2017-2018學年人教A版數(shù)學選修2-1課時提升作業(yè)（十五） 2.3.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 第1課時 探究導學課型 Word版含答案

1、溫馨提示： 此套題為word版，請按住ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(十五)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.若雙曲線x28-y2m=1的漸近線方程為y=±2x，則實數(shù)m等于()a.4b.8c.16d.32【解析】選d.由題意，得雙曲線焦點在x軸上，且a2=8，b2=m，所以a=22，b=m.又漸近線方程為y=±2x，所以m8=4.所以m=32.2.(2015·全國卷)已知a，b為雙曲線e的左、右頂點，點m在e上，abm為等腰三角形，且頂角為120

2、6;，則e的離心率為()a.5b.2c.3d.2【解析】選d.設雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，如圖所示，|ab|=|bm|，abm=120°，過點m作mnx軸，垂足為n，在rtbmn中，|bn|=a，|mn|=3a，故點m的坐標為m(2a，3a)，代入雙曲線方程得a2=b2=c2-a2，即c2=2a2，所以e=2.【補償訓練】已知0<<4，則雙曲線c1：x2cos2-y2sin 2=1與c2：y2sin2-x2sin2tan2=1的()a.實軸長相等b.虛軸長相等c.焦距相等d.離心率相等【解析】選d.因為0<<4

3、，所以雙曲線c1的離心率e1=ca=cos2+sin2cos=1cos，而雙曲線c2的離心率e2=ca=sin2+sin2tan2sin=sin1+tan2sin=1+sin2cos2=1cos2=1cos，所以e1=e2.3.(2015·石家莊高二檢測)已知f是雙曲線x23a2-y2a2=1(a>0)的右焦點，o為坐標原點，設p是雙曲線c上一點，則pof的大小不可能是()a.15°b.25°c.60°d.165°【解析】選c.雙曲線的漸近線方程為y=±33x，所以漸近線的傾斜角為30°或150°，所以pof

4、不可能等于60°.4.(2015·銀川高二檢測)已知雙曲線x22-y2b2=1(b>0)的左、右焦點分別是f1，f2，其一條漸近線方程為y=x，點p(3，y0)在雙曲線上，則pf1·pf2=()a.-12b.-2c.0d.4【解題指南】由漸近線方程求出b，得到雙曲線方程，進而求出f1，f2及p的坐標即可.【解析】選c.由漸近線方程為y=x知，b2=1，所以b=2，因為點p(3，y0)在雙曲線上，所以y0=±1，y0=1時，p(3，1)，f1(-2，0)，f2(2，0)，所以pf1·pf2=0，y0=-1時，p(3， -1)，pf1

5、3;pf2=0.5.已知f1，f2是兩個定點，點p是以f1和f2為公共焦點的橢圓和雙曲線的一個交點，并且pf1pf2，e1和e2分別是上述橢圓和雙曲線的離心率，則有()a.1e12+1e22=4b.e12+e22=4c.1e12+1e22=2d.e12+e22=2【解析】選c.設橢圓長半軸長為a，雙曲線實半軸長為m，則|pf1|+|pf2|=2a|pf1|-|pf2|=2m2+2得：2(|pf1|2+|pf2|2)=4a2+4m2，又|pf1|2+|pf2|2=4c2，代入上式得4c2=2a2+2m2，兩邊同除以2c2得2=1e12+1e22.二、填空題(每小題5分，共15分)6.(2015&

6、#183;全國卷)已知雙曲線過點(4，3)，且漸近線方程為y=±12x，則該雙曲線的標準方程為_.【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程為y=±12x，可設雙曲線的方程為x24-y2=m，把(4，3)代入x24-y2=m，得m=1.答案：x24-y2=17.(2015·揭陽高二檢測)如圖所示，橢圓中心在坐標原點，f為左焦點，a，b為橢圓的頂點，當fbab時，其離心率為5-12，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”，類比“黃金橢圓”可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于_.【解析】設中心在坐標原點的雙曲線左焦點f，實軸右端點a，虛軸端點b，fbab，則|af|2=|ab|2+|bf|2，

7、因為|af|2=(a+c)2，|ab|2=a2+b2，|bf|2=b2+c2，所以c2-a2-ac=0，因為e=ca，所以e2-e-1=0，因為e>1，所以e=5+12.答案：5+12【補償訓練】已知雙曲線c：x24-y2m=1的開口比等軸雙曲線的開口更開闊，則實數(shù)m的取值范圍是_.【解析】因為等軸雙曲線的離心率為2，且雙曲線c的開口比等軸雙曲線更開闊，所以雙曲線c：x24-y2m=1的離心率e>2，即4+m4>2.所以m>4.答案：(4，+)8.(2015·孝感高二檢測)雙曲線x29-y216=1的兩個焦點為f1、f2，點p在雙曲線上，若pf1pf2，則點p

8、到x軸的距離為_.【解析】設|pf1|=m，|pf2|=n(m>n)，所以a=3，b=4，c=5.由雙曲線的定義知，m-n=2a=6，又pf1pf2.所以pf1f2為直角三角形.即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6，得m2+n2-2mn=36，所以2mn=m2+n2-36=64，mn=32.設點p到x軸的距離為d，spf1f2=12d|f1f2|=12|pf1|·|pf2|，即12d·2c=12mn.所以d=mn2c=3210=3.2，即點p到x軸的距離為3.2.答案：3.2三、解答題(每小題10分，共20分)9.(1)已知雙曲線的漸近線方程為y=±

