初一數(shù)學(xué)本講主要內(nèi)容

1、初一數(shù)學(xué)本講主要內(nèi)容第五章 三角形 565.探索三角形全等的條件 6.作三角形二.學(xué)習(xí)指導(dǎo)5.探索三角形全等的條件我們知道 兩個(gè)三角形能夠重合,則這兩個(gè)三角形是全等的三角形. 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等 .換言之,兩個(gè)三角形也只有 對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等 ,才能重合.我們可以這樣說,兩個(gè)三角 形全等的條件是三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,三條邊對(duì)應(yīng)相等.當(dāng)我們判斷兩個(gè)三角形是否全等時(shí),是不是一 定要研究這六個(gè)條件呢?是否缺一不可呢?我們知道, 三角形的內(nèi)角和等于 180°,那么三角形中, 只要知道兩個(gè)角,就可得到第三個(gè)角,故全等的條件中可以減少一個(gè)角.這說明三角形全等的六個(gè) 條件是可以減少一

2、部分的.我們下面就來研究哪些條件可以減少.(1我們用三條線段,如長(zhǎng)分別為 4cm , 5 cm, 6 cm的三條線段,可以畫出一個(gè)三角形.再 畫一個(gè),我們可以看出,兩次畫的三角形是全等的.這樣我們可以得到結(jié)論:三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 .這個(gè)結(jié)論可以簡(jiǎn)寫為“ 邊邊邊 ”或者“ SSS ” . 由這個(gè)結(jié)論可知,只要一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)度確定了, 這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定了.這個(gè)性質(zhì)叫做 三角形的穩(wěn)定性 .三角形的穩(wěn)定性在生活中有很多應(yīng)用的例子,如電線桿 上的橫擔(dān),就用兩個(gè)斜撐加固(如圖 .如果已知一個(gè)三角形的三個(gè)角,畫出的三角形就不一定全等.因?yàn)檫@樣的兩個(gè)三角形的形狀是 相同的,但大

3、小不一定相等.(2我們知道一個(gè)三角形的兩個(gè)角和一條邊,來畫一個(gè)三角形.這里有兩種情況,先考慮這 邊是兩個(gè)角所夾的邊.這樣可以畫出三角形,并且,如果再畫一個(gè),定與前一個(gè)全等.這樣我們可 以得到結(jié)論:兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 . 這個(gè)結(jié)論可以簡(jiǎn)寫為“ 角邊角 ”或者“ ASA ” .再來考慮一邊是其中一個(gè)角的對(duì)邊的情況,由于 三角形的內(nèi)角和等于 180°,第三個(gè)角也對(duì)應(yīng) 相等,即問題變成了上一種情況,于是我們可以得到結(jié)論:兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 . 這個(gè)結(jié)論可以簡(jiǎn)寫為“ 角角邊 ”或者“ AAS ” .(3如果我們知道兩條邊和一個(gè)角,來畫三角形.這也

4、有兩種情況,一是條件中的角是兩邊 的夾角.這樣可以畫出三角形,并且,如果再畫一個(gè),定與前一個(gè)全等.這樣我們可以得到結(jié)論:兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 . 這個(gè)結(jié)論可以簡(jiǎn)寫為“ 邊角邊 ”或者“ SAS ” . 但是, 如果條件中的角是一條邊的對(duì)角, 情況就不一樣了. 這樣可以畫出兩個(gè)不全等的三角形,如圖. AB =A 1B 1, AC =A 1C 1, B = B 1, 但 ABC 與 A 1B 1C 1不全等.即 兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等 的兩個(gè)三角形不一定全等. 6.作三角形我們已經(jīng)學(xué)會(huì)用尺規(guī)作一條線段等于已知線段、作一個(gè)角等于已知角,邊和角是三角形的基本B1B 11元素,

5、那么我們就能用尺規(guī)作一個(gè)三角形和已知三角形全等.例如,已知:線段 a , c , .求作: ABC ,使 BC = a, AB =c , ABC = . 作法:1. 作一條線段 BC = a; 2. 以 B 為頂點(diǎn), BC 為一邊作 DBC = ; 3. 在射線 BD 上截取線段 BA = c;4. 連結(jié) AC . ABC 就是所求作的三角形. (如下圖 三.例題評(píng)析 例 1如圖, AC 、 BD 相交于 O , AB =CD , AC =BD ,請(qǐng)說明 A = D 分析:要說明可以先說明它們所在的三角形 ABC 和 DCB 全等.解:連結(jié) BC ,在 ABC 和 DCB 中,因?yàn)?AB =D

