高中數(shù)學(xué)排列組合的應(yīng)用-（課堂PPT）

1、一一、掌握優(yōu)先處理元素（位置）法、掌握優(yōu)先處理元素（位置）法二二、掌握捆綁法、掌握捆綁法三三、掌握插空法、掌握插空法四四、隔板法、隔板法五五、分組分配問(wèn)題：、分組分配問(wèn)題： 1 1、是否均勻；是否均勻； 2 2、是否有組別。是否有組別。復(fù)習(xí)引入：復(fù)習(xí)引入：1、什么叫做什么叫做從從n n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m m個(gè)元素的一個(gè)排列個(gè)元素的一個(gè)排列？從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素，按照一定的）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的個(gè)元素的一個(gè)排列一個(gè)排列從從n個(gè)不同的元素中取出個(gè)不同的元素中取出m（m

2、n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的個(gè)元素的排列數(shù)排列數(shù). 用符號(hào)用符號(hào) 表示表示mnA2、什么叫做什么叫做從從n n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m m個(gè)元素的排列數(shù)個(gè)元素的排列數(shù)？3 3、排列數(shù)的兩個(gè)公式是什么排列數(shù)的兩個(gè)公式是什么？)1()2)(1(mnnnnAmn!()!mnnAnm（n，mN*，mn）組合定義：組合定義：一般地說(shuō)，從一般地說(shuō)，從 n n 個(gè)不同元素中，任取個(gè)不同元素中，任取 m m (mn) (mn) 個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)元素并成一組，叫做從 n n 個(gè)不同元素中取個(gè)不同元素中取出出 m m

3、 個(gè)元素的一個(gè)組合。個(gè)元素的一個(gè)組合。組合數(shù)公式：組合數(shù)公式：mnn!n(n-1)(n-m+1)C =m!(n-m)!m!組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):（1） （2）mn -mnnC= Cmmm-1n+1nnC= C +C 例例1：（1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種位同學(xué)站成一排，共有多少種 不同的不同的排法？排法？分析：?jiǎn)栴}可以看作分析：?jiǎn)栴}可以看作7個(gè)元素的全排列個(gè)元素的全排列.775040A （2）7位同學(xué)站成兩排位同學(xué)站成兩排(前前3后后4)，共有多少，共有多少種不同的排法？種不同的排法？ 分析分析:根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理 76 5 432 17!5040 （3）7位同學(xué)

4、站成一排，其中甲站在中間位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置的位置,共有多少種不同的排法？共有多少種不同的排法？ 分析分析:可看作甲固定可看作甲固定,其余全排列其余全排列 66720A （4）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？?jī)啥说呐欧ü灿卸嗌俜N？解解:將問(wèn)題分步將問(wèn)題分步第一步第一步:甲乙站兩端有甲乙站兩端有 種種第二步第二步:其余其余5名同學(xué)全排列有名同學(xué)全排列有 種種22A55A25252400A A共共有有種種答：共有答：共有2400種不同的排列方法。種不同的排列方法。（5）7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在

5、排頭和排尾的排法共有多少種？排頭和排尾的排法共有多少種？解法一解法一:(特殊位置法特殊位置法)第一步第一步:從其余從其余5位同學(xué)中找位同學(xué)中找2人站排頭和排尾人站排頭和排尾,有有 種種;25A第二步第二步:剩下的全排列剩下的全排列,有有 種種;55A25552400A A共共有有種種答：共有答：共有2400種不同的排列方法。種不同的排列方法。解法二解法二:(特殊元素法特殊元素法)第一步第一步:將甲乙安排在除排頭和排尾的將甲乙安排在除排頭和排尾的5個(gè)個(gè)位置中的兩個(gè)位置上位置中的兩個(gè)位置上,有有 種種;25A第二步第二步:其余同學(xué)全排列其余同學(xué)全排列,有有 種種;55A25552400A A共共有

6、有種種答：共有答：共有2400種不同的排列方法。種不同的排列方法。解法三解法三:(排除法排除法)先全排列有先全排列有 種種,其中甲或乙站排頭有其中甲或乙站排頭有 種種,甲或乙站排尾的有甲或乙站排尾的有 種種,甲乙分別站在排頭和甲乙分別站在排頭和排尾的有排尾的有 種種.77A662A662A2525A A7625762542400AAA A 共共有有種種答：共有答：共有2400種不同的排列方法。種不同的排列方法。優(yōu)限法優(yōu)限法:對(duì)于對(duì)于“在在”與與“不在不在”等類似等類似有限制有限制條件的排列問(wèn)題條件的排列問(wèn)題,常常使用常常使用“直接直接法法”(主要為主要為“特殊位置法特殊位置法”和和“特殊特殊元

