等比數(shù)列的前n項和1

1、粒共293222221求求等比等比數(shù)列的數(shù)列的前前3030項項的和。的和。( (一一) )問題探究問題探究問題問題1：這個故事中，地主中計了嗎？這個故事中，地主中計了嗎？ 到底誰吃虧了？到底誰吃虧了？問題問題2：這個月，農(nóng)夫一共要給地主多少斤米？這個月，農(nóng)夫一共要給地主多少斤米？問題問題3：這個月，地主一共要給農(nóng)夫多少斤米？這個月，地主一共要給農(nóng)夫多少斤米？ （1000粒米約粒米約40克）克）4030=120030=1200（斤）（斤）問題問題4：這是什么數(shù)列求和？求前多少項的和？這是什么數(shù)列求和？求前多少項的和？現(xiàn)在我們一起現(xiàn)在我們一起來尋找答案。來尋找答案。米粒的總數(shù)為米粒的總數(shù)為: :2

2、9323022221S問題問題5 5：如何求出這個和？用計算器怎么樣？如何求出這個和？用計算器怎么樣？問題問題7 7：怎樣求等比數(shù)列的前怎樣求等比數(shù)列的前n n項和公式？項和公式？問題問題6：等差數(shù)列有求和的公式，那么等比數(shù)列是否等差數(shù)列有求和的公式，那么等比數(shù)列是否也有也有求和的公式求和的公式呢？若有就直接用公式呢？若有就直接用公式時間很長，太麻煩了。時間很長，太麻煩了。( (一一) )問題探究問題探究問題問題8 8：能否能否類比類比等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和公式的求法？項和公式的求法？復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧( (2) 2) 在等比數(shù)列中若在等比數(shù)列中若 m+nm+n = = p+qp+q ,

3、 , 則則 1 1、等比數(shù)列的定義：、等比數(shù)列的定義： a an n . . n+1n+1a a=q =q ( (q=0)q=0)2 2、等比數(shù)列的通項公式：、等比數(shù)列的通項公式：a = a qa = a qn 1n 1n-1n-13 3、等比數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì): : (1) (1) 若若 a , G , ba , G , b成等比數(shù)列成等比數(shù)列G =a bG =a b2 2a a = a aa a = a am n m n p qp q國王 ，我希望在第1個格子里放1顆麥粒，第2個格子里放2顆，第3個格子里放4顆 ，如此下去，每個格子放的麥粒數(shù)是前一格麥粒數(shù)的2倍,第64個格子放2

4、顆麥粒，請給我足夠的麥粒來實現(xiàn)63國王獎勵國際象棋發(fā)明者問題國王獎勵國際象棋發(fā)明者問題1 2 3 4 5 6 7 1 2 2 2 2 2 2 216 17 18 19 20 21 22 232 2 2 2 2 2 2 2 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2.24 25 26 27 28 29 30 312 2 2 2 2 2 2 2.32 33 34 35 36 37 38 392 2 2 2 2 2 2 2.40 41 42 43 44 45 46 47 2 2 2 2 2 2 2 2.48 49 50 51 52 53

5、54 5556 57 58 59 60 61 62 63 . 2 2 2 2 2 2 2 2. 沒問題沒問題！ 1+2+4+8+263=?2 26464-1-1超過超過70007000億噸億噸二、新課講解：二、新課講解： 633222221S即， 646332222222S， 得即., 12264 SS1264S由此對于一般的等比數(shù)列，其前項和n112111nnqaqaqaaS，如何化簡？根據(jù)根據(jù)式，式，如何構(gòu)造另一個式子如何構(gòu)造另一個式子？ 把這兩個式子怎么樣？把這兩個式子怎么樣？nnnaaaaS121等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)121aaaaSnnn + + 得：得：)()

6、()()(2121121aaaaaaaaSnnnnn)(21nnaanS2)(1nnaanS倒序相加倒序相加nnSna項和為為等差數(shù)列，其前數(shù)列( (三三) )方法回顧方法回顧的目的：出現(xiàn)相等的項，從而化簡的目的：出現(xiàn)相等的項，從而化簡解析解析1 1：找個具體的等比數(shù)列來檢驗找個具體的等比數(shù)列來檢驗問題問題1 1：對于等比數(shù)列，是否也能用對于等比數(shù)列，是否也能用倒序相加倒序相加的方法的方法進(jìn)行求和呢進(jìn)行求和呢? ?請大家動手試試。請大家動手試試。nnnaaaaS121項和公式前為等比數(shù)列，請推導(dǎo)其已知數(shù)列nan168421nS124816nS) 116()28()44()82()161 (2n

