2及解的延拓定理的條件.易知方程的通解為1 一-在整個(gè)x

28、y平面上滿足解的存在唯一性定理0，因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí),y例2討論方程吐dxIn x過(1,0)點(diǎn)的解的存在區(qū)間. x1 cex1 ce故通過點(diǎn)(0,0)的解為y (1 ex)/(1 ex),這個(gè)解的存在區(qū)間為通過點(diǎn)(In 2, 3)的解為y (1 ex)/(1 ex),這個(gè)解的存在區(qū)間為0 x(如圖所示).注意，過點(diǎn)(In 2, 3)的解為y (1 ex)/(1 ex)向右方可以延拓到，但向左方只能延拓到解方程右端函數(shù)及解的延拓定理的條件f(x,y) 1 In X在右半平面x 0上滿足解的存在唯一性定理.區(qū)域G (右半平面)是無界開域，y軸是它的邊界.易知問題的解為y xl nx,它于區(qū)間0 x上

29、有定義、連續(xù)且當(dāng)x 0時(shí)，y0,即所求問題的解向右方可以延拓到，但向左方只能延拓到 0，且當(dāng)x 0時(shí)積分曲線上的點(diǎn)(X, y)趨向于區(qū)域G的邊界上的點(diǎn).例3考慮方程 業(yè) (y2 a2) f (x, y),假設(shè) dx試證明：對(duì)于任意X0及I y。f(x,y)和fy(x,y)在xoy平面上連續(xù),a，方程滿足y(xo)yo的解都在()上存在.xoy平面上滿足解的存在唯一性定理,)上的解，由延拓定理可知，對(duì)證明 根據(jù)題設(shè)，易知方程右端函數(shù)在整個(gè) 及解的延拓定理的條件.又 ya為方程在(x0,| y0 | a ,滿足y(x0) y0的解y y(x)應(yīng)當(dāng)無限遠(yuǎn)離原點(diǎn),但是，由解的唯一性, yy(x)又不能

30、穿過直線ya,故只能向兩側(cè)延拓，而無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，從而解應(yīng)在(,)存在注：如果函數(shù)f (x,y)于整個(gè)xoy平面上定義、連續(xù)和有界，同時(shí)存在關(guān)于y的一 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程(3.1)的任一解均可以延拓到區(qū)間練習(xí)試證對(duì)任意Xo , yo,方程dxx22滿足初始條件 y( Xo)yo的解都X y 1)上存在.§3解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理dy在初值問題dxyof(x，y)中我們都是把初值(X0, yo)看成是固定的數(shù)值，然后再去y(x0)討論方程型dx解也隨之變動(dòng)如：f(x,y)X Xof (x, y)經(jīng)過點(diǎn)(x0, y0)的解但是假如(x0, y0)變動(dòng)，則相應(yīng)初值問題的y yoe業(yè)d

31、x,也就是說初值問題的解不僅依賴于自變量X ,還依賴于初值(Xo, yo).例y時(shí),方程y y的解是y cex，將初始條件y(Xo)y帶入,可得.很顯然它是自變量X和初始條件(Xo, yo)的函數(shù).因此將對(duì)初值問題f(x，y)的解記為 y(x,X0,y0),它滿足 yo(xoXoyo).yoy(xo)當(dāng)初值發(fā)生變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的解是如何變化的 ？當(dāng)初始值微小變動(dòng)時(shí)，方程解的變化 是否也很小呢？為此就要討論解對(duì)初值的一些性質(zhì).1、解關(guān)于初值的對(duì)稱性設(shè)方程(3 .1 )滿足初始條件y(x0) y0的解是唯一的,記為y(xxoyo),則在此關(guān)系式中，(X, y)與(X0, y。)可以調(diào)換其相對(duì)位置即在解