9、;34x，求雙曲線的離心率.(2)雙曲線的離心率為2，求雙曲線的兩條漸近線的夾角.(3)雙曲線與圓x2+y2=17有公共點a(4，-1)，圓在a點的切線與雙曲線的漸近線平行，求雙曲線的標準方程.【解析】(1)因為雙曲線的漸近線方程為y=±34x，所以ba=34或ba=43.當ba=34時，e=54；當ba=43時，e=53.(2)因為e=ca=2，所以a2+b2a=2，即a=b，所以雙曲線漸近線方程為y=±x.所以雙曲線兩條漸近線的夾角為90°.(3)因為點a與圓心o連線的斜率為-14，所以過a的切線的斜率為4.所以雙曲線的漸近線方程為y=±4x.設雙曲

10、線方程為x2-y216=.因為點a(4，-1)在雙曲線上，所以16-116=，=25516.所以雙曲線的標準方程為x225516-y2255=1.10.中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點f1，f2，且|f1f2|=213，橢圓的長半軸長與雙曲線實半軸長之差為4，離心率之比為37.(1)求這兩曲線方程.(2)若p為這兩曲線的一個交點，求f1pf2的面積.【解析】(1)設橢圓方程為x2a2+y2b2=1，雙曲線方程為x2m2-y2n2=1(a，b，m，n>0，且a>b)，則a-m=47·13a=3·13m,解得：a=7，m=3，所以b=6，n=2

11、，所以橢圓方程為x249+y236=1，雙曲線方程為x29-y24=1.(2)不妨設f1，f2分別為左、右焦點，p是第一象限的一個交點，則|pf1|+|pf2|=14，|pf1|-|pf2|=6，所以|pf1|=10，|pf2|=4，所以cosf1pf2=|pf1|2+|pf2|2-|f1f2|22|pf1|·|pf2|=45，所以sinf1pf2=35.所以sf1pf2=12|pf1|·|pf2|sinf1pf2=12·10·4·35=12.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1.雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的2倍，且

12、一個頂點的坐標為(0，2)，則雙曲線的標準方程為()a.y24-x24=1b.x24-y24=1c.y24-x29=1d.x28-y24=1【解析】選a.2a+2b=2·2c，即a+b=2c，所以a2+2ab+b2=2(a2+b2)，所以(a-b)2=0，即a=b.因為一個頂點坐標為(0，2)，所以a2=b2=4，所以y2-x2=4，即y24-x24=1.【補償訓練】漸近線方程為3x±4y=0，焦點為橢圓x210+y25=1的短軸端點的雙曲線方程為_.【解析】雙曲線的焦點為橢圓的短軸端點，即(0，5)，(0，-5)，所求雙曲線方程可設為y29-x216=1(>0)，所

13、以5=9+16，=15.故所求的雙曲線方程為5y29-5x216=1.答案：5y29-5x216=12.已知實數(shù)4，m，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，m為等比中項，則圓錐曲線x2m+y2=1的離心率為()a.306b.7c.306或7d.56或7【解析】選c.因為4，m，9成等比數(shù)列，所以m2=36，所以m=±6.當m=6時，圓錐曲線方程為x26+y2=1，其離心率為306；當m=-6時，圓錐曲線方程為y2-x26=1，其離心率為7.【補償訓練】兩個正數(shù)a，b的等差中項是92，等比中項是25，且a>b，則雙曲線x2a2-y2b2=1的離心率為_.【解析】因為兩個正數(shù)a，b的等差中項是92

14、，等比中項是25，且a>b，所以a+b2=92,ab=25,a>b,解得a=5，b=4，所以雙曲線方程為x225-y216=1，所以c=25+16=41，所以雙曲線x2a2-y2b2=1的離心率e=ca=415.答案：415二、填空題(每小題5分，共10分)3.(2015·廣州高二檢測)若雙曲線x2a2-y2b2=1的離心率為3，則其漸近線的斜率為_.【解析】雙曲線的離心率e=ca=a2+b2a=1+b2a2=3，所以ba=2，其漸近線的方程為y=±bax，其斜率為±2.答案：±24.(2015·鄭州高二檢測)設雙曲線x29-y21

15、6=1的右頂點為a，右焦點為f.過點f平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點b，則afb的面積為_.【解題指南】利用雙曲線方程和直線方程求出b點的坐標，可得三角形的高.【解析】雙曲線x29-y216=1的右頂點為a(3，0)，右焦點為f(5，0)(由于兩漸近線關(guān)于x軸對稱，因此設與任何一條漸近線平行的直線均可)，一條漸近線為y=-43x，則bf所在直線為y=-43(x-5)，由y=-43(x-5),x29-y216=1,得b175,3215，所以safb=12·|af|·|yb|=3215.答案：3215三、解答題(每小題10分，共20分)5.(2015·青

16、島高二檢測)已知f1，f2是橢圓c1：x24+y2=1與雙曲線c2的公共焦點，a，b分別是c1，c2在第二、四象限的公共點，若四邊形af1bf2為矩形，求c2的離心率.【解析】設雙曲線c2的標準方程為x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，|af1|=m，|af2|=n，因為a，b分別是c1，c2在第二、四象限的公共點，所以m+n=4，n-m=2a，所以m=2-a，n=2+a.因為四邊形af1bf2為矩形，所以af1af2.因為|f1f2|=23，所以m2+n2=12，即8+2a2=12，所以a=2，所以e=ca=32=62.6.(2015·衡陽高二檢測)過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右焦點f(22，0)作雙曲線的一條漸近線的垂線，與該漸近線交于點p，且of·fp=-6，求雙曲線的方程.【解析】設雙曲線的一條漸近線方程為y=bax，則過f且與其垂直的直線方程為y=-ab(x-22).由y=bax,y=-ab(x-22)可得點p的坐標為a222,ab22.所以fp=a222-22,ab22，of·fp=(22，0)·a222-22,a