7、素法元素法”)或者或者“排除法排除法”,即即優(yōu)先考優(yōu)先考慮限制條件慮限制條件.這種方法就是這種方法就是優(yōu)限法優(yōu)限法.【總結(jié)歸納】【總結(jié)歸納】一般地，對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，有以下兩種方法：一般地，對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，有以下兩種方法：直接計(jì)算法直接計(jì)算法 排列的限制條件一般是：某些特殊位置和特殊元素排列的限制條件一般是：某些特殊位置和特殊元素. 解決的辦法是解決的辦法是“特事特辦特事特辦”，對(duì)于這些特殊位置和元素，對(duì)于這些特殊位置和元素，實(shí)行優(yōu)先考慮，即實(shí)行優(yōu)先考慮，即特殊元素預(yù)置法特殊元素預(yù)置法、特殊位置預(yù)置法特殊位置預(yù)置法. 間接計(jì)算法間接計(jì)算法 先拋開(kāi)限制條件，計(jì)算出所有可能的排列

8、數(shù)，再?gòu)南葤侀_(kāi)限制條件，計(jì)算出所有可能的排列數(shù)，再?gòu)闹袦p去不合題意的排列數(shù)，特別要注意：不能遺漏，也中減去不合題意的排列數(shù)，特別要注意：不能遺漏，也不能重復(fù)不能重復(fù). 即即排除法排除法.搞清限制條件的真正含義，做針對(duì)性文章！搞清限制條件的真正含義，做針對(duì)性文章！例例2：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。若三個(gè)女孩要站在一起，有多少種不同的排法？若三個(gè)女孩要站在一起，有多少種不同的排法？解：將三個(gè)女孩看作一人與四個(gè)男孩排隊(duì)，有 種排法，而三個(gè)女孩

9、之間有 種排法，所以不同的排法共有： （種）。5353720A A 55A33A捆 綁 法捆 綁 法若三個(gè)女孩要站在一起，四個(gè)男孩也要站在一若三個(gè)女孩要站在一起，四個(gè)男孩也要站在一起，有多少種不同的排法？起，有多少種不同的排法？不同的排法有：不同的排法有：234234288A A A （種）說(shuō)一說(shuō)說(shuō)一說(shuō)捆綁法一般適用于捆綁法一般適用于 問(wèn)題的處理。問(wèn)題的處理。 相鄰相鄰例例2：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。捆綁法捆綁法:對(duì)于對(duì)于相鄰相鄰問(wèn)題

10、問(wèn)題,常常先將要相鄰的元素常常先將要相鄰的元素捆綁捆綁在一起在一起,視作為一個(gè)元素視作為一個(gè)元素,與其余元與其余元素全排列素全排列,再再松綁松綁后它們之間進(jìn)行全排后它們之間進(jìn)行全排列列.這種方法就是這種方法就是捆綁法捆綁法.若三個(gè)女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？若三個(gè)女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？解：先把四個(gè)男孩排成一排有解：先把四個(gè)男孩排成一排有 種排法，在每一排種排法，在每一排列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女孩插入列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女孩插入空檔中有空檔中有 種方法，所以共有：種方法，所以共有： （種）（種）排法。排法。35A44A43451440A A 插 空

11、 法插 空 法例例2：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。男生、女生相間排列，有多少種不同的排法？男生、女生相間排列，有多少種不同的排法？解：先把四個(gè)男孩排成一排有解：先把四個(gè)男孩排成一排有 種排法，在每一排種排法，在每一排列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女孩插入列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女孩插入空檔中有空檔中有 種方法，所以共有：種方法，所以共有： （種）（種）排法。排法。33A44A4343144A A 插 空 法插 空 法例例

12、2：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。甲、乙兩人的兩邊必須有其他人，有多少種不甲、乙兩人的兩邊必須有其他人，有多少種不 同的排法？同的排法？解：先把其余五人排成一排有 種排法，在每一排列中有四個(gè)空檔（不包括兩端），再把甲、乙插入空檔中有 種方法，所以共有： （種）排法。24A55A52541440A A 插 空 法插 空 法例例2：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七

13、個(gè)小孩站成一排照相留念。三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。插空法插空法:對(duì)于對(duì)于不相鄰不相鄰問(wèn)題問(wèn)題,先將其余元素全排先將其余元素全排列列,再將這些不相鄰的元素再將這些不相鄰的元素插入空擋插入空擋中中,這種方法就是這種方法就是插空法插空法.例例3.1、將四個(gè)將四個(gè)不同的不同的小球分成兩組，每組小球分成兩組，每組兩個(gè)，有多少分法？?jī)蓚€(gè)，有多少分法？3種種2、將四個(gè)、將四個(gè)不同的不同的小球分給兩人，每人兩個(gè)，小球分給兩人，每人兩個(gè)， 有多少分法？有多少分法？甲甲甲甲乙乙乙乙6種種3、將四個(gè)、將四個(gè)不同的不同的小球分成兩組，一組三個(gè)，小球分成兩組，一組三個(gè)，一組一個(gè)，有多少分法？一組一

