一元一次方程的應(yīng)用綜合類教師用

1、一元一次方程的應(yīng)用一一其它類型一、分段與比擬1.分段討論分段型一元一次方程的應(yīng)用是指同一個(gè)未知量在不同的范圍內(nèi)的限制條件不同的一類應(yīng)用題.解決這類問(wèn)題的時(shí)候,我們先要確定所給的數(shù)據(jù)所處的分段,然后要根據(jù)它的分段合理地解決.例1 20XX年?yáng)|營(yíng)市某水果批發(fā)市場(chǎng)香蕉的價(jià)格如下表：購(gòu)置香蕉數(shù)千克不超過(guò)20千克20千克以上但不超過(guò)40千克40千克以上每千克價(jià)格6元5元4元張強(qiáng)兩次共購(gòu)置香蕉 50千克第二次多于第一次,共付出264元,請(qǐng)問(wèn)張強(qiáng)第一次、 第二次分別購(gòu)置香蕉多少千克？分析：由于張強(qiáng)兩次共購(gòu)置香蕉 50千克第二次多于第一次,那么第二次購(gòu)置香蕉多 于25千克,第一次少于 25千克.由于50千克香

2、蕉共付264元,其平均價(jià)格為5.28元,所 以必然第一次購(gòu)置香蕉的價(jià)格為6元/千克,即少于20千克,第二次購(gòu)置的香蕉價(jià)格可能5元,也可能4元.我們?cè)俜謨煞N情況討論即可.解：1當(dāng)?shù)谝淮钨?gòu)置香蕉少于 20千克,第二次香蕉 20千克以上但不超過(guò) 40千克的時(shí)候, 設(shè)第一次購(gòu)置x千克香蕉,第二次購(gòu)置50 x千克香蕉,根據(jù)題意,得：6x+5 50 x = 264解得：x= 1450-14=36 千克2當(dāng)?shù)谝淮钨?gòu)置香蕉少于 20千克,第二次香蕉超過(guò) 40千克的時(shí)候,設(shè)第一次購(gòu)置x千克香蕉,第二次購(gòu)置50 x千克香蕉,根據(jù)題意,得：6x+4 50 x = 264解得：x=32 不符合題意答：第一次購(gòu)置14千

3、克香蕉,第二次購(gòu)置 36千克香蕉例2 20XX年湖北省荊門市參加保險(xiǎn)公司的醫(yī)療保險(xiǎn),住院治療的病人享受分段報(bào)銷,保險(xiǎn)公司制定的報(bào)銷細(xì)那么如下表.某人住院治療后得到保險(xiǎn)公司報(bào)銷金額是1100元,那么此人住院的醫(yī)療費(fèi)是住院醫(yī)療費(fèi)元報(bào)銷率不超過(guò)500元的局部0超過(guò)5001000元的局部60超過(guò)10003000元的局部80A、1000 元B、1250 元 C、1500 元 D、2000 元解：設(shè)此人住院費(fèi)用為 x元,根據(jù)題意得：500 >60%+ (x- 1000)80% = 1100解得：x=2000所以此題答案D.2.方案比擬類方案型一元一次方程解應(yīng)用題往往給出兩個(gè)方案計(jì)算同一個(gè)未知量,然后

4、用等號(hào)將表示兩個(gè)方案的代數(shù)式連結(jié)起來(lái)組成一個(gè)一元一次方程.例3 (20XX年泉州市)某校初三年級(jí)學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),原方案租用30座客車假設(shè)干輛,但還有15人無(wú)座位.(1)設(shè)原方案租用30座客車x輛,試用含x的代數(shù)式表示該校初三年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)；(2)現(xiàn)決定租用40座客車,那么可比原方案租 30座客車少一輛,且所租40座客車中有一 輛沒(méi)有坐滿,只坐 35人.請(qǐng)你求出該校初三年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù).分析：此題表示初三年級(jí)總?cè)藬?shù)有兩種方案,用30座客車的輛數(shù)表示總?cè)藬?shù)：30x+15,用40座客車的輛數(shù)表示總?cè)藬?shù)：40 (x 2) +35.解：(1)該校初三年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)為：30x+15(2)由題意得

