和倍差倍問題

1、種花和種瓜 蘋果和梨姐姐王小華， 一籃蘋果一籃梨，弟弟王小瓜， 兩籃相差二十一.姐姐小華栽花， 四籃蘋果換籃梨，弟弟小瓜種瓜. 數(shù)量才是一樣的.小華每栽三棵花， 聰明一休請算算，小瓜就種一棵瓜， 多少蘋果多少梨？兩人共種八十八.請你算算：小華栽了多少花？小瓜種了多少瓜？ 同學(xué)們，你們可知這兩首繞口令似的兒歌，分別包含著什么數(shù)學(xué)問題嗎？如略去其趣味化的情節(jié)，就分別改編為“和倍”與“差倍”問題的應(yīng)用題了.小華和小瓜分別栽花和種瓜，一共88棵，小華栽花的棵數(shù)是小瓜種瓜棵數(shù)的3倍.小華栽了多少花？小瓜種了多少瓜？一籃蘋果比一籃梨少21個，梨的數(shù)量是蘋果的4倍.蘋果和梨各多少個？類似問題12.1，已知幾

2、個數(shù)的和，及相互間的倍數(shù)關(guān)系，分別求這幾個數(shù)的問題稱為和倍問題.類似問題12.2，已知幾個數(shù)的差，及相互間的倍數(shù)關(guān)系.分別求這幾個數(shù)的問題稱為差倍問題.解答基本的(只含兩數(shù)間關(guān)系)和倍、差倍問題，先確定其中一數(shù)(通常定較小數(shù)比較方便)作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)(1倍數(shù))，再找出兩數(shù)的和(或差)，及與其相對應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系，這樣就可以求出這個標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，隨之即可求出另一數(shù)(較大數(shù)).對應(yīng)關(guān)系：較小數(shù)？1倍，較大數(shù)？幾倍，(和) (和)兩數(shù)倍數(shù)(差) (差)數(shù)量關(guān)系式： 較小數(shù)×倍數(shù)較大數(shù)，或者 問題12.1、問題12.2的分析與題解如下：問題12.1對應(yīng)關(guān)系：種瓜的棵數(shù)？1倍栽花的棵數(shù)？3倍棵數(shù)和88棵(31

3、)倍解 88÷(31)22(棵)，22×366(棵).答：小華栽花66棵，小瓜種瓜22棵.問題12.2對應(yīng)關(guān)系：蘋果的數(shù)量？1倍梨的數(shù)量？4倍數(shù)量差21個(41)倍解 21÷(41)7(個)，7×428(個).答：一籃蘋果7個，一籃梨28個.和倍、差倍問題，及小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的幾倍求和、幾倍求差問題，是可以相互溝通的.同學(xué)們可以試舉一例，找一找它們之間的區(qū)別和聯(lián)系.開各版本“數(shù)學(xué)競賽題集”，和倍、差倍問題類，實(shí)在變化多端，令人眼花瞭亂.其實(shí)，都是編題者從此類問題基本數(shù)量關(guān)系出發(fā)，綜合運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，經(jīng)情節(jié)性、擴(kuò)展性或逆向性變換精心編制的.無論數(shù)學(xué)題的

4、復(fù)雜程度如何，分析數(shù)量關(guān)系時，我們可以運(yùn)用“變換”與“對應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想，善于抓住題中幾個數(shù)的“和”或“差”，及其對應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系的直接或間接表述的語句，且借助于線段分析圖或?qū)?yīng)關(guān)系式，便可剝“偽”裝，識“基本”，還其廬山真面目，解題也將化難為易了.1.變換表述語甲數(shù)是乙數(shù)的10倍，兩數(shù)相差72，求這兩數(shù).大數(shù)比小數(shù)多72，把大數(shù)個位上的0去掉，則與小數(shù)同樣多，大、小數(shù)各是多少？一個數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動一位，比原數(shù)小72，原數(shù)是多少？提示：仔細(xì)觀察各題“差”與“倍”的表述是怎樣變換的？實(shí)質(zhì)一樣嗎？你可根據(jù)“相差數(shù)”的概念，數(shù)位上的數(shù)的意義及小數(shù)點(diǎn)移動規(guī)律的有關(guān)知識，認(rèn)識該組題的聯(lián)系與區(qū)別.請自己解題

5、.2.隱蔽性表述兩數(shù)相除，商3余4；被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)的和是43.求被除數(shù)和除數(shù).提示：根據(jù)被除數(shù)除數(shù)四數(shù)之和(商余數(shù))這一關(guān)系式，你知道：被除數(shù)與除數(shù)的和是多少？兩數(shù)間的倍數(shù)關(guān)系是多少？在一個等腰三角形中，頂角的度數(shù)是一個底角的2倍，頂角和底角各多少度？提示：求頂角和底角的度數(shù)，那它們的度數(shù)和是多少？根據(jù)是什么？3.增加情節(jié) 45人.男、女隊(duì)員各多少人？分析 該組題間的聯(lián)系是什么？僅增加情節(jié)，變文字題為應(yīng)用題.那么女隊(duì)員人數(shù)就是2份，男隊(duì)員人數(shù)就是3份.進(jìn)而可知，男隊(duì)員人數(shù)比女隊(duì)員多(32)份. 解 45÷(32)45(人)，45×290(人)，45×313

