海岸線與分形

1、海岸線與分形（劉婷 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 06205006）我們生活的世界里充滿了分形，喧鬧的都市生活、美輪美奐的自然風(fēng)光、復(fù)雜的生命現(xiàn)象、蜿蜒曲折的海岸線，坑坑洼洼的地面等都到處有分形的影子。電話卡、頭巾、書簽、包裝材料的圖案也表現(xiàn)了豐富的現(xiàn)象（如圖1）。那么到底是什么導(dǎo)致分形幾何的產(chǎn)生？分形幾何又與我們平時(shí)學(xué)習(xí)的幾何有什么不同呢？我們?cè)噲D給出問(wèn)題的答案。 圖1一、經(jīng)典幾何的特點(diǎn)兩千多年來(lái)，古希臘人創(chuàng)立的幾何學(xué)，一直是人們認(rèn)識(shí)自然物體形狀的有力工具。經(jīng)典幾何學(xué)所描繪的都是由直線或曲線、平面或曲面、平直體或曲體所構(gòu)成的各種幾何形狀，它們是現(xiàn)實(shí)世界中物體形狀的高度抽象。天文學(xué)家們用這種幾何知識(shí)構(gòu)造了多種

2、宇宙理論，建筑師們利用它設(shè)計(jì)出大量宏偉的建筑；以致于近代物理學(xué)的奠基者、偉大的科學(xué)家伽利略極其權(quán)威地?cái)嘌裕捍笞匀坏恼Z(yǔ)言是數(shù)學(xué)，“它的標(biāo)志是三角形、圓和其他幾何圖形”。在歐氏空間中，人們習(xí)慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認(rèn)為點(diǎn)是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習(xí)慣于整數(shù)的維數(shù)。在數(shù)學(xué)上,把歐氏空間的幾何對(duì)象連續(xù)地拉伸、壓縮、扭曲,維數(shù)也不變,這就是拓?fù)渚S數(shù)。自然界的現(xiàn)象通常都發(fā)生在某種特征標(biāo)度上，如特征長(zhǎng)度、特征時(shí)間等特征尺度上?？茖W(xué)家關(guān)于事物特征的描述最基本的莫過(guò)于問(wèn)它有多大，持續(xù)多久。這都是依賴于標(biāo)度（尺度）的一些基本性質(zhì)。每種事物都有其

3、特征尺度，例如天體物理學(xué)家描寫的宇宙結(jié)構(gòu)，大約在數(shù)百萬(wàn)光年的范圍上；生物學(xué)家認(rèn)識(shí)的微生物的結(jié)構(gòu)大約有微米的長(zhǎng)度；物理學(xué)家研究的夸克，約在10-13厘米的數(shù)量級(jí)上。每一個(gè)具體事物，都與特定的尺度相聯(lián)系。幾厘米長(zhǎng)的昆蟲與幾米、十幾米大小的巨獸在形態(tài)、結(jié)構(gòu)上必然極不相同，否則它們就無(wú)法生存和繁衍。楚辭·卜居中說(shuō)：“夫尺有所短，寸有所長(zhǎng)”。這也是說(shuō)事物都有其自己的特征尺度，要用適宜的尺去測(cè)度。用寸來(lái)量度細(xì)菌，用尺來(lái)量度萬(wàn)里長(zhǎng)城，前者失之過(guò)長(zhǎng)，后者又嫌太短。所以，標(biāo)度是十分重要的。試圖對(duì)自然現(xiàn)象做定量描寫時(shí)，就必須從特征尺度入手。一個(gè)好的理論模型，往往要涉及三個(gè)層次：首先是由特征尺度確定的基本

4、層次；更大尺度的環(huán)境就用“平均場(chǎng)”和決定外力的“位勢(shì)”等描寫；更小尺度上的相互作用，則以“摩擦系數(shù)”、“擴(kuò)散系數(shù)”等得自于實(shí)驗(yàn)的“常數(shù)”來(lái)表征。如果要從理論上對(duì)這些系數(shù)做出闡明和推算，那就必須從物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的更深入細(xì)微的層次上進(jìn)行探討。傳統(tǒng)幾何學(xué)的功能并不是那么大的，它所描述的只是那些具有光滑性即可微性（可切性），至少是分段分片光滑的規(guī)則形體。這類形體在自然界里只占極少數(shù)。自然界里普遍存在的幾何形體大多數(shù)是不規(guī)則的、不光滑的、不可微的，甚至是不連續(xù)的。如蜿蜒起伏的山脈，曲折凸凹的海岸線，坑坑洼洼的地面，枝干縱橫的樹枝，團(tuán)塊交疊的浮云，孔穴交錯(cuò)的蛋糕真是奇形怪狀，千姿百態(tài)。這些形狀和經(jīng)典幾何學(xué)所描述

