數(shù)列通項公式的常見求法

1、數(shù)列通項公式的常見求法湖北省黃岡市團風中學胡建平求通項公式是學習數(shù)列時的一個難點.由于求通項公式時滲透多種數(shù)學思想方法,因此求 解過程中往往顯得方法多、靈活度大、技巧性強.數(shù)列問題對水平要求較高,特別是運算水平、 歸納猜想水平、轉化水平、邏輯推理水平更為突出.近年的高考中出現(xiàn)了給出數(shù)列的解析式 包 括遞推關系式和非遞推關系式求通項公式的問題.對于這類問題學生感到困難較大.本人以例子介紹這類問題求通項公式的初等方法和技巧,以供教學參考一. 歸納法數(shù)列前假設干項,求該數(shù)列的通項時,觀察數(shù)列中各項與其序號間的關系,分解各項中 的變化局部與不變局部,再探索各項中變化局部與序號間的關系尋找規(guī)律,從而歸納

2、出構成規(guī) 律,寫出通項公式.一些數(shù)列給出前n項便可歸納出通項公式, 有的數(shù)列觀察前幾項便可分析出 是等差數(shù)列或等比數(shù)列,由等差、等比數(shù)列的通項公式,直接寫出通項公式.例1數(shù)列 1, 1, - , 13, - , 61- 寫出此數(shù)列的一個通項公式.2 48 1632 64n_Q解觀察數(shù)列前假設干項可得通項公式為 an =-1n-一32n注意：用不完全歸納法,只從數(shù)列的有限項來歸納數(shù)列所有項的通項公式是不一定可靠的,如2, 4, 8,.可歸納成或an =n2的懺12同的數(shù)列an =2n便不同a4例2定義“等和數(shù)列：在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列,這

3、個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和數(shù)列an是等和數(shù)列,且a1 = 2,公和為5,那么a18的值為,這個數(shù)列白前n項和Sn的計算公式為 備題1數(shù)列l(wèi)og2an1 nC N*為等差數(shù)列,且 a1=3, a2=5,那么lim ,111、/、n_ + +=a2 - aa3 -a?a anA. 2B. - C. 1D .2212 數(shù)列an中,a =b b為任思正數(shù),an+= n = 1,2,3,an 1能使an = b的n的數(shù)值是A. 14B. 15C. 16第1行1第2行23第3行45672倍：3數(shù)列an中,a1 =1,an(n >2),那么 lim nan等于n ：,4一個整整數(shù)表如下表中下一行中的數(shù)的個

4、數(shù)是上一行中的數(shù)的個數(shù)的那么第9行中的第4個數(shù)是A. 132B. 255C. 259( )D. 2603c5數(shù)列an滿足a1 =1, an書二一1 an求數(shù)列an的通項公式.6 數(shù)列an中,a =1,a2 =2,n wN *, n > 2 ,有 an+ =3an 2an,那么 a6公式法數(shù)列的前n項和求通項時,通常用公式an(n =1)Sn - Sn(n - 2)用此公式時要注意：結論有兩種可能,一種是 一即a1和an合為一個表達式.“一分為二,即分段式；另一種是“合二為例1數(shù)列an的前n和Sn滿足10g2Sn +1 =n+1,求此數(shù)列的通項公式.解由條件可得Sn=2n+ -1當 n=1

5、 時a1 =3,當 n 22 時 an = SnSnj=2n41 2n =2n所以an32n(n =1)(n -2)例2設數(shù)列an的前n 項和為 Sn, Sn=a1(3 -1)對于所有n > 1,且34=54,那么ai的數(shù)值是-4a1(3 -1),S3 =3a1 (3 -1)a4 = S4 - S3 =43a1(3 -1)a1(3 -1)-33)2e二2備題1設An為數(shù)列an的前n項的和,且An= §(an -1),求數(shù)列an的通項22設Sn為數(shù)列an的前n項的和,Sn=3n+2 ,求數(shù)列an的通項三.由遞推公式求數(shù)列的通項由遞推公式求數(shù)列的通項的問題是高考和競賽的熱點和難點.

