人教版高一數(shù)學(xué)集合和簡(jiǎn)易邏輯

1、高一數(shù)學(xué)集合和簡(jiǎn)易邏輯一、知識(shí)結(jié)構(gòu)二、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：有關(guān)集合的基本概念、術(shù)語(yǔ)和符號(hào)；與()型的不等式的解法，一元二次不等式的解法；邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充分條件和必要條件；難點(diǎn)：有關(guān)集合的各個(gè)概念的涵義、它們之間的區(qū)別與聯(lián)系；對(duì)絕對(duì)值意義的理解；弄清一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系；對(duì)一些數(shù)學(xué)命題真假的判斷、關(guān)于充要條件的判斷和反證法的運(yùn)用。三、知識(shí)點(diǎn)解析1、集合（1）定義：一般地，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱集。表示集合的方法有列舉法、描述法和圖示法，集合可分為有限集和無(wú)限集。（2）空集：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作。（3）子集：

2、一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說(shuō)集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，記作。這時(shí)我們也說(shuō)集合A是集合B的子集。當(dāng)集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時(shí)，則記作。我們規(guī)定：空集是任何集合的子集。也就是說(shuō)，對(duì)任何一個(gè)集合A，有。（4）等集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說(shuō)集合A等于集合B，記作AB。（5）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集，全集通常用U表示。（6) 補(bǔ)集：一般地，設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集(

3、即)，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)，記作，即。（7) 交集，并集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記作(讀作“A交B”)，即。而由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A與B的并集，記作(讀作“A并B”)，即。對(duì)于交集“”，不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為中的任一元素都是A與B的公共元素，或者簡(jiǎn)單認(rèn)為A與B的公共元素都屬于，這是因?yàn)椴⒎侨魏蝺蓚€(gè)集合總有公共元素。當(dāng)集合A與B沒(méi)有公共元素時(shí)，不能說(shuō)A與B沒(méi)有交集，而是；對(duì)于并集“”，不能簡(jiǎn)單地理解為是由A的所有元素與B的所有元素組成的集合，這是因?yàn)锳與B可能有公共元素，故上

4、述理解與集合的互異性不符。2、含絕對(duì)值的不等式解法：絕對(duì)值不等式的解法：的解集是；的解集是。注：對(duì)于的解法可用換元法解。3、一元二次不等式解法：一元二次不等式的解集如下表：判別式二次函數(shù)的圖像一元二次方程的根有兩相異實(shí)根 有兩相等實(shí)根 沒(méi)有實(shí)根的解集的解集對(duì)于絕對(duì)值不等式可采用平方去絕對(duì)值法，即化為（或，其中）。4、簡(jiǎn)易邏輯：（1）邏輯聯(lián)結(jié)詞： “或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞，是簡(jiǎn)單命題；由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成，是復(fù)合命題。（2）四種命題：1）定義：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件(或題設(shè))是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命

5、題叫做互逆命題；如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的逆命題。一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題。把其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)就叫做原命題的否命題；一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題。把其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)就叫做原命題的逆否命題；2）基本規(guī)律：復(fù)合命題真假判斷表非p形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：p非p真假假真p且q形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：pqp且q真真真真假假假真假假假假p或q形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：pqp或q真真真真假真假真真假假

6、假四種命題之間的相互關(guān)系（3）充分條件與必要條件：1）定義：一般地，如果已知，那么我們說(shuō)，p是q的充分條件，q是p的必要條件；一般地，如果既有，又有，就記作。這時(shí)，p既是q的充分條件，又是q的必要條件，我們就說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件。2）基本規(guī)律：原命題為真，它的逆命題不一定為真；原命題為真，它的否命題不一定為真；原命題為真，它的逆否命題一定為真。四、例題1、集合例1 （1）用列舉法表示不超過(guò)10的非負(fù)偶數(shù)的集合，并用另一種方法表示出來(lái)；（2）設(shè)集合，試用列舉法表示集合A。分析 （1）中集合含的元素為；（2）中集合所含的元素是點(diǎn)。解 （1）；用描述法表示為不超過(guò)10的非負(fù)偶數(shù)，或；

