數(shù)論開題報告

1、畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告-中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)論問題一、研究目的和意義數(shù)論就是指研究整數(shù)性質(zhì)的一門理論。 整數(shù)的基本元素是素數(shù)，所以，數(shù)論 的本數(shù)論（近代數(shù)論）。數(shù)論就是指研究整數(shù)性質(zhì)的一門理論。質(zhì)是對素數(shù)性質(zhì) 的研究。數(shù)論大致上可以分為初等數(shù)論（古典數(shù)論）和高等數(shù)論。初等數(shù)論主要 包括整除理論、同余理論、連分?jǐn)?shù)理論。它的研究方法本質(zhì)上說，就是利用整數(shù) 環(huán)的整除性質(zhì)。初等數(shù)論也可以理解為用初等數(shù)學(xué)方法研究的數(shù)論。其中最高的成就包括高斯的“二次互反律”等。高等數(shù)論則包括了更為深刻的數(shù)學(xué)研究工具。它大致包括代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、算術(shù)代數(shù)幾何等等。數(shù)論是競賽數(shù)學(xué)中最重要的一部分， 在各地的數(shù)學(xué)競賽中，每

2、年都會有數(shù)論 的題型，可見其重要性?？墒钦J(rèn)真觀察競賽數(shù)學(xué)中的數(shù)論題型， 已逐漸形成一門 特殊的數(shù)學(xué)學(xué)科-競賽數(shù)學(xué)，也可稱為奧林匹克數(shù)學(xué)。將高等數(shù)學(xué)下放到初等數(shù) 學(xué)中去，用初等數(shù)學(xué)的語言來表述高等數(shù)學(xué)的問題，并用初等數(shù)學(xué)方法來解決這 些問題，這就是競賽數(shù)學(xué)的任務(wù)。競賽數(shù)學(xué)的問題甚至解法的背景往往來源于某 些高等數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)就其方法而言，大體上可以分成分析與代數(shù)，即連續(xù)數(shù)學(xué)與離 散數(shù)學(xué)。很多國際數(shù)學(xué)奧林匹克的試題來自數(shù)淪、組合分析、近世代數(shù)、組合幾 何、函數(shù)方程等。其中的數(shù)論知識部分，就是來源于初等數(shù)論的概念與性質(zhì)。本文將通過研究中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)論問題，體現(xiàn)出將高等數(shù)學(xué)下放到初 等數(shù)學(xué)中去，將初等

3、數(shù)論融合到中學(xué)教學(xué)中去，而數(shù)學(xué)競賽的開展也有利于提高 學(xué)生對數(shù)學(xué)重要性的認(rèn)識，同時可以通過特殊的技巧和方法的應(yīng)用激起學(xué)生學(xué)習(xí) 的興趣。并形成一定的高等數(shù)學(xué)知識的概念，為其深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下重要基礎(chǔ), 有利于以后在數(shù)學(xué)涵養(yǎng)方面的進(jìn)一步提高二、分析國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢，提出本課題的主攻方向 自古以來，數(shù)學(xué)家對于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀(jì)， 這些研究成果還只是孤立地記載在各個時期的算術(shù)著作中， 也就是說還沒有形成 完整統(tǒng)一的學(xué)科。自我國古代，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述， 比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問題等等。在國外，古希 臘時代的數(shù)學(xué)家對于數(shù)論中

4、一個最基本的問題整除性問題就有系統(tǒng)的研 究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、和數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來應(yīng)用了。后來的 各個時代的數(shù)學(xué)家也都對整數(shù)性質(zhì)的研究做出過重大的貢獻(xiàn)， 使數(shù)論的基本理論 逐步得到完善。 在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材 料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān) 問題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。 到了十八世紀(jì)末， 歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性 質(zhì)零散的知識已經(jīng)十分豐富了， 把它們整理加工成為一門系統(tǒng)的學(xué)科的條件已經(jīng) 完全成熟了。由于近代計算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展， 數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。 比如在計 算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛

