完整版直線和雙曲線的位置關(guān)系理

1、2.71直線與雙曲線的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標】1. 能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求雙曲線的方程；2. 能熟練運用幾何性質(zhì)(如范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)解決相關(guān)問題；3. 能夠把直線與雙曲線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題,判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問題【知識網(wǎng)絡(luò)】心在原點,以坐標軸為對稱軸的情況下,焦點在哪條坐標軸上;“定式根據(jù)“形設(shè)雙曲線方程的具體形式;"定量"是指用定義法或待定系數(shù)法確定a,b的值.要點二、雙曲線的幾何性質(zhì)【要點梳理】要點一、雙曲線的定義及其標準方程雙曲線的定義在平面內(nèi),到兩個定點 Fi、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù) 2a (a大于0且

2、2a F1F2 )的動點P的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點F1、F2叫雙曲線的焦點,兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距雙曲線的標準方程：焦點在x軸上的雙曲線的標準方程22號% 1(a 0,b 0) a b說明：焦點是 Fi(-c , 0)、F2(c , 0),其中 c2=a2- b2標準萬程22xyT2 ab1 (a 0,b 0)22土 1(a 0,b 0)圖形Ji . XiXA 1 flj麟/或1r0xfit 性質(zhì)焦點Fi( c,0),F2(c,0)Fi(0, c), F2(0,c)焦距|嚇| 2c|FiF2| 2c(c Ja2 b2)(c J a2 b2)范圍* x a 或£x a , y

3、 Ry ya或 y a, x R對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點(a,0)(0, a)軸實軸長=2a,虛軸長=2b離心率e - (e 1) a漸近線方程yb xaa y Ex焦點在y軸上的雙曲線的標準方程22yx2,2ab1(a 0,b 0)說明：焦點是 Fi(0 , -c)、F2(0 , c),其中 c2=a2- b2要點詮釋：求雙曲線的標準方程應(yīng)從“定形、“定式和“定值三個方面去思考.“定形是指對稱中要點三、直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線的位置關(guān)系22將直線的方程y kx m與雙曲線的方程 今% 1(a 0,b 0)聯(lián)立成方程組,消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或ya b的一元二次方程,其判別式為.

4、22| 2、22.2 22以2(b a k )x 2a mkx a m a b 0假設(shè)b2 a2k2 0,即k.,直線與雙曲線漸近線平行,直線與雙曲線相交于一點；a假設(shè)b2 a0,即 k -, a直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交,有兩個交點;直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切,有一個公共點;1與橢圓生_L 1共焦點,且過點一2,16 2522與雙曲線生Y1641有公共焦點,且過點直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離,無公共點.直線與雙曲線的相交弦2X設(shè)直線y kx m交雙曲線a2v 1 (a 0,b 0)于點 P(xi,yi) ,P2(x2,y2),兩點,那么 b2X2_y_16252b.yJ 2a

5、1的焦點為0 ,【解析】1 -橢圓2X-21,9 a又點一2,何在雙曲線上,IP1P2I .(Xi X2)2 (yi y2)2104 7 1 ,解得a2 9 a25或a2= 18(舍去).=,3 X2)21 (Vi y2)2=.1 k2IXi X2I所求雙曲線方程為同理可得1也1XiX2|yi y2 I (k 0)2 X .雙曲線162y4這里IxX21, I yi y21,的求法通常使用韋達定理,需作以下變形:.設(shè)所求雙曲線方程為:2 X 2 a|Xi X2 I.(Xi X2)2 4X1X2I y1y2 I(yi vN 4y/2又點(3 J2 , 2)在雙曲線上,184一 22a 20 a1

6、,解得a212或30舍去,雙曲線的中點弦問題所求雙曲線方程為12遇到中點弦問題常用“韋達定理或“點差法求解2匕1.8【總結(jié)升華】根據(jù)焦點所在軸的位置合理的設(shè)出方程是求雙曲線方程的根本步驟.22x v在雙曲線 1 a 0,b 0中,以Px0,y°為中點的弦所在直線的斜率ka bb2X02 ；a y【變式1】設(shè)雙曲線焦點在 X軸上,兩條漸近線為涉及弦長的中點問題,常用“點差法設(shè)而不求,將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)化, 同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件,尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化,往往就能事半功倍A. 51y=±x,那么該雙曲線的離心率為解題的主要規(guī)律可以概括為“

