軸對(duì)稱_最短路徑問(wèn)題

1、名師堂校區(qū)地址：南充咨詢電話：優(yōu)學(xué)小班提分更快、針對(duì)更強(qiáng)、時(shí)效更高乩各31專業(yè)word可編輯名師堂學(xué)校優(yōu)學(xué)小班講義軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)遵循標(biāo)準(zhǔn)的理念，以 生活？數(shù)學(xué)”，活動(dòng)？思考”為主線展開(kāi)課程內(nèi)容，注重體現(xiàn),其原型來(lái)自于飲馬問(wèn)題”生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，其中最短路徑問(wèn)題就是這一方面知識(shí)與能力的綜合運(yùn)用 造橋選址問(wèn)題”，出題背景有角、三角形、平行四邊形、坐標(biāo)軸、拋物線等。下面就對(duì)上述類型做一個(gè)簡(jiǎn) 單的歸納。例1.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為 AC和BD,且AC=BD ,若Ar點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，最短距離是

2、多少米？分析：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和 兩點(diǎn)之間線段最短”，連接A' B得到最短距離為 A' B再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，即可求出A'B的值.A1B=100張.故最短距離是1000米.例2.如圖，正方形 ABCD, AB邊上有一點(diǎn) E, AE=3 , EB=1 ,在AC上有一點(diǎn) P,使EP+BP為最最短距離EP+BP.分析：此題中，點(diǎn)E、B的位置就相當(dāng)于例1中的點(diǎn)A、B,動(dòng)點(diǎn)P所在有直線作為對(duì)稱軸相當(dāng)于例1中的小河。故根 據(jù)正方形 沿對(duì)角 線的對(duì) 稱性，可得無(wú)論 P在什么位置，都有 PD=PB ;故均有EP+BP=PE+PD成立；所以原題可以

3、轉(zhuǎn)化為求 PE+PD的最小值問(wèn)題，分析易得連接 DE與AC,求得交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)的位置例3.如圖，/XOY內(nèi)有一點(diǎn)P,在射線OX上找出一點(diǎn) M,在射線OY上找出一點(diǎn) N ,使PM+MN+NP 最短.分析：此題的出題背景就是角。本題主要利用了兩點(diǎn)之間線段最短的性 質(zhì)通過(guò)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)確定三角形的另兩點(diǎn) 分別以直線 OX、OY為對(duì)稱軸，作點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Pi與P2,連接P1P2交OX于M ,交OY于N,則PM+MN+NP 最短.例4.如圖，荊州古城河在 CC處直角轉(zhuǎn)彎，河寬均為5米，從A處到達(dá)B處，須經(jīng)兩座橋：DD ,EE'橋?qū)挷挥?jì)），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西 、南北方向的，A、B在東西方

4、向上相距 65米，南北方向上相距85米，恰當(dāng)?shù)丶軜蚩墒?ADD E' EB路程最短，這個(gè)最短路程是多少米？分析：由于含有固定線段 橋”，導(dǎo)致不能將ADD E' EBI過(guò)軸對(duì)稱直接轉(zhuǎn)化 為線段，常用的方法是構(gòu)造平行四邊形 ，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行四邊形的問(wèn)題 解答.這就是造橋選址問(wèn)題”解：作AFLCD,且AF=河寬，作BGXCE,且86=河寬，連接GF,與河岸相交于E'、D'.作DD、EEW為橋.證明：由作圖法可知，AF/DD , AF=DD ,則四邊形AFD D為平行四邊形，于是AD=FD ,同理，BE=GE ,由兩點(diǎn)之間線段最短可知 ，GF最??；a S"”

5、,“、即當(dāng)橋建于如圖所示位置時(shí) ，ADD E E隈短.汽g p AS3 0）Oi/l _（2o -D 支 例5 . （ 2008?內(nèi)江）如圖，當(dāng)四邊形 PABN的周長(zhǎng)最小時(shí)，用匕3）a=。分析：因?yàn)锳B, PN的長(zhǎng)度都是固定的，所以求出PA+NB的長(zhǎng)度就行了 .問(wèn)題就是PA+NB什么時(shí)候最 短.把B點(diǎn)向左平移2個(gè)單位到B'點(diǎn)；作B'關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB',交x軸于P,從而確定N點(diǎn)位置， 此時(shí)PA+NB最短.再求a的值.此題中的PN就相當(dāng)于造橋選址問(wèn)題”中的橋，其思路與上題是一樣的。通過(guò)構(gòu)造平行四邊形和軸對(duì)稱將 折線轉(zhuǎn)之和最短轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短.至于拋物線”這

6、一類型的問(wèn)題，由于綜合性較強(qiáng)，這里就不介紹了 。但中縱觀上述幾題我們不難發(fā) 現(xiàn)，這一類題型的解題思路是一樣的：找到關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)折“轉(zhuǎn) 直”，再利用 兩點(diǎn)之間線段最短 這一性質(zhì)來(lái)解決。攀登高峰一一綜合提升B.求作：點(diǎn)C和點(diǎn)D,使得點(diǎn)C在OM1、（一定點(diǎn)兩線型）如圖，/AOB=30。，AOB內(nèi)有一定點(diǎn)一點(diǎn)R.畫出周長(zhǎng)最小的 PaR,并求出最小周長(zhǎng)。（兩定點(diǎn)兩線型）已知：ZMON和/MON內(nèi)兩點(diǎn)A,上，點(diǎn)D在ON上，且AC+CD+BD + AB最短.提示：用1題的解答可以幫助分析出 2題的解答談?wù)勈斋@自我反思想一想這節(jié)課你有什么收獲 格：利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題課

7、堂檢測(cè)如圖:在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中,E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬,先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲連接BP, GP,則4BPG的周長(zhǎng)的最小值是 水，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線鞏固訓(xùn)練：1 .如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1,4）和（3, 0）,點(diǎn)C是Y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)三角形ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，AC+BC=（ ）2 .如圖，/AOB=60 °，點(diǎn)P在/AOB的角平分線上，OP=10cm ,點(diǎn)E、F是/AOB兩邊OA , OB上的

8、動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4PEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P到EF距離是（）3 .如圖，等邊4ABC的邊長(zhǎng)為4, AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE=2 ,當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí)，貝U ZECF的度數(shù)為（）A4 .如圖所示，正方形ABCD的面積為12, ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）4.如圖，四邊形 ABCD 中，/BAD= 120 ° ,峪ZD= 90 °在 BC、CD上分別找一點(diǎn) M、N,使4AMN 周長(zhǎng)最小時(shí)，則ZAMN + ZANM 的度數(shù)為（）A.130 ° B.120° C.110° D.