5、使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果； 又文獻(xiàn)報道，現(xiàn)在有些國家應(yīng)用“孫子定理”來進(jìn)行測距，用原根和指數(shù)來計算 離散傅立葉變換等。 此外， 數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、 差集 合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。 特別是現(xiàn)在由于計算機(jī)的發(fā)展， 用離散量的計 算去逼近連續(xù)量而達(dá)到所要求的精度已成為可能本文的主攻方向主要研究數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)論問題的 5 個重點類型，包括奇數(shù) 與偶數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、平方數(shù)、整除、同余這五個重點類型的研究與討論，通過 自己對問題的理解和分析， 提出自己的獨到見解和方法， 為以后學(xué)習(xí)更深層次的 競賽中的數(shù)論問題打下堅實的基礎(chǔ)和興趣。三、主要研究內(nèi)容、途徑和技術(shù)路線競賽

6、數(shù)學(xué)常常重視的是某一類型的解題方法或技巧。 這些數(shù)論知識的應(yīng)用會 引發(fā)思考。 數(shù)論是競賽數(shù)學(xué)中最重要的一部分， 在各地的數(shù)學(xué)競賽中， 每年都會 有數(shù)論的題型， 可見重要性。 隨著數(shù)學(xué)競賽的發(fā)展， 已逐漸形成一門特殊的數(shù)學(xué) 學(xué)科-競賽數(shù)學(xué)，也可稱為奧林匹克數(shù)學(xué)。競賽數(shù)學(xué)是將高等數(shù)學(xué)下放到初等數(shù) 學(xué)中去，用初等數(shù)學(xué)的語言來表述高等數(shù)學(xué)的問題， 并用初等數(shù)學(xué)方法來解決這 些問題。因此特性，它對于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有其有利的一面?，F(xiàn)在，我將通過探討 中學(xué)競賽數(shù)論中的 5 個重點類型來初步了解數(shù)論的奧秘。 進(jìn)而引發(fā)我們對更深層 次數(shù)論問題研究的興趣，以下是本文主要研究和探討的 5 個數(shù)論重點類型。 主要研究內(nèi)

7、容：數(shù)學(xué)競賽中數(shù)論問題 5 個重點類型1. 奇數(shù)與偶數(shù)；2. 約數(shù)與倍數(shù)、素數(shù)與合數(shù)；3. 平方數(shù)；4. 整除；5. 同余；研究途徑和技術(shù)路線：1）在圖書館、網(wǎng)上收集資料并加以整理、修改和完善 2）參考別人的相關(guān)論文3）通過閱讀相關(guān)書籍，提出自己的觀點和想法 4）根據(jù)指導(dǎo)老師的要求修改論文四、工作的主要階段、進(jìn)度及完成時間第一至四周：通過查閱有關(guān)資料完成開題報告的書寫并上交給老師審閱 第四至六周：指導(dǎo)老師審閱并批改開題報告 第七至八周：通過查閱相關(guān)資料開始寫畢業(yè)論文，計劃第十周交初稿 第十一周：將畢業(yè)論文交由指導(dǎo)老師審閱并修改 第十二周：根據(jù)指導(dǎo)老師的意見修改并整理畢業(yè)論文第十三周：畢業(yè)論文定

8、稿第十六周：畢業(yè)論文答辯五、參考文獻(xiàn)1 華羅庚，數(shù)論導(dǎo)引，科學(xué)出版社， 1957.2 潘承洞、潘承彪，簡明數(shù)論，北京大學(xué)出版社， 1992.3 周仲良譯，基礎(chǔ)數(shù)論，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社， 1980）.4 于秀源譯，數(shù)論入門，高等教育出版社， 1990）.5 數(shù)學(xué)教育概論張奠宙、宋乃慶， 主編 高等教育出版社， 2004 年10 月 第一版.6 歷屆希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽試題詳解（初中二年級）氣象出版社 2002 年 1月第一版 .7 歷屆希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽試題詳解（高中二年級 ）氣象出版社 2002 年 1月第一版 .8 最新高中數(shù)學(xué)競賽試題分類精編，開明出版社， 2000 年 3 月第一版.9 熊全安 . 初等整數(shù)論 .武漢：湖北人民出版社， 1982.10 敏泉 .數(shù)的整除性 .北京：科學(xué)普及出版社， 1957.11 陳景潤 .初等數(shù)論（1）（2）.北京：科學(xué)出版社， 1980.12 李復(fù)中 .初等數(shù)論選講 .長春：東北師范大學(xué)出版社， 1984.13 潘承洞，潘承彪 .初等數(shù)論 .北京：北京大學(xué)出版社， 1992.14 王杰官 .數(shù)論基礎(chǔ) .