7、（2）。說(shuō)明 注意（2）中集合A的元素是點(diǎn)的坐標(biāo)。例2 試用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎荆罕?整除余1的自然數(shù)集合。分析 被3整除余1的自然數(shù)可以表示為。解 集合可以表示為。說(shuō)明 雖然這一集合是無(wú)限集，但也可以用列舉法來(lái)表示：。例3 列舉集合的所有子集。分析 子集中分別含1，2，3三個(gè)元素中的0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)或者3個(gè)解 含有0個(gè)元素的子集有；有含有1個(gè)元素的子集有；含有2個(gè)元素的子集有；含有3個(gè)元素的子集有。共有子集8個(gè)。例4 已知集合，又知非空集合C是這樣一個(gè)集合：其各元素都加2后，就變?yōu)锳的一個(gè)子集；若各元素都減2后，則變?yōu)锽的一個(gè)子集，求集合C、分析 逆向操作：A中元素減2得0，2，4，6，7，則C中

8、元素必在其中；B中元素加2得3，4，5，7，10，則C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7。答 或或。說(shuō)明 逆向思維能力在解題中起重要作用。 例5 設(shè)，且，若，則=_。分析 本題滲透了方程的根與系數(shù)關(guān)系理論，由于 ，則由韋達(dá)定理可解。答 。說(shuō)明 集合問(wèn)題常常與方程問(wèn)題相結(jié)合。例6 已知?jiǎng)t是 A、 B、 C、 D、以上均不對(duì)分析 先考慮相關(guān)函數(shù)的值域解 ，在數(shù)軸上易得。答 選C。例7 設(shè)集合，則 A、 B、 C、D、分析 畫數(shù)軸表示答 選D。說(shuō)明 集合運(yùn)算借助數(shù)軸是常用技巧例8 集合，則_。分析 即為兩條直線與的交點(diǎn)集合。答 。說(shuō)明：做題之前要搞清楚集合的元素是什么（重點(diǎn)講解）例9 集合A含

9、有10個(gè)元素，集合B含有8個(gè)元素，集合含有3個(gè)元素，則集合有_個(gè)元素。分析 由集合AB含有3個(gè)元素知，A，B僅有3個(gè)元素相同，根據(jù)集合元素的互異性，集合AB的元素個(gè)數(shù)為108315。答 15。例10 設(shè)集合，若，求。分析 欲求，需根據(jù)列出關(guān)于的方程，求出，從而確定A、B，但若將A、B中元素為9的情況一起考慮，頭緒太多了，因此，宜先考慮集合A，再將所得值代入檢驗(yàn)。解 由，可得或，解得或5。當(dāng)時(shí)，B中元素違反互異性，故應(yīng)舍去；當(dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，這與矛盾，故應(yīng)舍去。從而可得，且。說(shuō)明 本題解法中體現(xiàn)了分類討論思想，這在高中數(shù)學(xué)中是非常重要的（重點(diǎn)講解）2、含絕對(duì)值得不等式解法例1&#

10、160; 絕對(duì)值大于2且不大于5的最小整數(shù)是 A、3 B、2 C、2D、5分析 列出不等式。解 根據(jù)題意得，從而或，其中最小整數(shù)為5。答 選D。例2  實(shí)數(shù)滿足，那么 A、 B、 C、 D、分析 根據(jù)符號(hào)法則及絕對(duì)值的意義。解 異號(hào)， 。答 選C。例3 解不等式。分析 以通過(guò)變形化簡(jiǎn)，把該不等式化歸為或型的不等式來(lái)解。解 事實(shí)上原不等式可化為，或。由得，解之得；由得，解之得或，從而得到原不等式的解集為。說(shuō)明 本題需要多次使用絕對(duì)值不等式的解題理論例4 已知關(guān)于的不等式的解集是非空集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_。分析 可以根據(jù)對(duì)的意義的不同理解，獲得多種方法解 當(dāng)時(shí)，不等式化為即有解；當(dāng)時(shí)