6、由于遞推關系的種類繁多,多數(shù)情況也沒有求通項共識的現(xiàn)成方法,根本思想仍是通過變形、代換等手段,把問 題轉化為等差、等比數(shù)列的通項公式.由遞推關系求通項公式的常用方法有：累差迭加法 累商迭乘法,迭代法,換元法,求解方程法等等.1、累差迭加法假設數(shù)列an滿足an書=an +f (n)的遞推式,其中f(n)又是等差數(shù)列或等比數(shù)列,即當所給 數(shù)列每依次相鄰兩項之間的差組成等差或等比數(shù)列時,那么可用累差迭加法求通項.例 數(shù)列6, 9, 14, 21, 30,求此數(shù)列的通項.國牛 ,a2ai= 3, a§a25,a4一a§=7, an a=2n1,各式相力口得 an -a1 =3 +5

7、+7 卡+(2n1)an =n2+5 (nWN)(備題)1數(shù)列an滿足a =1, an =3n,+an(n >2),求此數(shù)列的通項2、累商迭乘法假設數(shù)列an能寫成an =anf(n) (n之2)的形式,即當一個數(shù)列每依次相鄰兩項之商構成一 個等比數(shù)列時,那么可由 an=an二f(n), an,=an_2 f(n1), an_2 =anJ3 f(n2), a2 =a1 f (2)連乘求得通項公式.例、數(shù)列an滿足a=1, Sn =(n；)an , (nWN),求an的通項公式.解2Sn =(n + 1)an (nWN),2Sn 4 =n4j(n -2, n三 N)兩式相減得 2 an =(

8、n,1)an -nan 4,.a33_a± _4a22, a33,于是有空=2, a11an nandn-1(n -2, n三 N)anan 1(n_2, n N)以上各式相乘,得an =na1 =n, (n _2,nN),又 a1=1,an= n (n C N)(備題)1數(shù)列an滿足a1 =1, an =2n,an,求an3、迭代法假設數(shù)列an滿足an = f (an/),循環(huán)運用遞推關系反復代換,減少項,推導歸納出內在聯(lián)系,那么可通過迭代的方法求得通項公式.1例、 數(shù)列an滿足a1 =1, an =-an +1 (n >2),求通項公式.11 111111解an-an41

9、=2(3an41) 二 / anq 1 鼻二5加 &(1 "2)=1、1(1 - 2n). F 22r)=T - n 1n2 21 -2(備題)1 數(shù)列an,滿足 ai=1 , an=ai+2a2+3a3+- - +(n 1)an 1(n>2),那么an的通項1, n=1,an= ,n n 2k_2 一 2假設數(shù)列an中,a =1且an = an ( n是正整數(shù)),那么數(shù)列的通項 3數(shù)列an,滿足a +2a2 +3a3 + nan = n(n +1)(n +2),那么數(shù)列的通項4、換元法在求解某些數(shù)列問題時,根據(jù)常規(guī)的思維方式去尋求解題途徑往往比較困難,這時,如果 我們

10、假設能根據(jù)條件中等式的特點構造一個新的數(shù)列,或通過引進輔助數(shù)列能轉化成等 差或等比數(shù)列的形式,就能使問題迎刃而解.例 1.數(shù)列中,a1=0, a2 =2 ,且 * *an=2(an+1 fn 之 2),求 an解：由得* H 一1二an 一!二, 2 " - 2設 bn = an 由一an那么 bn = bn* 2 gp bn - bn- 2二數(shù)列名J是公差d=2、首項打=a2 一優(yōu)=2的等差數(shù)列.bn =2 n -1 2 =2n.當 n 22 時,an 一an 一 anan- an/a2 a , a1bnqbn 1b2b1 - a1n-12 2n-1 0nn-1又丁 a1 =0也適

11、合上式,an點評：此題通過設bn 二%十一為,構造了一個新的等差數(shù)列'J順利求出了 GJ的通項 公式.例2.數(shù)列1aJ滿足a1 =1, an由=2an +1 ,求QJ的通項公式.解：；an 1 - 2an1an 1 , 1 =2(an 1) an 1由 a1 =1 ,故 & +1 #0 ,易知 an +1.0所以,數(shù)列“n +1是以首項a1 +1 = 2 ,公比為2的比數(shù)列.an+1=2 2'=2n 即 為=2"一1點評：本例通過將等式變形,根據(jù) 明書與前面系數(shù)的數(shù)量關系(2倍),構造了等 比數(shù)列烝*1 L從而順利求出了 an +1 ,也就求出了 %.一、,i

12、a .1 s 工八 a1=二,a2=2(備題)1在數(shù)列6n中,8n為數(shù)列的前n項之和, 2 ,并且Sn*-31十與二十仁項至2,nWN ),求Q的通項公式.a O o - an :a1 - 2,an 1 一 -2在數(shù)列3n,中,43 ,求an3 數(shù)列的遞推關系 為前也2禺+禺=,4且a1=1,a 2=3,求通項公式4 a1=2,an不為零an由an = 2an由,an (n w N),求 an.5 在數(shù)列an中,a1 =1an* =3 an -1,求 an.1 一.6在數(shù)列an中,a1 =-,且當n >1時,有an-an 4anan=0 ,求an55、求解方程法假設數(shù)列an滿足方程f(an)=0時,可通過解方程的思想方法求得通項公式.例、函數(shù)f(x)=2x2&qu