7、聯(lián)立方程求交點,韋達定理求弦長,根的分布找范圍,曲線定義不能忘. 要點四、雙曲線的實際應(yīng)用與最值問題對于雙曲線的實際應(yīng)用問題,我們要抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題,即建立數(shù)學(xué)模型,一般要先建立直角坐標系,然后利用雙曲線定義,構(gòu)建參數(shù)a,b,c之間的關(guān)系,得到雙曲線方程,利用方程求解CC.2【答案】C【變式2 (2021雙曲線中的最值問題,根據(jù)轉(zhuǎn)化途徑主要有以下三種:(1)利用定義轉(zhuǎn)化2(A) X2利用雙曲線的幾何性質(zhì)(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值【解析】D.安徽卷以下雙曲線中,焦點在y軸上且漸近線方程為y= + 2x的是(B)2x_42,y 1 (C)2_y_42X 1 (D)【典型例題】類型一：雙曲線的方程與

8、性質(zhì)例1.求以下雙曲線的標準方程.由題意:選項中A, B焦點在X軸,排除2C項的漸近線方程為 X20,即y=± 2x,4應(yīng)選C.類型二：直線與雙曲線的位置關(guān)系例2.雙曲線x2 y2=4,直線l : y=k(x 1),討論直線與雙曲線公共點個數(shù) 【思路點撥】直線與曲線恰有一個交點,即由直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解舉一反三:【變式1】(2021天津)雙曲線1 (a > 0, b>0)的一條漸近線平行于直線l : y = 2x+ 10,雙【解析】聯(lián)立方程組y k(x22x y1) _消去y,并依x項整理得4(1 - k2) - x2+2k2x 一k24=0曲線的一個

9、焦點在直線l上,那么雙曲線的方程為()2222A.x匕1B.x七1520205C.3x2過1D.3x2也12510010025(1) 當(dāng)1 k2=0即k=± 1時,方程可化為2x=5, x=5,方程組只有一組解,故直線與雙曲線只有一個公共2點(實質(zhì)上是直線與漸近線平行時的兩種情況,相交但不相切).(2) 當(dāng) 1 k2乒0 時,即 k乒土 1,此時有 =4 - (4 3k2)假設(shè) 4-3k2>0(k2乒 1),那么k 巫,1( 1,1)1,竺3,方程組有兩解,故直線與雙曲線有兩交點.33I(3) 假設(shè)4 3k2=0( k2豐1),那么k=±務(wù)3 ,方程組有解,故直線與雙

10、曲線有一個公共點(相切的情況).3(4) 假設(shè)4-3k2<0且k2乒1那么k ,類3空3,方程組無解,故直線與雙曲線無交點.43【答案】A【解析】令y = 0,可得x = 5,即焦點坐標為(一5, 0) , . .c= 5,綜上所述,當(dāng)k=±l或k=±炎邑時,直線與雙曲線有一個公共點;32.32 3當(dāng)k£,1(1,1)1,時,直線與雙曲線有兩個公共點;33當(dāng)k£2 3,3233 ,時,直線與雙曲線無公共點.22.雙曲線-x2 匕 1(a > 0, b >0)的一條漸近線平行于直線 l: y = 2x+ 10, a b =2,a.c2 =

11、 a2 + b2, a2 = 5, b2= 20,22雙曲線的方程為1.520應(yīng)選：A.【答案】B【變式2】直線y=x+3與曲線一-x | x|+ - y2=1的交點個數(shù)是()x9A.0B.1C.2D.3【答案】D【總結(jié)升華】此題通過方程組解的個數(shù)來判斷直線與雙曲線交點的個數(shù),具體操作時,運用了重要的數(shù)學(xué)方法一一分類討論,而且是“雙向討論,既要討論首項系數(shù)1 k2是否為0,又要討論 的三種情況,為理清討論的思路,可畫“樹枝圖如圖：例3.過點P(J7,5)與雙曲線2y251有且只有一個公共點的直線有幾條,分別求出它們的方程.【思路點撥】顯然采用過p點的直線方程與雙曲線方程22x _y_7251聯(lián)