5、：30x+15=40 (x 2) +35解得：x= 630x+ 15=30X6+15= 195 (人)答：初三年級(jí)總共 195人.例4某商場(chǎng)方案撥款90000元從廠家購(gòu)進(jìn)50臺(tái)電視機(jī).該廠家生產(chǎn)三種不同型號(hào)的電視機(jī),出廠價(jià)分別為甲種機(jī)每臺(tái)1500元,乙種機(jī)每臺(tái) 2100元,丙種機(jī)每臺(tái) 2500元.(1)請(qǐng)你研究一下商場(chǎng)的進(jìn)貨方案？(2)假設(shè)商場(chǎng)銷售一臺(tái)甲種電視機(jī)可獲利150元,銷售一臺(tái)乙種電視機(jī)可獲利 200元,銷售一臺(tái)丙種電視機(jī)可獲利250元.假設(shè)商場(chǎng)準(zhǔn)備按投資、購(gòu)置方案任意選購(gòu)各種型號(hào)的電視機(jī),為了銷售時(shí)獲利最多,請(qǐng)你設(shè)計(jì)最正確進(jìn)貨方案 、設(shè)元技巧類1 .直接設(shè)未知元根據(jù)題中求什么就設(shè)什么

6、是未知數(shù),或要求幾個(gè)量,可直接設(shè)出其中一個(gè)為未知數(shù),這種設(shè)未知數(shù)的方法叫作直接設(shè)未知元法.例5今年哥倆的歲數(shù)加起來(lái)是 55歲.曾經(jīng)有一年,哥哥的歲數(shù)與今年弟弟的歲數(shù)相同,那時(shí)哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的兩倍 .哥哥今年幾歲？ 例6某手表每小時(shí)比準(zhǔn)確時(shí)間慢 3分鐘,假設(shè)在清晨4點(diǎn)30分與準(zhǔn)確時(shí)間對(duì)準(zhǔn),那么在當(dāng)天上 午手表指示時(shí)間為10點(diǎn)50分時(shí),準(zhǔn)確時(shí)間應(yīng)該是多少？115解：設(shè)所求的準(zhǔn)確時(shí)間為 x小時(shí),由題意得： (x-4-)=x-10 ,2026 1解之得：x=11,6答：準(zhǔn)確時(shí)間應(yīng)該是 11點(diǎn)10分.2 .間接設(shè)元如果對(duì)某些題目直接設(shè)元不易求解,便可將并不是直接要求的某個(gè)量設(shè)為未知數(shù),從而使得

7、問(wèn)題變得容易解答,我們稱這種設(shè)未知數(shù)的方法為間接設(shè)元法.例7 一個(gè)長(zhǎng)方形如下圖恰分成六個(gè)正方形,其中最小的正方形面積是1平方厘米.求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積.例8牧場(chǎng)上的草長(zhǎng)得一樣地密, 就可吃60天.如果要吃 96天, 解：設(shè)牧場(chǎng)上原來(lái)的草的問(wèn)題是有草1+60x,所以每頭牛每天吃一樣地快.7070頭牛在24天里把草吃完,而30頭牛 問(wèn)牛數(shù)該是多少？1,每天長(zhǎng)出來(lái)的草是 x,那么24天共有草1+24x, 60天共1 24x _ 1 60x70 24 30 60去分母得:30(1+24x)=28(1+60x). . 960x=21x=,那么每頭牛每天吃 48096天吃完,牛應(yīng)當(dāng)是1 24x1=,70 2

