一種基于旋轉體的攝像機定位方法

1、一種基于旋轉體的攝像機定位方法王 挺 王越超 姚 辰（機器人學國家重點實驗室，中科院沈陽自動化所 沈陽 110016）摘 要 基于旋轉體的攝像機定位是單目合作目標定位領域中的涉及較少并且較為困難的一個問題，傳統(tǒng)的基于點基元、直線基元及曲線基元的定位方法在用于旋轉體定位過程中都存在相應的問題。本文設計了一種由四個相切橢圓構成的幾何模型，該模型環(huán)繞于圓柱體表面，利用二次曲線的投影仍然是二次曲線的特性和橢圓的相應性質(zhì)能夠得到唯一確定模型位置的三個坐標點，從而將旋轉體定位問題轉化為P3P問題。在對P3P的解模式區(qū)域進行分析后，推導了根據(jù)模型上可視曲線的彎曲情況來確定P3P問題解模式的判別方法，并給出證

2、明過程。仿真實驗表明了這種模型定位方法的有效性。最后利用這個模型引導機械手完成目標定位的實驗。關鍵詞 旋轉體；P3P問題；多解現(xiàn)象；唯一解 Determining Camera Pose Based on Body of RevolutionWANG Ting WANG Yuecao YAO Chen (State key Laboratory of Robotics, Shenyang Institute of Automation, Chinese Academy of Sciences, shenyang, 110016, China)Abstract Camera pose deter

3、mination for body of revolution with single camera is a problem that is referred little and more puzzled. Traditional pose estimation methods using point features, straight line features and conics features have corresponding problems when they are applied to pose computation based on body of revolu

4、tion. This article designs a geometric model composed of four tangential ellipses that surround the surface of a cylinder. By using the preserved characteristic of conics and the corresponding characteristic of ellipse, we obtain three control points which can determine the pose of the model uniquel

5、y, thus the current problem of is converted into the problem of P3P. At the same time, a judgment method is developed to get the solution mode of P3P according to the curving style of eyeable arc on the model based on the analysis of the solution mode region of P3P. After that the proving process is

6、 presented. The effectiveness of the location method based on model is confirmed by simulation. At last, the model is used to lead a manipulator to locate the object in an experiment. Keywords body of revolution; the P3P problem; multi-solution phenomenon; unique solution; 1 引 言 本課題得到國家“八六三”高技術研究發(fā)展計

7、劃項目（2004AA420090）資助。王 挺，男，1978年生，博士研究生，主要從事計算機視覺，圖像處理，機器人導航等方面的研究。Email: wangting. 王越超，男，1962年生，研究員，博士生導師，主要從事機器人控制，機器人導航，計算機視覺，等方面的研究。姚辰，男，1964年生，副研究員，主要從事機器人控制方面的研究。攝像機定位是機器人視覺中重要的研究問題之一。所謂攝像機定位問題是指通過空間三維基元(如點，直線，曲線)與圖像二維基元之間的對應，求攝像機坐標系與物體坐標系之間的剛體變換，這里假定攝像機的內(nèi)參數(shù)是已知的。這方面已有大量的研究工作，主要有基于空間點到圖像點對應的定位方法

8、，這類方法可歸結為經(jīng)典的PnP問題1-10，另一類方法是基于空間直線到圖像直線對應的方法11-18。除了利用點基元和直線基元進行攝像機定位外，基于曲線的定位方法也在很多文獻中出現(xiàn)19-23。無論是點、直線、還是曲線作為基元進行攝像機定位都取得了很多研究成果，并且有些方法已經(jīng)成功的應用到實際工程中，但這些方法存在的一個共同的問題是攝像機光心位置和姿態(tài)的可變化范圍往往較小，這是因為一般的攝像機定位方法都存在多解現(xiàn)象，為了避免多解，保證解的唯一性，攝像機光心只能在單一解的空間區(qū)域內(nèi)變動；而如果被測模型是三維基元，其中一個基元因為可能被安裝面或其它基元遮擋，更加限制了攝像機光心的變化范圍。除此之外，我

9、們尚沒有在已有的文獻中看到對旋轉體從側面進行攝像機定位的研究。旋轉體是直齊次廣義柱體的最常見的重要子類24，是指繞一軸旋轉一條與軸同平面且不相交叉的任意曲線一周所得到的曲面圍成的區(qū)域。旋轉體幾何特征廣泛存在于現(xiàn)實世界中，在某些特定場合往往需要對本身具有旋轉體特征的目標或與旋轉體固連的目標進行定位，即利用旋轉體表面的幾何特征，確定目標在三維空間的位置和姿態(tài)，旋轉體的定位技術因而具有重要的理論價值和實際意義。對旋轉體的定位必然要保證無論旋轉體圍繞軸心轉動到任何一個位置都能夠進行定位，因此旋轉體上的幾何特征需要具備連續(xù)性和可恢復性，即這些幾何基元不會因為旋轉體的轉動和部分被遮擋而尚失定位功能。點基元