7、S171081017( (四四) )類比探究類比探究每個括號里的值不相等每個括號里的值不相等, ,不能寫成不能寫成n n倍來化簡倍來化簡! !)()(121nnaaaa)()()()(2121121aaaaaaaaSnnnnn所以所以解析解析2 2：一般地，對于等比數(shù)列，因為：一般地，對于等比數(shù)列，因為：問題問題1 1：對于等比數(shù)列，是否也能用對于等比數(shù)列，是否也能用倒序相加倒序相加的方法的方法進(jìn)行求和呢進(jìn)行求和呢? ?請大家動手試試。請大家動手試試。nnnaaaaS121項和公式前為等比數(shù)列，請推導(dǎo)其已知數(shù)列nan( (四四) )類比探究類比探究)(1naan無法化簡無法化簡11212111

8、nnnqaqaqaqaaS問題問題1 1：對于等比數(shù)列，是否也能用對于等比數(shù)列，是否也能用倒序相加倒序相加的方法的方法進(jìn)行求和呢進(jìn)行求和呢? ?請大家動手試試。請大家動手試試。nnnaaaaS121項和公式前為等比數(shù)列，請推導(dǎo)其已知數(shù)列nan反思：反思：對于等比數(shù)列求和，不能照搬對于等比數(shù)列求和，不能照搬倒序相加倒序相加的方的方法。而是要挖掘此方法的本質(zhì)（求和的根本目的）。法。而是要挖掘此方法的本質(zhì)（求和的根本目的）。問題問題2 2：求和的根本目的是什么？求和的根本目的是什么？答：答：求和的根本目的是求和的根本目的是消項消項。消項后就可化簡。消項后就可化簡。改進(jìn)：改進(jìn)：為了看清式子的特點，我們

9、不妨把各項都用為了看清式子的特點，我們不妨把各項都用首項和公比來表示。首項和公比來表示。( (四四) )類比探究類比探究11212111nnnqaqaqaqaaS項和公式前為等比數(shù)列，請推導(dǎo)其已知數(shù)列nan問題問題4 4：類比等差數(shù)列求和方法，需要構(gòu)造另一個式子類比等差數(shù)列求和方法，需要構(gòu)造另一個式子，而，而要達(dá)到消項的目的，就須使兩式具有要達(dá)到消項的目的，就須使兩式具有問題問題3 3：觀察求和的式子觀察求和的式子，相鄰兩項有什么特征？怎樣把某，相鄰兩項有什么特征？怎樣把某一項變成它的后一項？一項變成它的后一項？后項后項= =前項前項公比公比相同的項相同的項問題問題5 5：如何構(gòu)造式子如何構(gòu)造

10、式子？ 將式子將式子的兩邊都乘以的兩邊都乘以qnnnqaqaqaqaqaqS11131211問題問題6 6：為了消項，接下來將這兩個式子怎么樣？為了消項，接下來將這兩個式子怎么樣？相減相減( (四四) )類比探究類比探究qqaSnn 1)1(1nnaaaS21 - - 得：得：nnqaaSq111問題問題7 7：要求出：要求出 ，是否可以把上式兩邊同除以，是否可以把上式兩邊同除以 ？nSq1當(dāng)當(dāng) 時，除以時，除以 得：得： q11, 01qq即當(dāng)當(dāng) 時，時，1, 01qq即?nS111aaa11212111nnnqaqaqaqaaSnnnqaqaqaqaqaqS111312111na( (四四