8、4 160011(1+96x)+(96 黑)=20 .48016003 .設(shè)輔助元有時(shí)為了解題方便, 可設(shè)某些量為輔助量,參與列方程和運(yùn)算,最后把這些輔助量約去,得 出要求的值.例9有兩個(gè)圓柱形容器 A、B, A容器內(nèi)的底面積為 B容器內(nèi)的底面積的1.5倍,B容器 內(nèi)壁高100cm,最初A容器時(shí)盛滿水,B容器那么是空的,把 A容器時(shí)的水倒入 B容器直到 倒?jié)M,A容器里剩余水的高度為原來(lái)的 1,求A容器的內(nèi)壁高度.(此題是?精編?175頁(yè)6第12題)(此題6分)例10我手中的卡片上寫有一個(gè)三位數(shù),并且個(gè)位數(shù)不為零,現(xiàn)將個(gè)位與百位數(shù)字對(duì)調(diào),取兩數(shù)的差(大數(shù)減小數(shù)),將所得差的三位數(shù)與此差的個(gè)位、百

9、位數(shù)字對(duì)調(diào)后的三位數(shù)相加,最后的和是多少？解 不妨設(shè)原數(shù)為abc Ca>c),對(duì)調(diào)后的差為k,所以k = abc - cba =ax100+bx10+c-(c ¥00+bx 10+a) =99 柏-99 >c=100Xa-100 >t-100+90+10-a+c=100(a-c-1)+9 M0+(10-a+c).因k是三位數(shù),所以 2W-cW& 1<ac-1<7.所以 2W10a+cW&差對(duì)調(diào)后為 kz =(10-a+c) M00+9x10+(a-c-1),所以 k+k,=100(a-c-1)+9 10+(10-a+c)+(10-a+c)

10、 100+9X10+(a-c-1)=1089 .故所求為1089.例11有編號(hào)為、的 3條賽艇,其在靜水中的速度依次為每小時(shí)VI、V2、V3千米,且滿足Vi> V2> V3> V >0,其中V為河流的水流速度.它們?cè)诤恿魃线M(jìn)行追逐賽,規(guī)那么如下：(1) 3條賽艇在同一起跑線上同時(shí)出發(fā),逆流而上,在出發(fā)的同時(shí),有一浮標(biāo)順流而下;(2)經(jīng)過(guò)1小時(shí),、號(hào)賽艇同時(shí)掉頭,追趕浮標(biāo),誰(shuí)先追上誰(shuí)為冠軍.在整個(gè)比賽期間各艇的速度保持不變,那么比賽的冠軍為 .解：經(jīng)過(guò)1小時(shí),、號(hào)賽艇同時(shí)掉頭,掉頭時(shí),各艇與浮標(biāo)的距離為:S i =(Vi-V)M1+VM1= Vi Ml(i=1、2、3)t

11、i.第i號(hào)賽艇追上浮標(biāo)的時(shí)間為：(Vi * V )-V由此可見(jiàn),掉頭后各走 1小時(shí),同時(shí)追上浮標(biāo),所以V , 1VI二1(小時(shí))3條賽艇并列冠軍.選做作業(yè)1 .某童裝廠現(xiàn)有甲種布料38米,乙種布料26米,現(xiàn)方案用這兩種布料生產(chǎn)L、M兩種型號(hào)的童裝共50套,做一套L型號(hào)的童裝需用甲種布料0.5米,乙種布料1米,可獲利45元；做一套 M型號(hào)的童裝需用甲種布料 0.9米,乙種布料 0.2米,可獲利30 元,請(qǐng)確定總獲利最多的生產(chǎn)方案,并求出最高獲利是多少元？2 .某車間有原料40千克,乙種原料 36千克,利用這些原料生產(chǎn) A、B兩種產(chǎn)品共5件,已 知一件A產(chǎn)品需甲種原料 9千克,乙種原料 3千克,可