10、由于不能被遮擋，因而不能用于旋轉體定位；直線基元具有連續(xù)性，可以被部分遮擋，但由于直線只能平行于旋轉軸的方向置于旋轉體表面，因此一旦直線背離攝像機光心，那么直線整體都將不可見，因此也不適于旋轉體定位。而環(huán)繞于旋轉體表面的封閉曲線在攝像機處于任何位置時都不能完全被遮擋，這就為旋轉體的定位提供了可能。在曲線定位的研究中，比較多的是基于圓錐曲線即二次曲線的定位方法，這主要是因為二次曲線表示方法簡潔，是所有曲線中次數(shù)最低的，并且二次曲線在平面的投影也依然是二次曲線，相應的簡化了曲線投影方程的提取過程。一般來講，完全基于曲線的定位方法大都非線性的，并且計算復雜，存在多解現(xiàn)象。本文提出了一種對于旋轉體中最

11、為常見的圓柱體進行定位的方法，利用的幾何基元是柱體表面的四個成一定姿態(tài)分布的橢圓，根據(jù)橢圓的相對位置關系獲得可以唯一確定柱體坐標系的特征點，在此基礎上利用P3P的定位算外算法完成定位。P3P問題是出現(xiàn)最早也是發(fā)展最為成熟的攝像機定位問題，有大量的文獻都對P3P問題進行了研究，其中很大一部分是針對P3P存在的多解現(xiàn)象進行的研究。文獻4-9對P3P解的數(shù)目，正解存在的充要條件等問題進行了深入探討，文獻10從另一個角度研究了可以保證唯一解的區(qū)域分布情況。借助這些研究成果，我們詳細討論了焦平面上的曲線投影可視部分的彎曲特征和攝像機光心所在解模式區(qū)域的一一對應關系，從而可以從圖像特征上確定唯一解，這樣就

12、可以在圓柱體側面從任何位置對攝像機進行定位。從本質(zhì)上說我們的方法是利用曲線獲取控制點進行的基于點基元的攝像機定位方法。2 模型描述如圖1所示，F(xiàn)是橫截面半徑為的旋轉體，利用四個割面與旋轉體的側表面相交，得到四個橢圓,，設每個割面與旋轉體的軸線都呈，則易知，橢圓的長軸都為，短軸都為。另設,同心（P點）并垂直相交于短軸所在的直線，交點為,，,同心（Q點）并垂直相交于短軸所在的直線，交點為,；,垂直并相切于長軸端點G，,垂直并相切于長軸端點H。取P, Q連線的中點作為模型坐標系的原點，Q指向P的矢量為模型坐標系的x軸， H指向G的矢量為模型坐標系的y軸，并利用右手定則確定z軸方向。通過,向yoz平面

13、投影，易知，投影得到的曲線是同一個圓（如圖2），在實際的模型上，,就是置于截面半徑為的不透明圓柱體側表面上的四個橢圓。設o點為攝像機光心，e為焦平面，,在圓柱體上的可視部分分別為,（注：本文中提到的所有曲線弧都不包括兩個端點），相應的它們在焦面上的投影為,（如圖3)，連接和構成兩個封閉的凸四邊形，頂點o與和分別構成兩個無底四棱錐。oA1POHyxzeGQA2A4A3B1B2B4B3FM1N1M2N2圖1 基于旋轉體的模型示意圖GA1(2,3,4)B1(2,3,4)P(Q)zoHy圖2 模型側視圖a1 m1 a2 b1 n1 b2b4 n2 b3 a4 m2 a3 h gq p el圖3 模型在

14、焦平面投影示意圖3 控制點提取使用二次曲線進行定位的一個好處是空間二次曲線在焦平面上的投影依然會是二次曲線，相應的,在焦平面的投影也是橢圓，設為,。在圖1的模型上，由于曲面是不透明的，因此,在焦平面上得到的投影僅部分可見，,分別對應,在圓柱體上的可視部分,。由于,所在的,同樣是橢圓，利用橢圓的“極點極弦”性質(zhì)及使用有約束的直接提取方法我們可以計算出橢圓的中心和長短軸及傾斜角，進而將不完整的橢圓恢復為完整的橢圓25。重建之后的橢圓,相切于g點，,相切于h點，由于在空間模型上,相切于G，,相切于，那么易知g, h分別為,在焦平面上的投影。設,的交點,在焦平面上的投影分別對應,的交點,在焦平面上的投