11、) )類比探究類比探究當(dāng)當(dāng) q=1 時，時，1naSn項和為的前設(shè)等比數(shù)列nan當(dāng)當(dāng)q1時，時，nnaaaaS.321則則qqaSnn 1)1(1探究成果：探究成果：( (四四) )類比探究類比探究等差數(shù)列等差數(shù)列方法小結(jié)：方法小結(jié)：課后思考：課后思考：用錯位相減法求和時只能乘以用錯位相減法求和時只能乘以公比嗎？能否乘以其它的數(shù)？公比嗎？能否乘以其它的數(shù)？聯(lián)想我們所學(xué)過的知識，即類比聯(lián)想我們所學(xué)過的知識，即類比，挖掘其方法的（求，挖掘其方法的（求和的根本目的是），結(jié)合等比數(shù)和的根本目的是），結(jié)合等比數(shù)列自身的來構(gòu)造式子，再把兩列自身的來構(gòu)造式子，再把兩式，這種求和方法叫做式，這種求和方法叫做求

12、和方法求和方法本質(zhì)本質(zhì)消項消項特征特征相減相減錯位相減錯位相減( (四四) )類比探究類比探究問題問題1 1：還有其它的推導(dǎo)方法嗎？還有其它的推導(dǎo)方法嗎？11212111nnnqaqaqaqaaS問題問題2 2：根據(jù)式的特點，能否建立一個關(guān)于根據(jù)式的特點，能否建立一個關(guān)于 的的方程？若能，就可從方程中解出方程？若能，就可從方程中解出nSnS問題問題3 3：式的左邊是式的左邊是 , ,要建立一個關(guān)于要建立一個關(guān)于 的方的方程程, ,那就要將式的右邊也用含那就要將式的右邊也用含 的式子來表示。的式子來表示。nSnS問題問題4 4：觀察觀察式的右邊式的右邊，從第二項開始，每一項，從第二項開始，每一項

13、都含有因式都含有因式 ，是否可考慮將之提出來？，是否可考慮將之提出來？qnS( (五五) )方程探究方程探究11212111nnnqaqaqaqaaS問題問題5 5：括號里面的，與括號里面的，與式右邊對照，少了哪一項式右邊對照，少了哪一項？)(2131111nnqaqaqaaqa問題問題6 6：括號里面的，怎樣用含括號里面的，怎樣用含 的式子表示？的式子表示？nS)(1qa nS從這個方從這個方程解出程解出nS11nnqaS問題問題7 7：這樣就得到了一個什么方程？這樣就得到了一個什么方程？問題問題8 8：解方程時要注意對進(jìn)行。解方程時要注意對進(jìn)行。 一元一次方程一元一次方程未知量的系數(shù)未知量

14、的系數(shù)討論討論( (五五) )方程探究方程探究nnqaaSq111當(dāng)當(dāng) q=1 時，時，1naSn當(dāng)當(dāng)q1時，時，qqaSnn 1)1(111212111nnnqaqaqaqaaS)(2131111nnqaqaqaaqa)(111nnqaSqanS( (五五) )方程探究方程探究(建立方程建立方程)用用 表示表示注意：注意：方程法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法！方程法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法！ 一部分項一部分項提公因式提公因式過程小結(jié)：過程小結(jié)：解方程解方程nS根據(jù)等比數(shù)列求和式子的特點，對其部分項提出公根據(jù)等比數(shù)列求和式子的特點，對其部分項提出公因式后，可將其用含的式子表示出來，因式后，可將其用含

15、的式子表示出來，從而建立關(guān)于的方程，解此方程即可。從而建立關(guān)于的方程，解此方程即可。 課后思考：課后思考：對和式的右邊部分，只能提出公對和式的右邊部分，只能提出公比嗎？能否提出其它的公因式？比嗎？能否提出其它的公因式？ nSnSq( (五五) )方程探究方程探究( (六六) )熟悉理解熟悉理解等比數(shù)列前等比數(shù)列前n n項和公式項和公式當(dāng)當(dāng)q1時，時，.11qqaaSnn 當(dāng)當(dāng)q1時，時，;1naSn ,1)1(1qqaSnn 思考思考1 1：根據(jù)公式，要求一個等比數(shù)列的前根據(jù)公式，要求一個等比數(shù)列的前n n項和，項和，一般要先求出哪些量？一般要先求出哪些量？思考思考2 2：能否將能否將SnSn

