數(shù)學(xué)奧林匹克問(wèn)題經(jīng)濟(jì)答案

1、2001年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案（經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)）一、填空：（本題15分，每空3分。請(qǐng)將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫杠上面。）1. 函數(shù)在（-，+）上連續(xù)，則a = 2 。2. 設(shè)函數(shù)y = y(x) 由方程所確定，則 。3. 由曲線與x軸所圍成的圖形的面積A = 。4. 設(shè)E為閉區(qū)間0，4上使被積函數(shù)有定義的所有點(diǎn)的集合，則 。5已知，則 。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中僅有一個(gè)是正確的，把你認(rèn)為“正確選項(xiàng)”前的字母填在括號(hào)內(nèi)。選對(duì)得分；選錯(cuò)、不選或選出的答案多于一個(gè)，不得分。）1. 若且，則（ D ）（A） 存在； （B） （C） 不存在； （D） A、B、C均不正

2、確。2. 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，（ A ）（A）與為同階但非等價(jià)無(wú)窮??； （B）與為等價(jià)無(wú)窮小；（C）是比更高階的無(wú)窮??； （D）是比更低階的無(wú)窮小。3. 設(shè)函數(shù)對(duì)任意x都滿足，且，其中a、b均為非零常數(shù)，則在x = 1處（ D ）（A）不可導(dǎo)； （B）可導(dǎo)，且；（C）可導(dǎo)，且； （D）可導(dǎo)，且。4. 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且不恒為零，I=，其中s > 0，t > 0，則I的值（ C ）（A）與s和t有關(guān)； （B）與s、t及x有關(guān)；（C）與s有關(guān)，與t無(wú)關(guān)； （D）與t有關(guān)，與s無(wú)關(guān)。5. 設(shè)u (x，y) 在平面有界閉區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足及，則（ B ）。（A）u (x，y) 的最大

3、值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的內(nèi)部；（B）u (x，y) 的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的邊界上；（C）u (x，y) 的最大值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上；（D）u (x，y) 的最小值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上。以下各題的解答寫(xiě)在試題紙上，可以不抄題，但必須寫(xiě)清題號(hào)，否則解答將被視為無(wú)效。三、求極限 。（本題6分）解：；由此得到： 。四、求星形線，在處的切線與Ox軸的夾角。（本題6分）解：， ，故 ，即傾角的正切tg=1，于是得到切線與Ox軸的夾角。五、已知方程定義了函數(shù)，求。（本題7分）解：六、計(jì)算。（本題6分）解：命：，于是。七、計(jì)算。（本題7分）解：

4、先從給定的累次積分畫(huà)出積分區(qū)域圖，再交換累次積分次序，得到。八、某工廠計(jì)劃投資144（百萬(wàn)元）用于購(gòu)進(jìn)A、B兩種生產(chǎn)線，A生產(chǎn)線每套售價(jià)4（百萬(wàn)元），B生產(chǎn)線每套售價(jià)3（百萬(wàn)元）。若購(gòu)進(jìn)x套A生產(chǎn)線和y套B生產(chǎn)線，可使該廠新增年產(chǎn)值（百萬(wàn)元）問(wèn)該廠應(yīng)當(dāng)分別購(gòu)進(jìn)A、B兩種生產(chǎn)線個(gè)多少套，能使該廠新增年產(chǎn)值最大，并求此最大值。（本題8分）解：構(gòu)造，則 其中由(1)、(2)得 (4)與(5)相乘，得到 （因< 0 ） (6)(6)代入(5)，得到 (7)代入(3)，得到 y = 12 (8)(8)代入(7)，得到 x = 27注意到，函數(shù)F僅有唯一的駐點(diǎn)( 27，12 )，且根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義

5、可知一定存在最大值，故最大值必在駐點(diǎn)處取得，即分別購(gòu)進(jìn)A型生產(chǎn)線27套和B型生產(chǎn)線12套可使新增年產(chǎn)值最大，且新增年產(chǎn)值的最大值為maxL = 36（百萬(wàn)元）。九、已知a>0，x1>0，定義求證：存在，并求其值。（本題8分）解：第一步：證明數(shù)列的極限存在：注意到：當(dāng)n 2時(shí)，因此數(shù)列有下界。又，即xn+1xn ，所以單調(diào)遞減，由極限存在準(zhǔn)則知，數(shù)列有極限。第二步：求數(shù)列的極限設(shè)：，則有。由，有，解得（舍掉負(fù)根），即。十、證明：當(dāng)x > 0時(shí)，。（本題7分）證明：設(shè)（x > 0），則即在區(qū)間（0，+）上函數(shù)y單調(diào)遞減，又，所以（x > 0），即。十一、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間0，1上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且，求證：在開(kāi)區(qū)間（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。（本題7分）證明：由積分中值定理知，存在，使得又函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)，使得。十二、設(shè)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，。證明。（本題8分）證明：對(duì)任意