一階系統(tǒng)54425

1、3-3 一階系統(tǒng)圖35所示系統(tǒng)。其輸入一輸出關(guān)系為C(s) 11Rs) is 1 tTIK(3-3)1式中T ,因為方程(3-3)對應的微分方程的最高階次是1,K故稱一階系統(tǒng)。實際上，這個系統(tǒng)是一個非周期環(huán)節(jié)，T為系統(tǒng)的時間常數(shù)。一、一階系統(tǒng)的單位階躍響應因為單位階躍函數(shù)的拉氏變換為竺L迪芒町rrn町圖3-5一階控制系統(tǒng)1s，將 R(S)1/s代入方程(3-3), 得C(s) Ts1is將C(s)展開成部分分式，有1C(s)-S(3-4)對方程(3-4)進行拉氏反變換，并用h(t)表示階躍響應C(t)，有h(t) 1 e(3-5)由方程(3-5)可以看出，輸出量 h(t)的初始值等于零，而最終

2、將趨于 1。常數(shù)項“ 1”是由1/s反變換得到的，顯然，該分量隨時間變化的規(guī)律和外作用相似(本例為相同), 由于它在穩(wěn)態(tài)過程中仍起作用，故稱為穩(wěn) 態(tài)分量(穩(wěn)態(tài)響應)。方程(3-5)中第二項由 1/( s 1)反變換得到，它隨時間變化的規(guī)律 取決于傳遞函數(shù)1/(Ts 1)的極點，即系統(tǒng)特 征方程D(s) Ts 10的根(1/T)在復平面中的位置，若根處在復平面的左半平面 如圖3 6(a)所示，則隨著時間t的增加，叮它將逐漸衰減,最后趨于零(如圖3 6(b)所示)，稱為瞬態(tài)響應?？梢姡A躍響應曲線具有非振蕩特性，故也稱為非周期響應。顯然，這是一條指數(shù)響應曲線，其初始斜率等于1/T,即dh詁t1 1

3、eT|t(3-6) T時，輸出量就能達到穩(wěn)態(tài)值。1實際上從方程(3-6 )可以看出，響應曲線 h(t)的斜率是不斷下降的，從 t 0時的一一直下降 T到t時的零值。因此，當t T時，指數(shù)響應曲線將從零上升到穩(wěn)態(tài)值的 ;當t 2T時，響應曲線將上升到穩(wěn)態(tài)值的 ;當t 3T , 4T和5T時，響應曲線分別達到穩(wěn)態(tài)值的 95%, % 和。由于一階系統(tǒng)的階躍響應沒有超調(diào)量， 所以其性能指標主要是調(diào)節(jié)時間 ts ,它表征系統(tǒng) 過渡過程進行的快慢。由于 t 3T時，輸出響應已達到穩(wěn)態(tài)值的 95%； t=4T時，輸出達到 穩(wěn)態(tài)值的，故一般取這就是說，假如系統(tǒng)始終保持初始響應速度不變,那么當tts 3T (s

4、),(對應 =5%的誤差帶)ts 4T(s),(對應 =2%的誤差帶)顯然，時間常數(shù) T是表征系統(tǒng)響應特性的唯一參數(shù)，系統(tǒng)時間常數(shù)越小，輸出響應上升得越快，同時系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間 ts也越小，響應過程的快速性也越好。由圖3-6(b)可以看出，圖3 -5所示系統(tǒng)的單位階躍響應在穩(wěn)態(tài)時與輸入量之間沒有誤 差，即卩ess 1 h( )110假設，現(xiàn)有一個單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s) 一1，試自行推導其單位2Ts 1階躍響應，并與圖3-5系統(tǒng)比較其異同。 二、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應因為單位斜坡輸入的拉氏變換為R(s)S則由式(3-3)可得系統(tǒng)輸出量的拉氏變換式C(s) ts將上式展開成部分分式1

5、C(s)s進行拉氏反變換，并用符號Ct(t)來表示單位斜坡響應，即ItCt(t) t T Te TT2Ts 1(3-7)當系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù)r(t)1(t)(即為單位斜坡函數(shù)的導數(shù))時，系統(tǒng)輸出量h(t)式中(t T)為響應的穩(wěn)態(tài)分量； Te T為響應的瞬態(tài)分量，當時間 t趨于無窮時衰減到零。 由斜坡響應曲線(如圖3-7所示)可見，一階系統(tǒng)的單位斜坡響應在穩(wěn)態(tài)時與輸入信號之 間是有差的，其差值為Itess timt Ct (t)timt (t T Te T ) T顯然這個差值并不是指系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時輸出、輸入在速度上的差值， 而是由于輸出滯后一個時間T ,使系統(tǒng)存在一個位置上的跟蹤誤差。其數(shù)

6、值與時間常數(shù)T相等。因此，時間常數(shù) T越C.36E圖3-7一階系繞的單位斜坡響應圖3-S一階系統(tǒng)的脈沖響應小，則響應越快，跟蹤誤差越小，輸出量相對輸入信號的滯后時間也越短。三、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應當輸入量為單位脈沖函數(shù)時，其拉氏變換式為R(s) 1 。根據(jù)方程(3-3)可得系統(tǒng)輸出量的拉氏變換式C(s)1Ts 1對上式進行拉氏反變換，并用符號k(t)表示系統(tǒng)的響應，則有k(t) eTT(3-8)方程(3-8)的響應曲線如圖3-8所示。顯然，響應是一條單調(diào)下降的指數(shù)曲線。輸出量的初始值為出量趨于零，所以對應的穩(wěn)態(tài)分量為零。時間常數(shù) 小，響應的持續(xù)時間越短，快速性也越好。四、線性定常系統(tǒng)的重要特性1,當時間趨于無窮時輸TT同樣反映了響應過程的快速性，T越上述分析表明，當系統(tǒng)的輸入量為單位斜坡函數(shù)r(t) t 1(t)時，系統(tǒng)輸出量Ct(t)為tCt(t) t T TeTth(t)ct(t)1 e最后，當輸入為單位脈沖函數(shù)(即單位階躍函數(shù)的導數(shù))時，系統(tǒng)輸出量k(t)為k(t) h(t) *e系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應，等比較系統(tǒng)對三種輸入信號的響應，可以清楚地看出，于系統(tǒng)對該輸入