15、影分別對應,的交點,，因為P點必然在的連線上，由映射關系知其在焦平面的投影也必然在的連線上；同理，Q點在焦平面的投影也必然在的連線上。再過光心點o作平面，成角的平分面，交焦平面于直線（如圖3）。由于平面與分別與圓柱體切于,，那么易知光心o與PQ所構成的平面同樣是平面, 成角的平分面，因此即為PQ在焦平面上的投影。相應的，與的交點p即為點P在焦平面的投影，與的交點q即為點Q在焦平面的投影。分別聯(lián)立與和的直線方程可計算得到P, Q的圖像坐標。P, Q, G構成P3P問題的三個控制點，且有，之所以取這三個點作為控制點主要是為了方便獲得唯一解，關于唯一解的證明將在后面部分論述。4 基于P3P的攝像機定

16、位方法由上一節(jié)的敘述可知g, p, q分別為模型上G, P, Q在焦平面上的投影，又知G, P, Q都是模型坐標系上的固定點，因此可以令這三個點構成P3P問題的三個控制點。在圖4中，連接G, P, Q構成一個三角形，易知三角形GPQ為等腰直角三角形，設oG, oP, oQ的長度分別為x，y，z，已知他們之間的夾角分別為，及|PQ|=a, |QG|=b, |PG|=c，求x, y, z，這就是P3P問題，其方程描述如下oGxyzuvPQcba圖4 P3P問題解模式示意圖典型的P3P的解對應四種模式：模式1模式2模式3模式4因為， 那么可以推知對于模式1，有；對于模式2，有；對于模式3，有；對于模

17、式4，有，即每個模式都對應著一個區(qū)域，且四個區(qū)域完整的分割了整個空間。參照文獻10的結論，令過P點的平面u和過Q點的平面v分別垂直于直線FP和直線FQ，其正方向如圖4所示，那么可以證明空間區(qū)域被u、v平面分割成的四個區(qū)域分別對應著P3P問題的四個模式。當攝像機光心出現(xiàn)在平面u的負方向側，平面v的負向側，那么P3P問題解的形式對應模式1；光心出現(xiàn)在平面u的正方向側，平面v的負向側，那么P3P問題解的形式對應模式2；光心出現(xiàn)在平面u的負向側，平面v正方向側，那么P3P問題解的形式對應模式3；光心出現(xiàn)在平面u的正方向側，平面v的正方向側，那么P3P問題解的形式對應模式4。因此如果能夠確定攝像機光心在

18、模型坐標系中的空間區(qū)域，就能知道對應的是P3P問題的哪一個解模式，進而能夠確定唯一解，因為篇幅的關系，證明過程在此省略。5 解的唯一性討論由上一節(jié)的分析知，對于傳統(tǒng)的P3P問題，一般來講如果預先不知道攝像機光心與P3P模型的區(qū)域關系，就無法判別哪一個解是正確解。利用本文提出的模型可以提取P3P的三個控制點信息，同時,在焦平上面映射的圖像還包含了曲線彎曲方向的信息，經(jīng)過分析，根據(jù)橢圓,在焦面上投影曲線的不同彎曲方向的信息可以判定攝像機光心所在的模型坐標系的解區(qū)域，進而確定唯一解。xOyHPQuvqoG圖5 模型上視圖題設. 圖5是模型的上視圖，圖中，空間區(qū)域被,所在的平面u，v分割成四個區(qū)域，u

19、, v的平面方程可以表示為和，u, v的正方向如圖所示，再令，那么模式1、2、3、4對應的區(qū)域可以表示為區(qū)域1：，；區(qū)域2：，；區(qū)域3：，；區(qū)域4：，。引理1. 當且僅當光心o位于區(qū)域1，有,的可視部分, 都在無底四棱錐包圍的區(qū)域內(nèi)。引理2. 當且僅當光心o位于區(qū)域2，有的可視部分在無底四棱錐包圍的區(qū)域外, 的可視部分在無底四棱錐包圍的區(qū)域內(nèi)。引理3. 當且僅當光心o位于區(qū)域3，有的可視部分在無底四棱錐包圍的區(qū)域內(nèi), 的可視部分在無底四棱錐包圍的區(qū)域外。引理4. 當且僅當光心o位于區(qū)域4，有,的可視部分, 都不在無底四棱錐包圍的區(qū)域內(nèi)。引理1必要性證明. 當光心o位于區(qū)域1時，由于平面和分別與