11、，不等式化為，即；當(dāng)時(shí)，不等式化為，即有解，而，。綜上所述：時(shí)不等式有解，從而解集非空。說(shuō)明：通過(guò)多種解法鍛煉思維的發(fā)散性。例5 解不等式。分析 采取用平方法去掉絕對(duì)值。解 原不等式同解于，即，即，得，所以原不等式的解集為。3、一元二次不等式：例1 解關(guān)于的不等式。解：，或，即，或。例2 若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解 由方程有實(shí)根得 ；由方程有實(shí)根得，所以；由，可知，的取值范圍是。例3 已知集合，（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解 （1），由數(shù)軸可知，要使，則。（2）由得。小結(jié)：去絕對(duì)值符號(hào)后解不等式的方法；注意分情況討論后是求交集，還是求并集。例4 已知

12、二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)有，解不等式。解 由已知得是方程的根，不等式，即，即不等式的解集為。說(shuō)明 一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)三者之間聯(lián)系十分密切，二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是相應(yīng)一元二次方程解的個(gè)數(shù)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；圖象上使函數(shù)值大于或小于0的的集合，就是一元二次不等式大于或小于0的解集。例5 當(dāng)取何值時(shí)，關(guān)于的二次不等式的解為任何實(shí)數(shù)。選題意圖：本例主要訓(xùn)練一元二次不等式的解集與一元二次方程的解之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)審題的良好習(xí)慣。解 由已知得，即 。說(shuō)明 題中“關(guān)于的二次不等式”這句話隱含著這一條件，審題時(shí)應(yīng)注意領(lǐng)會(huì)，若把條件改為“關(guān)于的不等式”應(yīng)對(duì)、這兩種情況分別討論

13、。例6 解關(guān)于的不等式解 （1）當(dāng)，即時(shí)，原不等式化為，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是；（2）當(dāng)，即時(shí)，；關(guān)于x的方程的兩根是，所以原不等式的解集是。(3)當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，方程的兩根是，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式化為，即，此時(shí)原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)原不等式解集為R。綜上所得：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是R；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，原不等式解集是；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是。說(shuō)明 當(dāng)不等式中含有字母系數(shù)時(shí)，應(yīng)按字母的取值范圍分類討論，做到不重不漏。解題時(shí)，應(yīng)注意將二次項(xiàng)系數(shù)化為正的。4、簡(jiǎn)易邏輯：例1 下列語(yǔ)句中不是命題的是 A、臺(tái)灣是中國(guó)的 B、兩軍相遇勇者

14、勝C、上海是中國(guó)最大的城市 D、連接A、B兩點(diǎn)分析 “D”是描述性語(yǔ)句答 D。例2 命題“方程的解是”中，使用的邏輯聯(lián)結(jié)詞的情況是 A、沒(méi)有使用聯(lián)結(jié)詞 B、使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”C、使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且” D、使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”分析 注意到是或。答 選B。例3 命題梯形不是平行四邊形；等腰三角形的底角相等；有兩個(gè)內(nèi)角互補(bǔ)的四邊形是梯形或圓內(nèi)接四邊形或是平行四邊形；60是5或2的公倍數(shù)，其中復(fù)合命題有 A、 B、 C、 D、分析 是簡(jiǎn)單命題，其余的均為復(fù)合命題。解 選A。例4 分別指出下列復(fù)合命題的形式及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題：(1)4既是8的約數(shù)，也是12的約數(shù)； (2)張明是數(shù)學(xué)課代表或英語(yǔ)課