14、個(gè)，有多少分法？4種種4、將四個(gè)小球分給兩人，一人三個(gè)，、將四個(gè)小球分給兩人，一人三個(gè)， 一人一個(gè)，有多少分法？一人一個(gè)，有多少分法？甲甲乙乙甲甲乙乙8種種若分成的若分成的m組是有組別的，組是有組別的，只需在原來(lái)的分組基礎(chǔ)上再只需在原來(lái)的分組基礎(chǔ)上再mmA 例例3:有有6本不同的書(shū)，分成本不同的書(shū)，分成3堆堆.（1）如果每堆）如果每堆2本，有多少種分法？本，有多少種分法？（2）如果分成一堆）如果分成一堆1本，一堆本，一堆2本，一堆本，一堆3本，有多少種分法？本，有多少種分法？ 分析分析:這與例這與例2不同，區(qū)別在于把不同，區(qū)別在于把 6本不同的書(shū)分給甲、本不同的書(shū)分給甲、乙、丙乙、丙3人，每人

15、人，每人2本，相當(dāng)于把本，相當(dāng)于把6本不同的書(shū)先分成本不同的書(shū)先分成3堆，再把分得的堆，再把分得的3堆分給甲、乙、丙堆分給甲、乙、丙3人人.2226423390156C C CA12365360C C C 總總 結(jié)：結(jié)： 分組分配問(wèn)題主要有分組后分組分配問(wèn)題主要有分組后有分配對(duì)象有分配對(duì)象( (即即組本身有序組本身有序) )的的均分均分與與不均分不均分問(wèn)題及分組后問(wèn)題及分組后無(wú)分無(wú)分配對(duì)象配對(duì)象( (即組本身無(wú)序即組本身無(wú)序) )的的均分均分與與不均分不均分問(wèn)題四種問(wèn)題四種類型，常見(jiàn)的情形有以下幾種類型，常見(jiàn)的情形有以下幾種: :rrrrnrrnrnCCCC2 (2)均勻、有序分組均勻、有序分

16、組: 把把n個(gè)不同的元素分成有序的個(gè)不同的元素分成有序的m組，每組組，每組r個(gè)元素，個(gè)元素，則共有則共有 種分法種分法.(其中其中mr=n)mmrrrrnrrnrnACCCC2 (1)均勻、無(wú)序分組均勻、無(wú)序分組: 把把n個(gè)不同的元素分成無(wú)序的個(gè)不同的元素分成無(wú)序的m組，每組組，每組r個(gè)元素，個(gè)元素，則共有則共有 種分法種分法.(其中其中mr=n)mmrrrrrnrrnrnCCCC321211 (3)非均勻、無(wú)序分組非均勻、無(wú)序分組:把把n個(gè)不同的元素分成個(gè)不同的元素分成m組，第組，第1組組r1個(gè)元素，第個(gè)元素，第2組組r2個(gè)元素，第個(gè)元素，第3組組r3個(gè)元素，個(gè)元素，第第m組組rm個(gè)元素，個(gè)

17、元素，則共有則共有 種分法種分法.(其中其中r1+r2+r3+rm=n)(4)非均勻、有序分組非均勻、有序分組:把把n個(gè)不同的元素分成個(gè)不同的元素分成m組，第組，第1組組r1個(gè)元素，第個(gè)元素，第2組組r2個(gè)元素，第個(gè)元素，第3組組r3個(gè)元素，個(gè)元素，第第m組組rm個(gè)元素，個(gè)元素，再分給再分給m個(gè)人，則共有個(gè)人，則共有 種分法種分法.(其中其中r1+r2+r3+rm=n)mmrrrrrnrrnrnACCCCmm321211 (5)局部均勻分組局部均勻分組:把把n個(gè)不同的元素分成個(gè)不同的元素分成m組，其中組，其中m1個(gè)組有個(gè)組有r1個(gè)元個(gè)元素，素， m2個(gè)組有個(gè)組有r2個(gè)元素，個(gè)元素， mk個(gè)組有

