016第六章曲線運動

1、第二章曲線運動一、概念和公式：1、曲線運動：曲線運動定義：曲線運動是一種軌跡是曲線的運動，其速度方向隨時間不斷變化曲線運動中質點的瞬時速度方向：就是曲線的切線 方向曲線運動是一種變速運動，因為物體速度方向不斷 變化，所以曲線運動的物體總有加速度說明：曲線運動一定是變速運動，一定具有加速度；但變速運動或具有加速度的運動不一定是曲線運動兩種常見的曲線運動：平拋運動和勻速圓周運動2、物體做曲線運動的條件：曲線運動的物體所受的合外力不為零，合外力產生加速度，使速度方向（大?。┌l(fā)生變化曲線運動的條件：物體所受的合外力F與物體速度方向不在同一條直線上力決定了給定物體的加速度，力與速度的方向關系決定了物體運

2、動的軌跡F （或a）跟v在一直線上t直線運動：a恒定t 勻變速直線運動；a變化t變加速直線運動。F （或a）跟v不在一直線上t直線運動： a恒定 t勻變速曲線運動；a變化t變加速曲線運動根據質點運動軌跡大致判斷受力方向：做曲線運 動的物體所受的合外力必指向運動軌跡的內側， 也就 是運動軌跡必夾在速度方向與合外力方向之間。例1:如圖所示，物體在恒力 F作用下沿曲線從 A運 動到B，這時，突然使它所受力反向，大小不變，即 由F變?yōu)橐籉。在此力作用下，物體以后運動情況， 下列說法正確的是A .物體不可能沿曲線 Ba運動；B 物體不可能沿直線 Bb運動；C 物體不可能沿曲線 Bc運動；D物體不可能沿原

3、曲線由 B返回A解析：因為在曲線運動中，某點的速度方向是軌 跡上該點的切線方向，如圖所示，在恒力作用下AB為拋物線，由其形狀可以畫出Va方向和F方向。同樣， 在B點可以做出vB和一F方向。由于vB和一F不在一 條直線上，所以以后運動軌跡不可能是直線。又根據 運動合成的知識，物體應該沿 BC軌道運動。即物體 不會沿Ba運動，也不會沿原曲線返回。掌握好運動和力的關系以及物體的運動軌跡形 狀由什么決定是解好本題關鍵。答案：A、B、Do3、運動的合成和分解速度的合成和分解合運動和分運動：如果物體同時參與了幾個運動， 那么物體實際發(fā)生的運動就叫做那幾個運動的合運 動；那幾個運動叫做這個實際運動的分運動合

4、運動與分運動的關系： 等效性：各分運動的規(guī)律疊加起來與合運動規(guī) 律有完全相同的效果 獨立性：某個方向上的運動不會因為其它方向 上是否有運動而影響自己的運動性質。 運動獨立性原理（疊加原理）：一物體可同時參 與幾種不同的運動，在研究問題時可以把各分運動都 看作互相獨立進行，它們互不影響。而一個物體的運動可以看成由幾個各自獨立進行的運動的疊加而成 等時性：合運動通過合位移所需的時間和對應 的每個分運動通過分位移的時間相等。即各分運動總 是同時開始，同時結束運動合成分解： 運動的合成和分解：已知分運動求合運動叫運 動的合成，已知合運動求分運動叫運動的分解 運動的合成和分解的運算法則：是指物體運動 的

5、各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解a、 合運動的位移等于二分運動位移的矢量和，符 合平行四邊形法則b、 合運動的速度等于二分運動速度的矢量和，符合平行四邊形法則 豎直方向是自由落體運動:tan :_ y _ gtx2VoX 二 VotC、合運動和分運動具有等時性當兩直線運動的合速度的方向和合加速度的方向 重合時，合運動為直線運動曲線運動可分解為兩個方向上的直線運動，分別 研究兩方向上的受力和運動規(guī)律4、繩拉物體的速度分解問題：原理：物體運動的速度 v為合速度，這個速度在沿 繩子方向的分速度Vi就是繩子拉長或縮短的速度，物 體速度V的另一個分速度V分就是繩子的擺動速度，它 一定和Vi垂直總

6、之一句話：繩端速度總沿著繩子方向 和垂直于繩子方向分解，以物體的實際運動為合運動。5、小船渡河的四個極值問題渡河問題，是運動合成與分解的典型模型，這里介 紹四個極值問題及其應用設船對水的速度為 Vi（即船在靜水的速度），水的速度 為V2 （即水對河岸的速度），河的兩岸平行，寬度為 L當船頭垂直河岸時，渡河時間最短：t =-Vi當V2，合速度方向垂直河岸時，渡河位移最小：s=L當Vi說明：研究勻速圓周運動時常常采用的是控制變量法。2、勻速圓周運動解題步驟：明確研究對象，確定它在哪個平面內做圓周運動， 找出圓心和半徑確定研究對象在某位置（某時刻）所處狀態(tài)，進 行受力分析，作岀受力分析圖，找岀提供向