16、和用和用a a1 1, , q q, , a an n來表示？來表示？思考思考3 3：什么時候用公式什么時候用公式, , 什么時候用公式什么時候用公式? ?例例1.求下列等比數(shù)列前求下列等比數(shù)列前8項的和項的和. 0,2431,27)2(91 qaa81,41,21)1( (七七) )公式的應(yīng)用公式的應(yīng)用思考：能否用公式求思考：能否用公式求 ？8S答：可以。但要先求出公比答：可以。但要先求出公比 和和8aq解題思路：求出公比解題思路：求出公比 后用公式求后用公式求8Sq21)21 (1)2(84211nn變式變式1 1 判斷正誤：判斷正誤：aaaaann1)1 (1112反思總結(jié)反思總結(jié):用公

17、式前，先弄清楚數(shù)列的首項用公式前，先弄清楚數(shù)列的首項 、公比、公比 、項數(shù)、項數(shù)n n1aq21)21 (12222132nn( (七七) )公式的應(yīng)用公式的應(yīng)用29323022221S( (八八) )問題解決問題解決問題問題1：這個故事中，地主中計了嗎？這個故事中，地主中計了嗎？ 到底誰吃虧了？到底誰吃虧了？問題問題2：這個月，農(nóng)夫一共要給地主多少斤米？這個月，農(nóng)夫一共要給地主多少斤米？問題問題3：這個月，地主一共要給農(nóng)夫多少斤米？這個月，地主一共要給農(nóng)夫多少斤米？ （1000粒米約粒米約40克）克）4030=120030=1200（斤）（斤）地主中計地主中計米粒的總數(shù)為米粒的總數(shù)為: :粒

18、930301007. 11221)21 (1斤85600啟示啟示：這個故事告訴我們這個故事告訴我們( (八八) )問題解決問題解決( (九九) )課堂小結(jié)課堂小結(jié)1. 一個公式：一個公式：2. 兩種方法：兩種方法：3. 三種數(shù)學(xué)思想：三種數(shù)學(xué)思想：這節(jié)課我們主要學(xué)到了什么？這節(jié)課我們主要學(xué)到了什么？錯位相減錯位相減解方程解方程類比類比方程方程分類討論分類討論,11)1 (,111qqaaqqanaSnnn1q1q( (十十) )作業(yè)布置作業(yè)布置qaaaaaann12312(2)(2)請從等比數(shù)列定義的兩種形式出發(fā)，分別請從等比數(shù)列定義的兩種形式出發(fā)，分別用不同的方法推導(dǎo)出等比數(shù)列前用不同的方法

19、推導(dǎo)出等比數(shù)列前n n項和的公式項和的公式: : 形式形式形式形式qaaqaaqaaqaann1342312,(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 的前的前n n項和項和231, 3 , 5, 7,aaa在等比數(shù)列中，已知 中的三個，可求另外兩個。變式變式2 2 填空：填空：1, , ,nna q n aS反思總結(jié)反思總結(jié): :如果不能用公式直接求出某個量，就要建立方程組來求解。qn第1題326第2題80.50.5第3題 -1.5496第4題 1.534.5第5題-2-96 -661anSna96189515.5-476.511.5-65等比數(shù)列的前n項和練習(xí)1等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n項和練習(xí)項和練習(xí)2

20、1. 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 1，2，4，從第從第5項到第項到第10項的和項的和. ,2, 11qa,21,231qa.1521)21 (144S.102321)21 (11010S1008151023SS410 從第從第5項到第項到第10項的和項的和: 2. 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 從第從第3項到第項到第7項的和項的和. ,83,43,23.1283812112112377 S從第從第3項到第項到第7項的和項的和:.1281534912838143237S 已知數(shù)列是首項為2，公比為 的等比數(shù)列求下列數(shù)列的前 項和：2112.31,nnnnnanaa aa 已知數(shù)列求的前 項和11113.1,242nnnaan 課堂練習(xí)：.等比數(shù)列的公比前 項和求求和：等比數(shù)列的前 項和為若求公比 的值422336912,2.13.,2,.nnnnnnSaqnSaSxxxxanSSSSq 342q 等比數(shù)列的首項為，項數(shù)為偶數(shù)，奇數(shù)項的和為 ，偶數(shù)項的和為求數(shù)列的公比和項數(shù)。4.185170,共 項,公比q=28111(1)(1)1