12、立的方法,但要注意直線斜率不存在的情況要先判斷.【解析】假設(shè)直線的斜率不存在時,那么假設(shè)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為x 4j,此時僅有一個交點(J7,0),滿足條件;y 5 k(x V7)那么 y kx 5 k/7 ,7 g 525)2 125X2 7(kX 5 5) 7 25,2 5設(shè)萬程(*)的解為X,x2,那么有x1 x2 ,為危 -3 3得,(25 7k2)x2 7 2kx(5 k寸)(5 kV7)2 7 25 0,d V2 | x1 x2 | i/2J(x1 x2)4x1x2 V2J -3*脖.5 ；77時,方程無解,不滿足條件;(2)方法一：假設(shè)該直線的斜率不存在時與雙曲線無交

13、點,那么設(shè)直線的方程為y kx 1,它被雙曲線截得的弦為AB對應(yīng)的中點為P(x, y),當(dāng)k7-時,2 5j7x 10 75方程有一解,滿足條件；7當(dāng) k2 距時,令 14k(5 k77)2 4(25 7k2)(5 k?)2 165 0 ,化簡得：k無解,所以不滿 7足條件；所以滿足條件的直線有兩條X 77和y 匝 x 10.設(shè)方程且x1【總結(jié)升華】直線與雙曲線有一個公共點時可能相切也可能相交,注意直線的特殊位置和所過的特殊點舉一反三：2 x 【變式】雙曲線-2 ay222 1的右焦點到直線 x-y-1=0的距離為 ,且2a 3c.求此雙曲線的方程;(2)設(shè)直線y=kx+m(護0)與雙曲線交于

14、不同兩點值范圍.)2例4. (1)求直線y x 1被雙曲線x2 42(2)求過定點(0,1)的直線被雙曲線x2 匕4G D,假設(shè)點A坐標為(0 , -b),且|AC|=|AD|,求實數(shù)k取1截得的弦長；1截得的弦中點軌跡方程.【思路點撥】(1) 題為直線與雙曲線的弦長問題,可以考慮弦長公式,結(jié)合韋達定理進行求解.(2) 題涉及到直線被雙曲線截得弦的中點問題,可采用點差法或中點坐標公式,運算會更為簡便2解：由xy立1 I 2224 礙 4x (x 1)4 0 得 3x 2x 5 0 (*)kx2 y4*)1一22礙(4 k )x1的解為x,x2,那么2k2kx 50 (*)4 k220(4 k2

15、) 0. .16k2 80,| k| J5 ,x22,入乂24 k4k2'1k1c(x x2)2,y二(y24 k21y2) - (x1 x2)2k2得4x20( y 4 或 y 0).設(shè)弦的兩個端點坐標為 A(x1, y1), B(x2, y2),弦中點為P(x,y),那么4x122 y4x222 y2yy2xx22即4x y方法二:24礙：4(x14y y24(x x2)x2)(x1x?) (Y14x,y 1y 0 (圖象的一局部)【總結(jié)升華】(1)弦長公式| AB | Jik2|x1(2)注意上例中有關(guān)中點弦問題的兩種處理方法舉一反三：y2)(y "x21 J1

16、63; | yy21 ；【變式】垂直于直線 x 2y 3 0的直線l被雙曲線2- 七 1截得的弦長為 ,求直線l的方程2053【答案】y 2x 10類型四：雙曲線的綜合問題2例5.設(shè)P是雙曲線x2-匕=1的右支上的動點,F為雙曲線的右焦點,A(3,1),那么|PA +|PF的最3小值為.【答案】.26 2【解析】設(shè)雙曲線的另一個焦點為F',那么有F' ( 2, 0) , F(2,0),連結(jié)AF'交雙曲線的右支于點P,連結(jié) PF,貝U | PF' | | PF| = 2a= 2.于是(| PA + | PF) min= |PlA| + | PF|=| PiAI +