7、心力 的力（或合力）。寫岀需要的向心力公式：2 2 2Fn= m3 r=m v /r=m 3 v=m （2n /T） r列方程，總是取指向圓心的方向為正。檢查結果的合理性，并進行必要的分析討論。例6:質量相等的小球A B分別固定在輕桿0B的中 點及端點，當桿在光滑水平面上繞0點勻速轉動，女口圖所示，求桿的 0A段及AB段對球的拉力之比？解析：A、B小球受力如圖所示，在豎直方向上 A與B處于平衡態(tài)。在水平方向上根據勻速圓周運動規(guī)律Na NaJTaL Jl t汽、* (T套f* rmg ms2Ta -Tb = mOA，2TB . OB，OB =2OA。2 2Ta = m 3OA， Tr =2 OA

8、，Ta : Tb = 3 : 2答案：Ta : Tb = 3 : 23、勻速圓周運動的實例分析火車拐彎問題：由于火車的質量比較大，火車拐彎時所需的向心 力就很大。如果鐵軌內外側一樣高，則外側輪緣所受 的壓力很大，容易損壞；實用中使外軌略高于內軌， 從而重力，鐵軌支持力和側向壓力的合力提供火車拐 彎時所需的向心力。例7 :鐵軌拐彎處半徑為 R,內外軌高度差為H兩軌間 距為L,火車總質量為 M貝U:火車在拐彎處運動的“規(guī)定速度Vp ”大小為，若火車實際速度大于 Vp，則軌將受到側向壓力，若火車實際速度小于 Vp，則軌將受到側向壓力。2解析： mgtan 0 =m Rv = . gRtan j :

9、. g R H/L火車做離心運動，夕卜軌受到側向壓力?；疖囎鱿蛐倪\動，內軌受到側向壓力。例8:在高速公路的拐彎處，路面造得外高內低，即 當車向右拐彎時，司機左側的路面比右側的要高一些， 路面與水平面間的夾角為 0設拐彎路段是半徑為 R 的圓弧，要使車速為v時車輪與路面之間的橫向（即垂 直于前進方向）摩擦力等于零，0應等于（）2vA .arcsinRg2vB . arctan Rg21 2vC . arcsin2 Rg2vD. arccotRg解析：如圖所示，要使摩擦力為零，必使車受的重力與支持力的 合力捉供F n =mgtan 02=m ，故所以0R向心力，貝U ：2varctanRg。即答案

10、為B。說明：鐵路、高速公路、雜技表演等，都是利用自 身的重力分力提供轉彎所需的向心力?！八餍恰惫?jié)目分析例9:繩系杯子在豎直平面內圓運動，最高點杯中 水不流出的原因是：杯在最高點的最小速度 vmin=，設杯內水的質量為 m,則當最高點的速度 v1 vmin時，杯對水的壓力 N 設杯運動到最低點速度為v2，則此時水對杯的壓力N=。解析：水和重力提供水做圓周運動的向心力mgmg2v 二 mlgl N -mg2v=m一l2v二 ml2VN = m -mg2vN 二 m mg“繩模型”繩拴一小球在豎直平面內做圓周運動、小球在豎直平面內單軌道的內單側做圓周運動都屬于繩模 型。臨界條件：繩子或軌道對小球沒

11、有作用力2vmgv臨界二.gRR說明：如果小球帶電，且空間存在電、磁場，臨界條 件應是小球所受重力、電場力和洛侖茲力的合力等于向心力，此時臨界速度 v臨界-gR小球能過最高點的條件：V _ I gR小球不能過最高點條件：V , gR繩拴小球或小球在豎直平面內單軌道內側做圓周運動，在最高點的最小速度 Vmjn = . gR例10 :一宇航員抵達一半徑為 R的星球表面后，為了 測定該星球的質量 M，做如下的實驗，取一根細線穿 過光滑的細直管，細線一端拴一質量為m的砝碼，另一端連接在一固定的測力計上，手握細直管掄動砝碼， 使它在豎直平面內做完整的圓周運動，停止掄動細直 管，砝碼可繼續(xù)在同一豎直平面內