5、的形狀，真是大相徑庭。對(duì)于了解自然界的復(fù)雜性來(lái)講，歐幾里得幾何學(xué)是一種不充分、不具有普遍性的抽象。二、分形幾何產(chǎn)生的前奏二十世紀(jì)七十年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德?tīng)柌_特在他的著作中討論英國(guó)海岸線的長(zhǎng)度。他發(fā)現(xiàn)，關(guān)于“某一段海岸線有多長(zhǎng)”這一問(wèn)題，初看起來(lái)，似乎是一個(gè)很簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但要明確回答，極不容易他最初是在英國(guó)科學(xué)家理查遜的一篇鮮為人知的文章中遇到海岸線問(wèn)題的理查遜曾探索過(guò)大量關(guān)于自然界復(fù)雜現(xiàn)象的問(wèn)題，并對(duì)海岸線和國(guó)境線的測(cè)量問(wèn)題感到懷疑，他核查了西班牙、葡萄牙、比利時(shí)和荷蘭的百科全書，發(fā)現(xiàn)這些國(guó)家對(duì)他們共同邊界長(zhǎng)度的估計(jì)相差競(jìng)達(dá)20%！曼德勃羅對(duì)這個(gè)問(wèn)題發(fā)生興趣，并進(jìn)行了分析研究，提出“英國(guó)海岸

6、線有多長(zhǎng)”的問(wèn)題，他對(duì)此問(wèn)題的回答是：海岸線的長(zhǎng)度是不確定的！海岸線的長(zhǎng)度取決于測(cè)量時(shí)所用的尺度為什么是這樣呢？設(shè)想測(cè)量員用兩腳規(guī)，把它張成一定的長(zhǎng)度，例如r1，然后沿著海岸線，一步一步地測(cè)量，所得數(shù)為Nr1則海岸線在這一尺度下的近似長(zhǎng)度為l1=Nr1×r1，說(shuō)“近似”，是出為測(cè)量時(shí)忽略了小于r1的那些些曲曲彎彎的曲線見(jiàn)圖1如果把兩腳規(guī)張成較r1小的長(zhǎng)度，比如r2(r2r1再沿著海岸線一步一步地測(cè)量，所得數(shù)為Nr2則海岸線在該尺度下的近似長(zhǎng)度為l2=Nr2×r2，“近似”理由同上，此時(shí)，那些小于r2的彎彎曲曲的海岸線仍被忽略了，如此下去，會(huì)得到關(guān)于海岸線長(zhǎng)度的一系列不同結(jié)果

7、：l1，l2，ln，并且顯然有l(wèi)1l2ln于是便產(chǎn)生了以下問(wèn)題：海岸線長(zhǎng)度(歐氏幾何中的傳統(tǒng)長(zhǎng)度概念)是無(wú)窮？不能精確測(cè)量？如何解決這一問(wèn)題？顯然，傳統(tǒng)的幾何方法和計(jì)算已不適合這類不規(guī)則曲線(或圖形)了這個(gè)問(wèn)題的解決取決于測(cè)量所使用的尺度。采用公里做單位，一些幾米和幾十米的曲折會(huì)被忽略，如果采用米做單位，測(cè)得的長(zhǎng)度會(huì)曾加，但厘米以下的量仍然無(wú)法反映，測(cè)量單位的縮小使測(cè)得的長(zhǎng)度曾加，由于在自然尺度之間有許多個(gè)數(shù)量級(jí)，這種曾加不會(huì)停止，海岸線的長(zhǎng)度會(huì)趨于無(wú)限長(zhǎng)。也就是說(shuō)，長(zhǎng)度不是海岸線的定量特征。曼德勃羅經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，雖然海岸線長(zhǎng)度不能測(cè)量，但它卻具有某種特征性的“粗糙度”，在給出構(gòu)造圖形的某種技巧

8、或給出某些數(shù)據(jù)后，可計(jì)算出它的“維數(shù)”，從而解決了海岸線的測(cè)量問(wèn)題，使得用傳統(tǒng)方法測(cè)量時(shí)，在不同尺度下不規(guī)則的程度保持不變，即通過(guò)計(jì)算“維數(shù)”的方法，去刻畫一類事物的不規(guī)則性這里的“維數(shù)”，粗略地說(shuō)，是對(duì)一個(gè)集合允滿空間程度的一種描述。Cantor在1883年構(gòu)造了如下一類集合：取一段歐式長(zhǎng)度為l的直線段，將該線段三等分，去掉中間的一段，剩下兩段。再將剩下的兩段分別三等分，各去掉中間的一段，剩下四段。將這個(gè)操作進(jìn)行下去，直至無(wú)窮，可得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，點(diǎn)數(shù)趨于無(wú)窮多，而長(zhǎng)度趨于零。經(jīng)無(wú)限次操作所得到的離散點(diǎn)集稱為Cantor集。瑞典數(shù)學(xué)家科赫（H.von Koch）在1904年提出了一種曲線，

