三角形中位線定理知識講解

1、三角形中位線定理【學習目標】1 .理解三角形的中位線的概念,掌握三角形的中位線定理.2 .掌握中點四邊形的形成規(guī)律 .【要點梳理】要點一、三角形的中位線1 .連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線2 .定理：三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半要點詮釋：(1)三角形有三條中位線, 每一條與第三邊都有相應的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.(2)三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個小三角形.因而每個1小三角形的周長為原三角形周長的1,每個小三角形的面積為原三角形2一,1面積的1.4(3)三角形的中位線不同于三角形的中線.要點二、順次連接特殊的平行四邊形各邊中點得到的四邊形的形狀(1)順

2、次連接平行四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形(2)順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形(3)順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形(4)順次連接正方形各邊中點得到的四邊形是正方形要點詮釋：新四邊形由原四邊形各邊中點順次連接而成.(1)假設(shè)原四邊形的對角線互相垂直,那么新四邊形是矩形(2)假設(shè)原四邊形的對角線相等,那么新四邊形是菱形(3)假設(shè)原四邊形的對角線垂直且相等,那么新四邊形是正方形【典型例題】類型一、三角形的中位線1、(2021W匕京)如圖,在四邊形 ABCD中,Z ABC=90 , AC=AD , M , N分別為AC , CD的中點,連接 BM , MN , BN .(1)求證

3、：BM=MN ;(2) / BAD=60 , AC 平分/ BAD , AC=2 ,求 BN 的長.【思路點撥】(1)根據(jù)三角形中位線定理得MN=,AD,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得BM= yAC ,由此即可證實.2首先證實/ BMN=90 ,根據(jù)BN2=BM 2+MN2即可解決問題.【答案與解析】1證實：在 CAD中,: M、N分別是AC、CD的中點,.MN / AD , MN=LaD,2在RTAABC中, M是AC中點,BM= IaC ,1 . AC=AD ,.MN=BM .2解：. / BAD=60 , AC 平分/ BAD ,2 .Z BAC= / DAC=30 ,由1可知,bm=La

4、c=am=mc ,2/ BMC= / BAM +/ABM=2 / BAM=60 ,. MN / AD ,/ NMC= / DAC=30 ,/ BMN= / BMC +/ NMC=90 ,3 .BN2=BM 2+mn 2,由1可知 MN=BM= -1-AC=1 ,BN=,：<【總結(jié)升華】此題考查三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是靈活應用這些知識解決問題,屬于中考?？碱}型.舉一反三：【變式】如圖,矩形 OABC勺頂點A、C分別在x軸、y軸正半軸上,B點坐標為3, 2, OB與AC交于點P, D> E、F、G分別是線段 OR AR BR CP的中點,那

5、么四邊形 DEFG勺周長 為.C B【答案】5;解：.四邊形 OAB%矩形,.OA= BC, AB= OC BAL OA BdOCB點坐標為(3, 2),：.OA 3, AB= 2.E、F、G分別是線段 OR AR BP、CP的中點,.DE GF= 1.5 ; EF = DG= 1 .四邊形DEFG勺周長為 (1.5+1) X2=5.2、如圖,在ABC中,點D、E、F分別是AB、BC、CA的中點,AH是高.(1)假設(shè)BC=10, AH=8 ,那么四邊形 ADEF的面積為.(2)求證：/DHF=/DEF.H E【思路點撥】(1)由三角形面積公式可知：BDE、4EFC的面積都等于 4ABC面積的四

6、分之一,進而可求出四邊形ADEF的面積.(2)首先證實四邊形 ADEF是平行四邊形,進而可得 /DEF=/DAF,再利用直角三角形 的中線性質(zhì)得線段相等,從而得角等,最終可得到/ DAF= / DEF ,即可證出/ DHF= / DEF .【答案解析】(1)解：BC=10 , AH=8 , .SMBC=,X8M0=40, 點D、E、F分別是AB、BC、CA的中點, .BDE、AEFC的面積都等于 ABC面積的工,四邊形 ADEF的面積=40 20=20 ,故答案為：20;(2)證實： D、E、F分別是4ABC各邊中點, . DE / AC , EF/ AB , 四邊形ADEF是平行四邊形,/

7、DEF= / DAF , . AH是4ABC的高 .ABH、AACH是直角三角形, 點D、點F是斜邊AB、AC中點,DH=DA , HF=AF ,/ DAH= / DHA , / FAH= / FHA , / DAH+ / FAH= / FHA+ / DHA ,即 / DAF= / DHF , / DEF=/ DHF .【總結(jié)升華】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定,三角形的中位線定理,直角三角形的性質(zhì),解決題目的關(guān)鍵是證實/ DHF= / DAF與/ DAF= / DEF .、如下圖,在 ABC中,M為BC的中點,AD為/ BAC的平分線,BD± AD于D, AB = 12, A

8、C= 18,求 MD勺長.【思路點撥】 此題中所求線段 MD線段AR AC之間沒有什么聯(lián)系,但由M為BC的中點聯(lián)想到中位線,另有 AD為角平分線和垂線,根據(jù)等腰三角形“三線合一構(gòu)造等腰三角 形ABN D為BN的中點,DMIP為中位線,不難求出 MD的長度.【答案與解析】解：延長BD交AC于點N.AD為/ BAC的角平分線,且 ADL BN, /BAD- /NAD / ADB= / ADN= 90° , 在 AB麗 AND43,BAD = NADAD =ADADB = ADN ABD AND(ASA). AN = AB= 12, BD- DN AC = 18,NC=AC AN= 18-