17、 (| PF' | 2) = |AF' | 2= 26 2.【總結(jié)升華】雙曲線的定義是解決有關(guān)最值問題的重要依據(jù)舉一反三：【變式1】設(shè)A(3,2), F為雙曲線x22=1的右焦點,3在雙曲線上求一點P,使得|PA| 11 PF |取得最小值時,求P點的坐標.【答案】P點的坐標為重1 23 ,那么 2c 4,c 2;2aDF15 32,a【穩(wěn)固練習(xí)】、選擇題1.3的漸近線方程是雙曲線3x2c1,故離心率一a【變式2】一條斜率為1的直線l與離心率為2x2a2土 1(a 0,b 0)交于P、Q兩點,直線l b2uuu uur uuu uur與y軸交于R點,且OP OQ -3,PR 3

18、RQ,求直線和雙曲線方程.【答案】直線方程 y x 1 ; 2雙曲線方程x2 1222x y【變式3】(2021年 山東文)雙曲線 E： -y - =1 (a>0, b>0).矩形ABCD勺四個頂點在 E上,A a bCD的中點為 E的兩個焦點,且 2|AB=3| BQ,貝U E的離心率是 .【解析】A.y3xB. y - x3C . y7"3xD.y2.橢圓22xy/24m221與雙曲線當(dāng)Mm221有相同的焦點,貝Um的值是()A.土 1B . 1C. - 1D不存在(2021新課標口文改編) 雙曲線過點3.,且漸近線方程為3 x32A.y2 14B.y2 1C.D.依

19、題意,不妨設(shè) AB 6, AD 4作出圖像如以下列圖所示4. (2021 湖北)將離心率為長度,得到離心率為 e2的雙曲線Q,A對任意的a, b, e1 > e2B.當(dāng)e1的雙曲線那么0a > b 時,G的實半軸長a和虛半軸長e1 > e2；當(dāng) av b 時,ev e2C.對任意的 a, b, e1< e2 Dx,那么該雙曲線的標準方程為2b (a豐b)同時增加m(m> 0)個單位.當(dāng) a>b 時,e1<e2；當(dāng) avb 時,e>e25. 雙曲線的兩個焦點為F(- 扼,0)、F2(J5 , 0), P是此雙曲線上的一點,且PFPR,| PF| |

20、 PE| = 2,那么該雙曲線的方程是()x2 y2x2y2x222 y2A. 1 B. 1 C. y 1D . x%16. 雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2,在左支上過F1的弦AB的長為5,假設(shè)2a = 8,那么 ABF的周長是()B. 18A. 16C. 21D. 26二、填空題227.雙曲線匕124率的取值范圍是.1的右焦點為F,假設(shè)過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,那么此直線斜8. (2021葫蘆島二模)雙曲線2x2a2J 1(a 0,b 0)的一條漸近線經(jīng)過點(3, 6),那么該漸近線 b與圓(x 2)2+y2=16相交所得的弦長為 .22x y 9.雙曲線 -2 &am

21、p; 1 (a>0, b>0)的左、右焦點分別是Fi, E,點P在雙曲線右支上,且|PF| =a b4| PF|,那么此雙曲線離心率 e的最大值為 .10. 設(shè)一個圓的圓心在雙曲線 匕1的上支上,且恰好經(jīng)過雙曲線的上頂點和上焦點,那么原點 O到該916圓圓心的距離是.三、解做題11. 雙曲線的中央在原點,焦點為F1, F2 (0,),且離心率e J2,求雙曲線的標準方程及其漸近線.212. 設(shè)雙曲線C:與 y21(a 0)與直線l : x y 1相交于兩個不同的點 A、B;求雙曲線C的離心率ae的取值范圍：2213. (2021肇慶三模)設(shè)雙曲線 與 與=1 (0<a<

22、b)的半焦距為c,直線l過(a,0) , (0,b)兩點.原a bf-點到直線l的距離為 號5求雙曲線的離心率.2214. 如下列圖,F1, F2為雙曲線2 -y2 1 ( a>0, b>0)的兩個焦點, 過F2作垂直于x軸的直線交雙曲a b線于點P,且Z PFF2= 30.,求雙曲線的漸近線方程.【答案與解析】【解析】：將雙曲線化為2. 【答案】:【解析】:對橢圓來說,對雙曲線來說,A驗證法：當(dāng)n±l時,n = 1, a2 = 4, b2= 1, c2= 3.a?= 1, b?= 2, c?= 3,故當(dāng)n + l時,它們有相同的焦點.直接法：顯然雙曲線焦點在 x軸上,故