18、個(gè)組有rk個(gè)元素，個(gè)元素，則共有則共有 種分法種分法.(其中其中m1r1+m2r2+m3r3+mkrk=n)kkkkmmmmmmrrrmrnrrmnrrnrnAAACCCCC221121111111)1( 例例4:有有6本不同的書(shū)，分成本不同的書(shū)，分成4堆堆.（3）如果一堆）如果一堆3本，其余各堆各本，其余各堆各1本，有多本，有多少種分法？少種分法？（4）如果每堆至多）如果每堆至多2本，至少本，至少1本，有多少本，有多少種分法？種分法？ 311163213320 3 2 1206C C C CA 22116421222215 62 14522C C C CA A 3620C或例例5:從從6個(gè)學(xué)

19、校中選出個(gè)學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽賽,每校至少有每校至少有1人人,這樣有幾種選法這樣有幾種選法?分析分析:問(wèn)題相當(dāng)于把問(wèn)題相當(dāng)于把30個(gè)相同的球放入個(gè)相同的球放入6個(gè)不同盒個(gè)不同盒子子(盒子不能空的盒子不能空的)有幾種放法有幾種放法?這類問(wèn)題可用這類問(wèn)題可用“隔隔板法板法”處理處理.小結(jié)：把小結(jié)：把n個(gè)相同元素分成個(gè)相同元素分成m份，每份至少份，每份至少1個(gè)元素，問(wèn)有多少種不同分法的問(wèn)題可以個(gè)元素，問(wèn)有多少種不同分法的問(wèn)題可以采用采用“隔板法隔板法”.共有：共有：529118755C11mnC變式變式1:將將7只相同的小球全部放入只相同的小球全部放入4個(gè)不同個(gè)不同盒子，

20、每盒至少盒子，每盒至少1球的放法有多少種？球的放法有多少種？變式變式2:將將7只相同的小球全部放入只相同的小球全部放入4個(gè)不同盒個(gè)不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少種？子，每盒可空，不同的放法有多少種？3620C 310120C課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：1、4個(gè)學(xué)生和個(gè)學(xué)生和3個(gè)老師排成一排照相，老師不能排兩端，個(gè)老師排成一排照相，老師不能排兩端，且老師必須排在一起的不同排法種數(shù)是（且老師必須排在一起的不同排法種數(shù)是（ ） A . B . C . D .77A3344AA223322AAA333324AAAD2、計(jì)劃展出、計(jì)劃展出10幅不同的畫(huà)，其中幅不同的畫(huà)，其中1幅水彩畫(huà)，幅水彩畫(huà)，4幅油畫(huà)，

21、幅油畫(huà)，5幅國(guó)畫(huà)，排成一行陳列，要求同一品種的畫(huà)必須連在幅國(guó)畫(huà)，排成一行陳列，要求同一品種的畫(huà)必須連在一起，那么不同的陳列方式有（一起，那么不同的陳列方式有（ ）4545AA A345345BA A A145345CA A A245245DA A AB3、在、在7名運(yùn)動(dòng)員中選出名運(yùn)動(dòng)員中選出4名組成接力隊(duì)，參加名組成接力隊(duì)，參加4100米米接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種？有多少種？)(400252235121245種AAAAAA練習(xí)練習(xí)2:將將5個(gè)人分成個(gè)人分成4個(gè)組，每組至少個(gè)組，每組至少1人，人， 則分組的種數(shù)是多少？則

22、分組的種數(shù)是多少？1112321533CCCCA25C練習(xí)練習(xí)1:將將12個(gè)人分成個(gè)人分成2，2，2，3，3的的5個(gè)個(gè)組，則分組的種數(shù)是多少？組，則分組的種數(shù)是多少？2223312108633232CCCCCAA練習(xí)練習(xí)3:9件不同的玩具，按下列方案有幾種分法？件不同的玩具，按下列方案有幾種分法？ 1.甲得甲得2件，乙得件，乙得3件，丙得件，丙得4件，有多少種分法？件，有多少種分法？ 2.一人得一人得2件，一人得件，一人得3件，一人得件，一人得4件，有多少種件，有多少種分法？分法？ 3.每人每人3件，有多少種分法？件，有多少種分法？ 4.平均分成三堆，有多少種分法？平均分成三堆，有多少種分法？ 5.分為分為2、2、2、3四堆，有多少種分法？四堆，有多少種分法？ 解：解：2349741260C C C 234397437560C C C A 3339631680C C C 33396333280C C CA22236423331260C C CCA課堂小結(jié)：課堂小結(jié)：1、對(duì)限制條件較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，要周、對(duì)限制條件較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計(jì)出合理的方案，把復(fù)雜問(wèn)題分解密分析，設(shè)計(jì)出合理的方案，把復(fù)雜問(wèn)題分解成若干個(gè)