12、獲利潤(rùn)700元；一件B種產(chǎn)品需甲 種原料4千克,乙種原料10千克,可獲利潤(rùn)1200元,設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品X件.(1)列式表示：生產(chǎn)B種產(chǎn)品的件數(shù).兩種產(chǎn)品共用甲種原料的千克數(shù) .兩種產(chǎn)品共用乙種原料的千克數(shù) (2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)：A、B兩種產(chǎn)品的件數(shù)有哪幾種方案(就是5件產(chǎn)品中,A、B各幾件)？并簡(jiǎn)要理由.(3)用X的式子表示這批產(chǎn)品所獲利潤(rùn),你所設(shè)計(jì)的方案中,哪種方案利潤(rùn)最大？最大利 潤(rùn)是多少？3 .一件工程,甲工程隊(duì)獨(dú)做 10天完成,每天需費(fèi)用 160元；乙工程隊(duì)獨(dú)做15天完成,每天 需費(fèi)用100元.(1)假設(shè)由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合做 3天后,剩余工程由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成,求工程所需的總費(fèi)用是多少元？(

13、2)由于場(chǎng)地限制,兩隊(duì)不能同時(shí)施工.假設(shè)先安排甲工程隊(duì)單獨(dú)施工做一局部工程再由乙工程 隊(duì)單獨(dú)施工完成剩余工程,預(yù)計(jì)共付工程總費(fèi)用1560元,你知道甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)各做了工程的幾分之幾嗎 ？(3)為了保證工程質(zhì)量,工程指揮部決定安排一名質(zhì)檢員全程進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)督,每天需付給質(zhì)檢員的工作、生活補(bǔ)助30元,請(qǐng)你安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)進(jìn)行施工,使工程所需的總費(fèi)用最少？4 .據(jù)調(diào)查,某市居民生活用電價(jià)格為每天早晨7時(shí)到晚上23時(shí)每度0.47元,每天23時(shí)到第二天7時(shí)每度0.25元.請(qǐng)根據(jù)你家每月用電情況,設(shè)計(jì)出用電的最正確方案.5 .某市為鼓勵(lì)節(jié)約用水,對(duì)自來(lái)水的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：每月每戶用水不超過(guò)10噸局

14、部按0.45元/噸收費(fèi),超過(guò)10噸而不超過(guò)20噸局部按0.8元/噸收費(fèi),超過(guò)20噸局部按0.50元/噸收費(fèi),某月甲戶比乙戶多交水費(fèi)3.75元,乙戶交水費(fèi) 3.15元.問(wèn)：(1)甲、乙兩戶該月各用水多少噸？(自來(lái)水按整噸收費(fèi))(2)根據(jù)你家用水情況,設(shè)計(jì)出最正確用水方案.6 .某市按以下規(guī)定收取每月的煤氣費(fèi)：用煤氣如果不超過(guò)60立方米,按每立方米 o.8元收費(fèi)；如果超過(guò) 60立方米,超過(guò)局部按每立方米1. 2元收費(fèi).怎樣用氣最節(jié)約？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出7 .隨著電信事業(yè)的開(kāi)展,各式各樣的電信業(yè)務(wù)不斷推出,請(qǐng)你通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,為你家設(shè)計(jì)出 一種通訊方案.(1)兩地間打長(zhǎng)途 所付電費(fèi)有如下規(guī)定：假設(shè)通話在3分鐘以

15、內(nèi)都付2.4元.超過(guò)3分鐘以后,每分鐘付1元.(2)某移動(dòng)通訊公司升級(jí)了兩種通訊業(yè)務(wù),全球通使用者先繳50元月租費(fèi),然后每通話1分鐘,再付話費(fèi)0.4元,快捷通不繳月租費(fèi),每通話 1分鐘,付話費(fèi)0.6元.,根據(jù)上述資料,(1)你認(rèn)為一個(gè)月通話多少分鐘,兩種移動(dòng)通訊費(fèi)用相同？(2)某人估計(jì)一個(gè)月內(nèi)通話300分鐘,應(yīng)選擇哪種移動(dòng)通訊或用長(zhǎng)途 合算些？8 .我國(guó)很多城市水資源缺乏,為了增強(qiáng)居民的節(jié)水意識(shí),合理利用水資源,很多城市制定了用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn),A市規(guī)定每戶每月的標(biāo)準(zhǔn)用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)用水量的局部按每立方米1.2元收費(fèi),超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)用水量的局部按每立方米3元收費(fèi).該市張大爺家5月份用水9立方米,需交費(fèi)16