23、4-希=希+ 2.- n= 1,即 n 土 1.3. 【答案】： A【解析】：根據(jù)雙曲線漸近方程為 y2y33x2 ；1-x,可設(shè)雙曲線的方程為22m,把(4,/3)代入 *y242215.雙曲線 E：與& 1(a >0, b> 0)的兩條漸近線分別為l1： y = 2x, l 2： y = 2x. a b求雙曲線E的離心率； 如圖,O為坐標原點,動直線l分別交直線l1, l2于A B兩點(A , B分別在第一、第四象限),且 OAB的面 積恒為8,試探究：是否存在總與直線 l有且只有一個公共點的雙曲線 E?假設(shè)存在,求出雙曲線 E的方程,假設(shè)不 存在,說明理由.得m=1.

24、所以雙曲線的方程為2x27 y1 ,應(yīng)選A.4.【答案】:D【解析】依題意,e1a2 b2J1 (a)念-.(a m)2 (b m)2aa m由于2ab mab bm ab ama ma(am)m(b a),由于 nt>0, a> 0, b>0, a(a m)1 (b %a m所以當(dāng)a>b時,0b 1,0b m1,bb m b 2,()(b)2,所以 e1<e2；aa maa m aam當(dāng)av b時,-1,b頊1,b而一b m,所以(-)2(虹歸)2,所以e1>e2.aamaa maam所以當(dāng) a>b 時,eiv e2；當(dāng) av b 時,ei>e

25、2.應(yīng)選D.5. 【答案】: C【解析】：-c=啟,| PF| 2+ | PF| 2= | F1F212= 4c2,. (| PF| -| PF2|) 2+ 2| PF| - I PF| = 4c2,.-4a2= 4c2 4 = 16, .a2= 4, b2= 1.6. 【答案】： D【解析】：|AR| |AF| = 2a = 8, |BR| | BF| = 2a= 8,.I AR| +| BFd - (| AF + | BF|) = 16,I AFa| +| BF=| = 16+ 5= 21 ,ABF的周長為 | AR| + | BF| + | AB = 21 + 5= 26.【解析】：由得

26、雙曲線的上頂點為代入雙曲線方程得169x02< 匕 21 ,所以x°2407.【答案】：、3 ,3,33_ . .3【解析】：由題意知F(4,0),雙曲線的兩條漸近線方程為y=± Y3x,當(dāng)過點F的直線與漸近線平行時,3滿足與右支只有一個交點,畫出圖形,通過圖形可知該直線斜率的取值范圍是?,三332 X 【解析】：雙曲線-2 a2y 1(a 0,b 0)的一條漸近線經(jīng)過點(3, 6), by=2x,圓(x 2)2+y2=16的圓心與半徑分別為(2, 0),可得漸近線方程為：該漸近線與圓(x - 2) 2+y2=16相交所得的弦長為:4,3 5A(0,3),上焦點為F(

27、0,5),設(shè)圓心為Rx.,y.),那么yo= =4.27 16227 163-,故 | Pq - y° = J1611.【解析】：由條件知焦點在 y軸上,c 2/2 , - J2；可求a 2,b Jc2 a2a的方程為 匕 jL 1,漸近線方程為y x.4412.【解析】：由C與l相交于兩個不同的點,故知方程組1,2 ；所以雙曲線x y 1.有兩個不同的實數(shù)解.消去y并整理得(1 a2) x2+2a2x 2a2=0.所以1 a20.4a4 8a2 (1a2)0.雙曲線的離心率.1 a2- ne J2 1. Q 0 a J 2旦 a1,a . ae曲且e厄2即離心率e勺取值范圍為(一6 ,、."2)2,).22 42 0)2 學(xué).,22 12513. 【解析】：由,l的方程為ay+bx-ab=0,原點到l的距離為亨c ,那么有j ：b 222 . 2一 一 2又c=a+b, . 4ab V3c,兩邊平萬,得3c,416a2(c2-a2)=3c4.故答案為：逐.59.【答案】:53【解析】：由 |PF| -| P| = 2a 及 |PF| = 4| PF2| 得:兩邊同除以a4并整理得3e4-16e2+16=0, - e2=4