20、圓柱體相切于，（如圖2），顯而易見, 位于平面的負方向側和平面的負方向側圍城的區(qū)域之內(nèi)。據(jù)此為了使得引理的必要性成立，設和指向棱錐外側方向為正方向，只需證明, 位于平面和平面的負方向側。欲證位于的負方向側，只需證明上存在至少一點在的負方向側即可，因為如果還存在一點位于的正方向側，那么必有與相交，相應的它們在焦平面的投影和必有交點，而我們知道曲線弧和它的弦是不存在交點的，說明不可能同時在平面的兩側。為了簡便起見，選擇,與y軸的交點H作為研究對象，不失一般性設H點的坐標為。首先我們來說明H的可見性，在圖3中，作經(jīng)過點H并與圓柱體相切的平面q，方向如圖所示。由于H是曲面上的一點，H點的可視區(qū)域就是q

21、的正方向側。因為區(qū)域1完全在q正方向側，則說明點H在區(qū)域1是可見的，即H是和上的點。設光心o的坐標為，點的坐標為，點的坐標為。由于平面的正方向指向棱錐外側，它的法線的方向向量可以表示為，同時由于經(jīng)過點，則可以建立平面的點法式方程令把帶入上式得因為，即，又因為，有，因此，整理得因為在u平面上，有，在u平面上，有，遂得，即H點位于平面的負方向側。同理可證H點位于平面的負方向側。因為H點同時在,上，根據(jù)前面的證明過程可知 , 都位于平面和平面的負方向側，因此,在、包圍的無底四棱錐o-ABCD內(nèi)部。證畢。同樣選取H點作為判定點，其余幾個引理的必要性可以類似得證。需要注意的是在平面q的負方向側 H點是不

22、可見點，因此當，G所在的不可見弧段位于四棱錐內(nèi)部，相應可見弧段, 位于四棱錐外部；當，G所在的不可見弧段位于四棱錐外部，可見弧段, 位于四棱錐內(nèi)部；為此區(qū)域2和區(qū)域3需要各分成和兩個區(qū)域進行證明。引理1充分性證明. 當,的可視部分, 都在無底四棱錐包圍的區(qū)域內(nèi)，假設此時光心o不在區(qū)域1，那么o可能在區(qū)域2，區(qū)域3或區(qū)域4，由引理2，3，4的必要性證明知，在這三個區(qū)域中,的可視部分, 不會都在無底四棱錐包圍的區(qū)域內(nèi)。所以假設不成立，o必然在區(qū)域1內(nèi)，引理1的充分性得證。引理2，引理3，引理4的充分性證明與引理1的充分性證明類似，它們的證明在此省略。定理1. 當, 在焦平面上的投影,都處于四邊形內(nèi)

23、部時，光心o位于區(qū)域1。定理2. 當在焦平面上的投影處于四邊形外部，在焦平面上的投影處于四邊形內(nèi)部時，光心o位于區(qū)域2。定理3. 當在焦平面上的投影處于四邊形內(nèi)部，在焦平面上的投影處于四邊形外部時，光心o位于區(qū)域3。定理4. 當,在焦平面上的投影,都處于四邊形外部時，光心o位于區(qū)域4。定理1證明：由在四邊形的內(nèi)部，易知也在無底四棱錐內(nèi)部。連接光心o與上的任意一點t，根據(jù)映射關系知ot必經(jīng)過上的一點T，那么T也在無底四棱錐的內(nèi)部。因為如果T在無底四棱錐外部，那么oT連線必然經(jīng)過四棱錐的某一個表面，則ot必與，中的一條線相交，即t點在的某一個邊上，而t同時又在上，則可以推出與的某邊相交，這與已知條

24、件在無底四棱錐內(nèi)部矛盾，所以假設不成立，T點必位于無底四棱錐的內(nèi)部。由于和對應點具有一一映射關系，說明上的任意一點在無底四棱錐內(nèi)部，由引理1知，此時o位于區(qū)域1。證畢。其余幾個定理可以類似得證，證明過程在此省略。圖6 可視弧段成像關系示意圖由定理1定理4的證明可知，1) 當,在焦面上的投影,都處于四邊形內(nèi)部時，解1為正確解，如圖6（1）。2) 當在焦面上的投影處于四邊形外部，在焦面上的投影處于四邊形內(nèi)部時，解2為正確解，如圖6（2）。3) 當在焦面上的投影處于四邊形內(nèi)部，在焦面上的投影處于四邊形外部時，解3為正確解，如圖6（3）。4) 當,在焦面上的投影,都處于四邊形外部時，解4為正確解，如圖