6、C , AC =DB , BC =CB , 所以 ABC DCB (SSS.所以 A = D (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 .說明:要說明也可先說明 ABO 和 DCO 全等.但本題中要說明這兩個(gè)三角形全等的條件不 夠.例 2如圖, AB CD , AD BC ,請(qǐng)說明 AB =CD .解:連結(jié) BD ,因?yàn)?AB CD ,所以 ABD = CDB ; 因?yàn)?AD BC ,所以 ADB = CBD , 又 BD =DB ,所以 ABD CDB (ASA .所以 AB =CD (全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 .說明:這兩個(gè)例題都是利用全等三角形來說明線段相等或角相等,都要在已知的圖形中尋找或 構(gòu)造全等三角

7、形. 例 3 如圖,在 ABC 中, M 在 BC 上,D 在 AM 上, AB =AC , DB =DC ,請(qǐng)說明 MB =MC . 分析:要說明 MB =MC ,可以說明 ABM ACM ,但條件不夠,于是要利用已有的條件來推出需要的條件.解:在 ABD 和 ACD 中,因?yàn)?AB =AC , DB =DC , AD =AD , 所以 ABD ACD (SSS .4312所以 DAB = DAC (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 .在 ABM 和 ACM 中,因?yàn)?AB =AC , MAB = MAC , AM =AM , 所以 ABM ACM (SAS . 所以 MB =MC (全等三角形對(duì)應(yīng)邊

8、相等 . 例 4 已知:線段 a , , .求作: ABC ,使 BC = a, B = , C = . 作法:1.作線段 BC = a;2.以 B 為頂點(diǎn), BC 為一邊作 CBD = ;3.以 C 為頂點(diǎn), CB 為一邊作 BCE = , CE 與 BD 交于點(diǎn) A . ABC 就是所求的三角形. 四.習(xí)題 1. (1三個(gè)內(nèi)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否全等? (2三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否全等?(3有兩邊及這兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否全等? (4有兩角及這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否全等? (5有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否全等? (6有兩角及一邊對(duì)應(yīng)相等的兩

9、個(gè)三角形是否全等? 2.什么是三角形的穩(wěn)定性?3.如圖, AB =AD , BC =CD ,那么 ABC 和 ADC 全等嗎?為什么? 4.如圖, AB =CD , BC =AD ,那么 A = C 嗎?為什么? 4.5.如圖, A 、 B 在 CD 上, AD =BC , AE =BF , EC =DF ,那么是否有 DF EC ?為什么?6.如圖, E = C , AB=AD, 1= 2,那么, ABC 和 ADE 全等嗎?為什么? B C B 321BD B 5. 6.7.如圖, AB =AC , AD =AE ,那么 ABD 和 ACE 全等嗎?為什么?8.如圖, AB CD , AB

10、 =CD ,那么 ABC 和 CDA 全等嗎?為什么? 9.如圖, D 為 BC 的中點(diǎn), AD BC ,那么 AB 與 AC 相等嗎?為什么?10.如圖,已知 C 是 AB 的中點(diǎn), CD =CE ,還需加上什么條件,就可以得到 BCD 和 ACE 全等? 11.已知:線段 a , .求作: (1 ABC ,使 A = , AB =a , AC =2a .(2 ABC ,使 A = ,AB =a , B =2 .12.已知:線段 a 和 c和 c . 13.已知:線段 a , . 求作:一個(gè)直角三角形,使它的一個(gè)銳角等于 ,一條直角邊等于 a . E五.參考答案1. (1不一定; (2全等; (3全等; (4全等; (5全等; (6不一定.2.一個(gè)三角形的三邊確定后,這個(gè)三角形的形狀、大小就確定了.5.由條件可得 AEC BDF ,則 C = D ,即得.6. 1= 2, 1+ DAC = 2+ DAC ,可用 AAS , ABC 和 AD