16、.2元.A市規(guī)定的每戶每月標(biāo)準(zhǔn)用水量是多少立方米？9.20XX年世界杯足球賽韓國(guó)組委會(huì)公布的四分之一決賽門票價(jià)格是：一等席 300美元,二等席200美元,三等席125元美元,某服裝公司在促銷活動(dòng)中,組織獲得特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)的36名顧客到韓國(guó)現(xiàn)看 20XX年世界杯足球賽四分之一決賽,除去其他費(fèi)用后,方案買兩種門票,用完5 025美元,你能設(shè)計(jì)出幾種購(gòu)票方案供該服裝公司選擇嗎？說(shuō)明理由10 .將連續(xù)的奇數(shù)1, 3, 5, 7, 9排成如下圖.(1)框中的五個(gè)數(shù)的和與中間的數(shù)23有什么關(guān)系？(2)圖中能畫出幾個(gè)這樣的十字框？(3)十字框中的五個(gè)數(shù)之和能等于2021嗎？假設(shè)能,請(qǐng)寫出這五個(gè)數(shù),假設(shè)不能,

17、說(shuō)明理由.1359111315171925272931333537 3941434547495153555779616311 .在各自的日歷上任意圈出一個(gè)豎列上相鄰白四個(gè)數(shù),兩人分別把自己所圈4個(gè)數(shù)的和告訴同伴,由同伴求同這 4個(gè)數(shù).2.在各自的日歷上,用一個(gè)正方形任意圈出 2X2個(gè)數(shù),把 它們的和告訴同伴,由同伴求出這 4個(gè)數(shù).12 .某縫紉師做成一件襯衣、 一條褲子、一件上衣所用的時(shí)間之比為 1 ： 2 ： 3.他用十個(gè)工時(shí) 能做成2件襯衣、3條褲子和4件上衣.那么他要做成 14件襯衣、10條褲子和2件上衣, 共需多少工時(shí).解 設(shè)縫紉師做一件襯衣的時(shí)間為x,那么一條褲子的時(shí)間為2x,做一件

18、上衣用時(shí)為3x.由于十個(gè)工時(shí)完成2件襯衣、3條褲子、4件上衣,即2x+3X2x+4 X3x=10工時(shí).即20x=10工時(shí),那么完成2件上衣、10條褲子、14件襯衣共需：2X3x+10 2x+14x=40x=20工時(shí)13 .某校初中一年級(jí)舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽,參加的人數(shù)是未參加人數(shù)的3倍,如果該年級(jí)學(xué)生減少 6人,未參加的學(xué)生增加6人,那么參加與未參加競(jìng)賽的人數(shù)之比是2： 1.求參加競(jìng)賽的與未參加競(jìng)賽的人數(shù)及初中一年級(jí)的人數(shù).解：設(shè)未參加的學(xué)生有 x人,x+6+2x+6=x+3x-6 ,所以x=24 .所以未參加競(jìng)賽的學(xué)生有24人,參加競(jìng)賽的小學(xué)生有3X24=72人.全年級(jí)有學(xué)生 4><24=96人.14 .將內(nèi)徑為60毫米、高為60毫米的圓柱形玻璃杯中的滿杯水倒入一個(gè)內(nèi)徑為40毫米的圓柱形塑料杯內(nèi),正好裝滿,求塑料杯的高度是多少毫米？15 .將內(nèi)徑為60毫米的圓柱形長(zhǎng)桶 已裝滿水向一個(gè)內(nèi)徑為 40毫米、高為135毫米的圓柱形塑料杯倒水,當(dāng)注滿塑料杯時(shí),長(zhǎng)桶中水的高度下降多少?