9、它的生成方法是把一條直線段分成三段，將中間的一段用夾角為60度的兩條等長(zhǎng)折線來(lái)代替，形成一個(gè)生成元，然后再把每個(gè)直線段用生成元進(jìn)行代換，經(jīng)無(wú)窮次迭代后就呈現(xiàn)出一條有無(wú)窮多彎曲的Koch曲線。它們都是經(jīng)典幾何無(wú)法描述的圖形，是一種“只有皮沒(méi)有肉”的幾何集合。 它們都具有無(wú)窮多個(gè)自相似的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，任何一個(gè)分割后的圖形放大后都是原來(lái)圖形的翻版。國(guó)數(shù)學(xué)家曼德?tīng)柌_特這位計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)兼通的人物，對(duì)分形幾何產(chǎn)生了重大的推動(dòng)作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本書，特別是分形形、機(jī)遇和維數(shù)以及自然界中的分形幾何學(xué)，開(kāi)創(chuàng)了新的數(shù)學(xué)分支分形幾何學(xué)。三、分形幾何的內(nèi)容分形幾何突破了經(jīng)典

10、幾何的束縛，它把目光也投射在了那些極不規(guī)則的的，處處不光滑的圖形，否定了關(guān)于事物大小和久暫的區(qū)分的絕對(duì)標(biāo)度性，不具有特征標(biāo)度，它是跨越尺度的對(duì)稱性；它在不同測(cè)量尺度上看去差不多一樣，是一種“無(wú)窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)”，因此對(duì)于大自然的某些現(xiàn)象，去尋求特征尺度是毫無(wú)意義的。分形幾何的思想是客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等方面具有統(tǒng)計(jì)意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場(chǎng)。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)不變?！按笞匀辉谒袠?biāo)度上同時(shí)起作用”。自然

11、界的許多事物在其內(nèi)部的各個(gè)層次上都具有自相似的結(jié)構(gòu)，在一個(gè)花樣內(nèi)部還有更小的同樣的花樣?！胺中巍本鸵馕吨白韵嗨啤?。一個(gè)幾何圖形，如果它的組成部分與圖形整體之間有某種相似性，就稱為“分形”。“自相似”的思想在人類文化的各個(gè)方面都有所反映。中國(guó)古代就有“袖里有乾坤，壺中有日月”和“一塵一世界”的說(shuō)法。分維,作為分形的定量表征和基本參數(shù),是分形理論的又一重要原則。分維,又稱分形維或分?jǐn)?shù)維,通常用分?jǐn)?shù)或帶小數(shù)點(diǎn)的數(shù)表示。長(zhǎng)期以來(lái)人們習(xí)慣于將點(diǎn)定義為零維,直線為一維,平面為二維,空間為三維,愛(ài)因斯坦在相對(duì)論中引入時(shí)間維,就形成四維時(shí)空。對(duì)某一問(wèn)題給予多方面的考慮,可建立高維空間,但都是整數(shù)維。在數(shù)學(xué)上

12、,把歐氏空間的幾何對(duì)象連續(xù)地拉伸、壓縮、扭曲,維數(shù)也不變,這就是拓?fù)渚S數(shù)。然而,這種傳統(tǒng)的維數(shù)觀受到了挑戰(zhàn)。曼德布羅特曾描述過(guò)一個(gè)繩球的維數(shù):從很遠(yuǎn)的距離觀察這個(gè)繩球,可看作一點(diǎn)(零維);從較近的距離觀察,它充滿了一個(gè)球形空間(三維);再近一些,就看到了繩子(一維);再向微觀深入,繩子又變成了三維的柱,三維的柱又可分解成一維的纖維。那么,介于這些觀察點(diǎn)之間的中間狀態(tài)又如何呢?顯然,并沒(méi)有繩球從三維對(duì)象變成一維對(duì)象的確切界限。數(shù)學(xué)家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了連續(xù)空間的概念,也就是空間維數(shù)是可以連續(xù)變化的,它可以是整數(shù)也可以是分?jǐn)?shù),稱為豪斯道夫維數(shù)。記作Df,一般的表達(dá)式為:K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取對(duì)數(shù)并整理得Df=lnK/lnL,其中L為某客體沿其每個(gè)獨(dú)立方向皆擴(kuò)大的倍數(shù),K為得到的新客體是原客體的倍數(shù)。顯然,Df在一般情況下是一個(gè)分?jǐn)?shù)。因此,曼德布羅特也把分形定義為豪斯道夫維數(shù)大于或等于拓?fù)渚S數(shù)的集合。 分形幾何和歐氏幾何的維度又有異曲同工之處。根據(jù)相似性來(lái)看線段、正方形和立方體的維數(shù)。首先把線段、正方形和立方體的邊兩等分，這樣，線段成為長(zhǎng)度一半的兩