32、的存在范圍內(nèi)成立關(guān)系式y(tǒng)o(Xo,x, y)證明 在方程(3. 1)滿足初始條件y(x0) y0的解的存在區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn) 捲，顯 然y(x1,x0,y0),則由解的唯一性知，過點(diǎn)(冷)的解與過點(diǎn)(x0, y0)的解是同一條積分曲線，即此解也可寫為y(x,Xi, yi)并且，有y0（x0,Xi, y-i）.又由（Xi,%）是積分曲線上的任一點(diǎn)，因此關(guān)系式y(tǒng)0（x0, X, y）對(duì)該積分曲線上的任意點(diǎn)均成立.2、解對(duì)初值的連續(xù)依賴性由于實(shí)際問題中初始條件一般是由實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的，肯定存在誤差.有的時(shí)候誤差比較大，有的時(shí)候誤差比較小，在實(shí)際應(yīng)用中我們當(dāng)然希望誤差較小，也就是說當(dāng)（x0, y0）變動(dòng)很小

33、的時(shí)候，相應(yīng)的方程的解也只有微小的變動(dòng)，這就是解對(duì)初值的連續(xù) 依賴性所要研究的問題：在討論這個(gè)問題之前，我們先來看一個(gè)引理：引理：如果函數(shù)f （x, y）于某域D內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足Li psc h t i z條件（Lipsc h tiz常數(shù)為L(zhǎng)），則對(duì)方程（3.1 ）的任意兩個(gè)解（X）及（X），在它們公共存在的區(qū)間內(nèi)成立著不等式| (X)(x)| | (X0)(X0)|eL|xx01(3. 17)其中X0為所考慮區(qū)域內(nèi)的某一值.證明設(shè)（X）,（x）于區(qū)間a Xb上均有定義,令于是V(x)(X)(x)2,a(X)2 (X)(x) f(x,)f(x,)V(x) |V(x)| 2| (X)(x)|

34、f(x,)f(x, )1 2LV(x).、 2Lx _ . /、2 Lx -V (x)e 2LV (x)e 0從而d>(x)宀0所以，對(duì)X0a,b,有V(x)V(Xo)e2L(x 冷)，XoX對(duì)于區(qū)間xo ,令 xt,并記X0 t。，則方程（3 . 1 ）變?yōu)閐ydxf( t,y)而且已知它有解y ( t)和 yt).類似可得V（x）., 2L(X0 X)V(X0)e,aXo因此,V(x) V(x0)e2L|x xo|,a x b,a x0 bf (x y)初值問題dx有解y(x,X0,y0),它于區(qū)間a x b上有定義yoy(xo)(a x0b ),則對(duì)任意時(shí)，方程(3.1)滿足條件

35、且有0,y(X0)(,a,b) 0,使得當(dāng)(Xo Xo)2 (yo yo)22yo的解y (x,Xo,yo)在區(qū)間a x b上也有定義，并(x,Xo,yo)(x,xo,yo),a x b.證明記積分曲線段S: y(x, x0,y0)(x), a x b是xy平面上一個(gè)有界閉第一步：找區(qū)域D，使S D,而且f(x, y)在D上關(guān)于y滿足Lip s ch itz條件.由已知條件，對(duì)(x,y) S,存在以它為中心的開圓 C,C G ,使f(x,y)在其內(nèi)關(guān) 于y滿足Lipsch itz條件.因此，根據(jù)有限覆蓋定理，可以找到有限個(gè)具有這種性質(zhì)的圓 Ci(i 1,2|, N)(不同的Ci,其半徑ri和L

36、i psc h i tz常數(shù)Li的大小可能不同)，它們 Ci ,則 S G G ,對(duì)的全體覆蓋了整個(gè)積分曲線段S,令G0,記d( G,S), min( , /2),L max(L1,圓的全體及其邊界構(gòu)成包含S的有界閉域D1 Psch i t z 條件,Lipsch itz 常數(shù)為L(zhǎng)n),則以S上的點(diǎn)為中心，以G G,且f(x,y)在D上關(guān)于為半徑的y滿足L第二步：證明(，a,b)0(y (x)(x,xo, yo)在區(qū)間 a x_ 2 ),使得當(dāng)(Xo Xo) (yob上也有定義.yo)2由于D是一個(gè)有界閉域，且f (x, y)在其內(nèi)關(guān)于y滿足L 1 psc 延拓定理可知， 界上的點(diǎn)為(C, 引