15、代數(shù)； (3)江蘇省不是中國(guó)面積最大的省分析 先尋找邏輯聯(lián)結(jié)詞，再確定被聯(lián)結(jié)的簡(jiǎn)單命題解 (1)p且q，p：4是8的約數(shù)，q：4是12的約數(shù)；(2)p或q，p：張明是數(shù)學(xué)課代表，q：張明是英語(yǔ)課代表；(3)非p、p：江蘇省是中國(guó)面積最大的省。例5 以下判斷正確的是 A、若p是真命題，則“p且q”一定是真命題 B、命題“p且q”是真命題，則命題p一定是真命題C、命題“p且q”是假命題時(shí)，命題p一定是假命題 D、命題p是假命題時(shí)，命題“p且q”不一定是假命題解 根據(jù)真值表，選B。說(shuō)明 在記憶真值表的時(shí)候，要體會(huì)它的合理性。例6 如果命題“p或q”與命題“非p”都是真命題，那么 A、命題p不一定是假

16、命題 B、命題q一定是真命題C、命題q不一定是真命題 D、命題p與命題q的真值相同分析 p為假，從而q為真解 選B。例7 若p、q是兩個(gè)簡(jiǎn)單命題，且“p或q”的否定是真命題，則必有 A、p真q真 B、p假q假 C、p真q假 D、p假q真分析 利用逆否命題與原命題的等價(jià)性，結(jié)合真值表確定結(jié)論解 “p或q”的否定是“非p且非q”，這是一個(gè)真命題，所以由真值表非p、非q都是真命題，那么p假q假選B。例8 p：菱形的對(duì)角線互相垂直q：菱形的對(duì)角線互相平分求下列復(fù)合命題：(1)p或q (2)p且q (3)非p分析 一般的問(wèn)題都是“拆”復(fù)合命題，這兒是“造”復(fù)合命題，關(guān)鍵在于“合”解 (1)菱形的對(duì)角線互

17、相垂直或平分； (2)菱形的對(duì)角線互相垂直且平分； (3)菱形的對(duì)角線互相不垂直例9 如果命題“p或q”是真命題，“非p”是假命題，那么 A、命題p一定是假命題 B、命題q一定是假命題C、命題q一定是真命題 D、命題q是真命題或者假命題分析 利用真值表回推答 選D。說(shuō)明 解題過(guò)程中注意發(fā)揮逆向思維的作用例10 命題“非空集合中的元素既是A中的元素也是B中元素”是_形式命題“非空集合中的元素是A的元素或是B的元素”是_形式分析 則且，填p且q。則或，填p或q。答 填p且q；p或q。說(shuō)明 本題是集合問(wèn)題與命題概念的結(jié)合。例11 分別指出下列各命題的形式及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題，并指出復(fù)合命題的真假。(1

18、)8或6是30的約數(shù)； (2)矩形的對(duì)角線垂直平分； (3)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。分析 分清形式結(jié)構(gòu)，判斷簡(jiǎn)單命題真假，利用真值表再判斷原復(fù)合命題真假。解 (1)p或q，p：8是30的約數(shù)(假)，q：6是30的約數(shù)(真)?！皅或q”為真。(2)p且q，p：矩形的對(duì)角線互相垂直(假)，q：矩形的對(duì)角線互相平分(真)“p且q”為假。(3)非p、p：有實(shí)根(假)，非p為真。說(shuō)明 將簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)負(fù)載在其他知識(shí)之上。例12 設(shè)原命題為：“對(duì)頂角相等”，把它寫成“若p則q”形式為_。它的逆命題為_，否命題為_，逆否命題為_。分析 只要確定了“p”和“q”，則四種命題形式都好寫了。解 若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則兩個(gè)角相等；若兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角是對(duì)頂角；若兩個(gè)角不是對(duì)頂點(diǎn)，則這兩個(gè)角不相等；若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角不是對(duì)頂角。例13 分別寫出命題“若，則全為0”的逆命題、否命題和逆否命題。分析 根據(jù)命題