6、5(人).答：男隊(duì)員有135人，女隊(duì)員有90人.4.變換情節(jié)一塊長方形的地，長是寬的2倍，周長是108米，它的面積是多少平方米？兩個物體的平均重量是27千克，甲物體重量是乙物體重量的2倍，兩物體各重多少千克？修一條1.08千米長的隧道，甲、乙兩隊(duì)同時從兩頭向中間開鑿，20天開通，甲隊(duì)每天鑿進(jìn)的米數(shù)是乙隊(duì)的2倍，甲、乙兩隊(duì)每天各開鑿多少米？觀察與思考：以上三道題的數(shù)量關(guān)系是否一樣？是一樣的，僅“和”間接告訴而已.兩量之和均為“54”.你知道是怎樣分別求得的嗎？以上三道題的變化是什么？數(shù)量關(guān)系一致，只是題目內(nèi)容運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)不同.你能運(yùn)用你所學(xué)的有關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容，自編幾道和倍、差倍數(shù)學(xué)題嗎？問題11

7、.10、 11.11、 11. 12留給同學(xué)們自己去解答.5.擴(kuò)展情節(jié)問題12.13 甲水池有水100立方米，乙水池有水20立方米.現(xiàn)在以每分鐘15立方米的速度，把甲池的水抽入乙水池，使乙水池水的體積是甲池水的2倍，需抽多少分鐘？引導(dǎo)你思考：(l)說出該題綜合算式每步的意義：(100200)÷(21)×220÷15 (2)根據(jù)綜合算式的前三步，你知道該題的主要情節(jié)是什么？現(xiàn)敘述如下：甲、乙兩池水共120立方米.乙水池水的體積是甲池水的2倍，乙池有水多少立方米？(3)現(xiàn)在你明白了該題的情節(jié)是怎樣擴(kuò)展的嗎？解答復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵應(yīng)抓住基本情節(jié).在此基礎(chǔ)上，理清其情節(jié)

8、的發(fā)展與變化.這樣，你就不會在復(fù)雜問題面前束手無策了.6.增加數(shù)量關(guān)系今年爸爸的年齡是小強(qiáng)的5倍，爺爺?shù)哪挲g比小強(qiáng)多9倍，比爸爸大35歲.小強(qiáng)今年幾歲？分析 該題雖然含三數(shù)間的數(shù)量關(guān)系，但仍可以小強(qiáng)的年齡為1倍數(shù).題中已告訴兩數(shù)間相差數(shù)，關(guān)鍵是找出與其對應(yīng)的倍數(shù)差：爸爸的年齡是小強(qiáng)的5倍，爺爺?shù)哪挲g是小強(qiáng)的(91)倍.那么可知，爺爺?shù)哪挲g比爸爸多(91)5倍.請你列綜合算式解答.三個同學(xué)共挖了一條長20米的排水溝.乙同學(xué)再多挖1米，將是甲同學(xué)挖的長度的2倍，甲同學(xué)比丙同學(xué)少挖5米，三個同學(xué)各挖幾米？分析據(jù)題意，乙、丙同學(xué)挖渠溝的米數(shù)都與甲有直接的數(shù)量關(guān)系，所以應(yīng)以甲挖的米數(shù)作1倍數(shù).那么，乙挖

9、的米數(shù)加上1米就是甲的2倍；同理，丙挖的米數(shù)減去5米就與甲同樣多.經(jīng)轉(zhuǎn)化，你能填寫如下對應(yīng)關(guān)系嗎？甲挖的米數(shù)？( )倍，乙挖的米數(shù)？( )倍，丙挖的米數(shù)？( )倍，三量之和( )( )倍.現(xiàn)在，你列式并解答該題沒問題了吧？請?jiān)囈辉?！同學(xué)們，學(xué)會掌握“變換”與“對應(yīng)”的數(shù)學(xué)思維方法，可以提高你們對數(shù)學(xué)問題的觀察、分析能力.如能靈活選擇，或綜合運(yùn)用其它的數(shù)學(xué)思維方法，那么，你一定會在浩渺繁紛的數(shù)學(xué)題海中，盡情地遨游.練 習(xí)121.10元一張與5元一張的錢共175元，10元的張數(shù)是5元張數(shù)的3倍.求兩種票面額的錢各有多少元？2.有兩根繩子，長的比短的長1倍，現(xiàn)在把每根繩子都剪掉6分米，那長的一根就比短的一根長兩倍.問這兩根繩子原來的長各是多少？3.機(jī)床廠原有專用機(jī)床108臺，普通機(jī)床60臺