12、做完整的圓周運動， 如圖所示，此時觀察測力計得到當砝碼運動到圓周的 最低點和最高點兩位置時測力計的讀數差F，已 知引力常量為G,試根據題中所提供的條件和測量結 果，求岀該星球的質量 M。2V1 解析：最咼點 Fi+mg=m，r2最低點，r根據機械能守恒定律：11vi2+mg 2r=22可得g=2mv2，m m星球表面上質量為 m的物體所受重力等于萬有引力,即GMmR2=mg，M止QG 6Gm點評這是一道與萬有引力知識相結合的試題，- 要解決圓運動的問題，二要處理星球表面重力加速度 的概念?！皸U模型”桿粘小球在豎直平面內做圓周運動或小球在豎直平 面內雙軌道的內側做圓周運動。臨界條件：v=0 （有

13、物體支承的小球不會脫落軌 內，只要還有向前速度都能向前運動）小球在最高點的受力分析：（桿或雙軌道的內外 環(huán)對小球產生的彈力即可指向圓心也可背向圓心）當V = 0時，桿對球作用力為支持力或內環(huán)對球有支持力，方向和指向圓心方向相反，大小為：N= mg。當0 ： V ： . gR時，桿對球作用力為支持力或內環(huán)對球有支持力，方向和指向圓心方向相反，2亠亠V大小為：N=mg-m ； n隨v的增大而減小y R 當v = . gR時，桿對球作用力n= 0或內外環(huán)對球均無作用力。 當v 、gR時，桿對球作用力為拉力或外環(huán)對其有支持力，方向指向圓心方向，大小為：2N = m - mg; N隨v的增大而增大。R例

14、11:長為L的輕桿，一端固定一個小球，另一端固 定在光滑的水平軸上，使小球在豎直平面內作圓周運 動，關于小球在過最高點的速度v，下列敘述中正確的是A. v極小值為、gLB. v由零增大，向心力也逐漸增大C. 當v由、gL逐漸增大時，桿對小球的彈力也D.當V由gL逐漸減小時，桿對小球的彈力逐逐漸增大漸減小解析：由于桿既可以承受壓力又可以承受拉力，因此 小球受合力既可以大于小球重力又可以小于小球重 力，也可以等于小球重力。當桿受力為零時，重力充2當向心力mg， v = ,*gL。當v .gL時桿對小球施拉力；v ：,. gL時桿對小球施壓力，因此 v極小值可以小于,gL，只要大于0即可。故正確選項

15、是B、C D例12 :一內壁光滑的環(huán)形細圓管，位于豎直平面內， 環(huán)的半徑為R（比細管的半徑大得多）在圓管中有兩個 直徑與細管內徑相同的小球（可視為質點）.A球的質量 為m B球的質量為 m2.它們沿環(huán)形圓管順時針運 動，經過最低點時的速度都為 vo.設A球運動到最低 點時，B球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于 圓管的合力為零，那么m m2、R與v0應滿足的關系 式是。解析：這是一道圓周運動與機械能守恒的綜合題目，也是一道情景新穎的討論題，要求能正確地對 A、B 兩球進行受力分析，判斷出A、B受到圓管對它們的作 用力的方向，列出正確的方程式，問題便會迎刃而解。 由題意可知，為了使在最高點的

16、B球和最低點的A球 對圓管的作用力的合力為零，則有：2v0對A，N A -m1g= mr（ Na的方向必向上）。R2v0對B， N B +m 2 g= m 2 （Nb的方向必向下）.又知B球在最低點時速度為 v0，在最高點時速度為V，則應有22m 2 v + m 2 g 2R,2則有A、B對圓管的合力為零整理得m2v0故所以得（口丄一m? ） + （mi +m 2 ） g = 0。R汽車過橋問題，汽車質量為m通過一橋：當汽車以速率v通過半徑為r的拱形橋，在最高點2v對橋的壓力為：N =mg-m；且壓力隨v的增R大而減?。?當車的速度v = . gR時，其在最高點對橋的壓力為零； 如汽車以速率v通過半徑為R的凹形橋，則最低點2橋對車的支持力為 n = m= mg；且支持力隨vR的增大而增大。水平轉臺上物體運動分析，水平轉臺上的物體 m隨 轉臺一起勻速轉動，當半徑不變，角速度增大時， 設物體仍作勻速圓周運動，則物體受到的靜摩擦力增 大，彈力不變，向心力增大，向心加速度增大；當角速度不變，半徑增大時，設物體仍作勻速圓周 運動，則物體受到的靜摩擦力增大，線速度增大，向 心加速度增大例14：如圖所示，水平轉臺上放有質量均為m的兩小物塊A、B，A離轉