37、理有解y (X)(x,xo,yo)必能延拓到區(qū)域(C)和(d, (d) , c d,這時(shí)必有 c a,dhi tz條件,D的邊界上.設(shè)它在b .否則設(shè)c a,d由解的D的邊兩邊開平方即得(3.17).利用此引理我們可以證明解對(duì)初值的連續(xù)依賴性解對(duì)初值的連續(xù)依賴定理假設(shè)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù),且關(guān)于y滿足局部李普希茲條件,如果(xo,yo) G,dy| (x)(x)| | (xo)(xo)|eL|x 知 c利用1 （X）1(X)的連續(xù)性，對(duì)1- e L(b a),必有2(xo)|1,取 min( 1, 2)，則當(dāng)(Xo0存在,使當(dāng)|x Xo |2時(shí)有（X）(x)|2 | (Xo)12(| (

38、Xo)(Xo)| | (Xo)2(| (Xo)(Xo)|2| (Xo)2( 12(Xo)|2 e2L|X 砒4 12e2L(b a)|yo yo|2)e2L(ba)2（C(3 .18)于是對(duì)一切 X c,d,|(X)(x)|1(C)即點(diǎn)（C, （C）和（d, （d）均落在域 a,b上有定義.Xo)2 (yo yo)2(Xo) |)2e2L|X(Xo)|2)e2L|5|X d)成立,特別地有(c)|, | (d)(d)|D的內(nèi)部,這與假設(shè)矛盾，故解 y第三步證明| (x)(x) |, a X b.在不等式（3.18）中將區(qū)間c,d換成a,b，可知當(dāng)(Xo Xo)2 (yo yo)22時(shí)，就有(x

39、,Xo,yo)(X,Xo,yo),a X b.2時(shí)就有（X）在區(qū)間根據(jù)方程解對(duì)初值的連續(xù)依賴定理及解對(duì)自變量的連續(xù)性有3、解對(duì)初值的連續(xù)性定理的解y若函數(shù)f （X, y）在區(qū)域G內(nèi)連續(xù),且關(guān)于y滿足局部李普希茲條件，則方程（3. 1） （x,xo,yo）作為X, Xo, yo的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的.證明(Xo, yo)對(duì)(xo, yo) G，方程(3.1)過(xo, yo)的飽和解y(x,Xo, yo)定義于X(Xo, yo)上,令V ( X, Xo,yo)| (Xo, yo)x(x。，yo),( x。，y。)G下證y(X, Xo, yo)在V上連續(xù).對(duì)(X,Xo,yo) V , a,

40、b，使解 y(x,X), Yo)在a,b上有定義，其中x,Xo a,b.(x, xo, yo)(x,xo,yo)2,a(x,Xo, yo)在X a,b上對(duì)x連續(xù)，故 2o,使得當(dāng)|x x| 2時(shí)有(x,Xo,yo)(X, Xo,yo)訐,X 訕取 min(22),則只要(X X)(XoXo)2(yo yo)22就有從而得知y(x,Xo, yo)l (x,Xo,yo)(x, xo,yo)(x,Xo,yo)|(X,x0,y0)(x, X0,y0)|(x, Xo, yo)在V上連續(xù).12時(shí),o, 1 o，使得當(dāng)(Xo Xo)( yo yo)4、解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴定理討論含有參數(shù)的微分方程dXf

41、s)G ：(x, y)G,(3 .19)如果對(duì)(X, y, ) G，都存在以(X, y,(x, yi, ),(x, y2, ) C ,成立不等式)為中心的球C G ，使得對(duì)任何1 f (x, yi,)f(x,y2, )| L| yi y21其中L是與 無關(guān)的正數(shù)，稱函數(shù)f(x,y,)在G內(nèi)關(guān)于y 致地滿足局部的李普 希茲條件.由解的唯一性，對(duì)每一o (,)，方程(3. 19)通過點(diǎn)(Xo,yo) G的解是唯一確定的，記這個(gè)解為 y(x,xo,yo, o).設(shè)f(x, y,)在G內(nèi)連續(xù)，且在G內(nèi)關(guān)于y 致地滿足局部的李普希茲條件，9 )通過(xo, yo)的解，在區(qū)間a X b ,a,b)(xo,yo,