9、12=6, D、M分別為BN BC的中點,. DM= 1CN= 1 6=3.、三角形的【總結(jié)升華】 當條件中含有中點的時候,可以將它與等腰三角形的“三線合一 中線、中位線等聯(lián)系起來,進行聯(lián)想,必要時添加輔助線,構(gòu)造中位線等圖形.【變式】如下圖,四邊形 ABCD43, Q是CD上的一定點,P是BC上的一動點,E、F分別 是PA PQ兩邊的中點；當點 P在BC邊上移動的過程中,線段 EF的長度將.A .先變大,后變小 B .保持不變 C .先變小,后變大 D .無法確定 【答案】B;解：連接AQ E、F分別是PA PQ兩邊的中點,EF是 PAQ勺中位線,即 AQ= 2EF. Q是CD上的一定點,那

10、么AQ的長度保持不變,線段EF的長度將保持不變.4、我們給出如下定義：有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.請解答以下 問題：(1)如圖1,在4ABC中,AB=AC點D在BC上,且CD=CA點E F分別為BC AD的中點,連接EF并延長交AB于點G.求證：四邊形 AGE%等鄰角四邊形;(2)如圖2,假設(shè)點D在 ABC的內(nèi)部,(2)中的其他條件不變,EF與CD交于點H,圖中是否存在等鄰角四邊形,假設(shè)存在,指出是哪個四邊形,不必證實；假設(shè)不存在,請說明理由.【思路點撥】(1)運用中位線的性質(zhì),找出對應相等的角；(2)根據(jù)題意易知滿足條件的四邊形即為第一題的四邊形.【答案與解析】 解：1取AC

11、的中點H,連接HE、HF點E為BC中點.EH為4ABC的中位線_ , _ 一 _ 1 一EH/ AB,且 EH=- AB1 _ 同理 FH/ DC 且 FH=- DC . AB=AC DC=AC.AB=DC EH=FH / 1=/2 EH/ AB, FH/ DC/ 2=/ 4, / 1=/ 3/ 4=/ 3 . /AGE+ 4=180° , Z GEC+ 3=180° ./AGE=GEC四邊形AGE提鄰角四邊形(2)存在等鄰角四邊形,為四邊形AGHC【總結(jié)升華】 此題考查了三角形的中位線以及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運用.此題較靈活, 要求學生能夠把題中的條件轉(zhuǎn)化成角,從而找出

12、相等的角來解題.舉一反三：【變式】如圖,AB/ CD E, F分別為AC,C . 2 DBD的中點,假設(shè) AB=5 CD=3貝U EF的長是( .1【答案】D;解：連接DE并延長交AB于H,. CD/ AB,/C=/ A, /CDE= AHEE是AC中點,.AE=CE. .DC陵 AHAE.DE=HE DC=AHF是BD中點,.EF是4DHB的中位線,1.EF=- BH,2BH=ABAH=AB-DC=2 .EF=1.類型二、中點四邊形3、如圖,在梯形 ABCD, AD/ BCG H分別是AB BC CD DA的中點.(1)求證：四邊形 EFGH正方形；AB= DC,對角線AG BD交于點 O,

13、 AC1BD E、F、EFGH勺面積.【思路點撥】(1)先由三角形的中位線定理求出四邊相等,然后由ACLBD入手,進行正方形的判斷.(2)連接EG利用梯形的中位線定理求出也即得出了正方形 EHGF勺面積.【答案與解析】證實：(1)在 ABC中,E、F分別是AB-1 一 一 1故可得：EF= - AC,同理FG= BD,22在梯形 ABCD43, AB= DC 故 AC= BD,.EF= FG= GH= HE, 四邊形EFGK菱形. 設(shè)AC與EH交于點M,在 ABD中,E、H分別是 AR AD的中點, 貝U EH/ BD 同理GH/ AC 又. ACLBD .EHL HG 四邊形EFG卷正方形.

14、 2)連接EG 在梯形ABCD43, B G分別是 AB DC的中點, 1,八 .EG= (AD+ BQ = 3.2在 RtEHG中,_2_22 EH GH EG , EH= GH2 9 EH2 = 9,即四邊形EFGH的面積為2【總結(jié)升華】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)及三角形、 根據(jù)三角形的中位線定理得出舉一反三：EG的長,然后結(jié)合(1)的結(jié)論求出EH2 =-,2BC的中點,GH= 1 AC, HE= 1 BD,229一.2梯形的中位線定理,解答此題的關(guān)鍵是EH= HG= GF= FE,這是此題的突破口.【變式】如圖,E、F、G H分別是邊AB BC CD DA的中點.(1)判斷四邊形 EFGH勺形狀,并說明你的理由；(2)連接BD和AC當BD AC滿足何條件時,四邊形 EFG卷正方形.【答案】解：(1)四邊形EFGH平行四邊形.理由：連接ACE、F分別是 AB BC的中點,.EF/ AC 且 EF= 1 AC,21 _同理,HG AC 且 H