25、6（4）。因此無論攝像機分布在模型坐標系的哪一個區(qū)域，我們總可以根據(jù),的可視曲線弧在圖像上的成像,與邊界點構成的凸四邊形的平面位置關系確定P3P問題的解模式。7 仿真和實驗在仿真實驗中，設攝像機內(nèi)參數(shù)矩陣為：，圖像大小為像素單位。按照第2節(jié)所述的方法建立模型坐標系，將攝像機的光心取在模型附近的不同位置，通過投影變換得到模型上,的可視部分, , , 在焦平面上投影的曲線弧, , , 。為了檢驗本文方法的有效性，將每個曲線弧按照像素單位進行量化，然后為量化后的曲線上的所有點加入以像素為單位的均勻隨機噪聲。再根據(jù)文獻 25中的方法利用這些有噪聲的點提取完整的橢圓，最后利用本文中的方法提取三個控制點g

26、, p, q。在求解P3P問題的時候，利用第6節(jié)得到的結論根據(jù)圖像上,與的位置關系確定唯一解，并使用迭代搜索的方法，計算光心點在模型坐標系的空間位置和姿態(tài)角。我們將結算結果與理論值相比較，得到定位誤差，如圖7。在實驗中我們對四個曲線弧分別加入了0.25的均勻隨機噪聲。為了檢驗方法的性能我們同時做了與傳統(tǒng)P3P定位方法的模擬對比實驗，實驗中直接以圓柱模型坐標系上的G, P, Q三點作為控制點建立P3P模型，G, P, Q在焦平面上的直接投影設為g, p, q，相應的也為這三個投影點加入0.25像素的均勻隨機噪聲。圖7（1-6）分別顯示了攝像機光心與模型坐標系原點在不同的距離上的定位誤差。仿真實驗

27、結果表明基于橢圓曲線的旋轉體定位方法可以從旋轉體附近的幾乎所有區(qū)域進行定位而不會產(chǎn)生多解。從定位精度來看，由于這個方法本質(zhì)上采用的是基于P3P的定位方法，因此其定位精度接近于直接采用點基元的P3P的定位精度，而其平均精度略低于直接采用點基元P3P的定位精度是由于曲線擬合提取得到P3P控制點的精度不夠高造成的。在實驗中，我們發(fā)現(xiàn)g, p, q三點的提取精度取決于圖像上,加入的誤差大小和橢圓的擬合精度，在圖像上的曲線弧誤差較大或橢圓的擬合精度不高的時候，g, p, q三點的提取精度就會嚴重下降，并最終影響到攝像機的定位精度。（a）繞x軸旋轉角的平均誤差 （d）x軸方向定位平均誤差（b）繞y軸旋轉角

28、的平均誤差 （e）y軸方向定位平均誤差（c）繞z軸旋轉角的平均誤差 （f）z軸方向定位平均誤差圖7 曲線特征與點特征定位誤差對比在仿真實驗的基礎上，我們將這個模型安置于機械手的末端，用于引導機械手完成對準操作。實驗中采用了一個全局單目攝像機和一個六自由度機械手，實驗中的任務是利用視覺伺服的方法引導機械手完成對目標物的對準操作。其中目標物在攝像機坐標系下的位置和姿態(tài)已經(jīng)通過激光測量和人機合作的方式得到，只要能夠測量出機械手末端在攝像機坐標系下的位置和姿態(tài)，就可以利用基于位置的視覺伺服方法引導機械手到目標處。圖8為機械手在旋轉體合作目標的引導下達到抓取位姿的過程。圖8 機械手抓取目標物8 結 論本

29、文利用組合橢圓曲線的實現(xiàn)了一種針對旋轉體中最為常見的圓柱體進行攝像機定位的簡便，可行的方法。首先，利用殘缺橢圓曲線的可復原的性質(zhì)解決了旋轉體定位基元被遮擋的問題，其次利用空間曲線交點和圓柱體的性質(zhì)獲得了柱體上可以構成P3P問題的三個控制點。在對P3P問題的解模式區(qū)間進行分析后，利用模型上的兩個橢圓形成的圖像曲線與P3P問題的解模式區(qū)間進行一一對應，從而避免了多解問題。最后的仿真和實驗表明利用這種方法可以在圓柱體側面的任何位置完成對圓柱體的定位，而不會產(chǎn)生多解，結合高精度的橢圓提取算法，可以保正其具有較高的定位精度。參考文獻1 Fishler M A, Bolles R C. Random sa

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