通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)與、等差等比判斷證明的求法精品小結(jié)強(qiáng)烈推薦

1、數(shù)列通項(xiàng)公式、求和、判斷或證明的常見方法A數(shù)列通項(xiàng)公式的求法一、等差數(shù)列公式、等比數(shù)列公式例1、（2011遼寧理）已知等差數(shù)列an滿足a2=0，a6+a8=-10 （I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 例2.（2011重慶理）設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，。 （）求的通項(xiàng)公式解：I）設(shè)q為等比數(shù)列的公比，則由，即，解得（舍去），因此所以的通項(xiàng)為（2）定義法：先形成等差或等比，再代入公式例3首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列，例4 解： 是以首項(xiàng)為2公差為2的等差數(shù)列， 二、形如若已知數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式 求解。一般先求出a1=S

2、1，若計(jì)算出的中當(dāng)n=1適合時(shí)可以合并為一個(gè)關(guān)系式，若不適合則分段表達(dá)通項(xiàng)公式。例5、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式。解：，當(dāng)時(shí) 由于不適合于此等式 。 三累加法形如：例6、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（1）由題知：，. 將以上n-1個(gè)式累加 四累乘法形如“已知a1，且=f（n）（f（n）為可求積的數(shù)列）”的形式例7、在數(shù)列中， =1, (n+1)·=n·，求的表達(dá)式。解：由(n+1)·=n·得，=··= 所以五、構(gòu)造：1、待定系數(shù)構(gòu)造形如 (k、b為常數(shù)）型，可化為的形式an +=k(an-1 +).重新構(gòu)造出一個(gè)以k為

3、公比的等比數(shù)列，然后通過化簡(jiǎn)用待定系數(shù)法求，然后再求。例8公差為3首項(xiàng)為3數(shù)列為等比數(shù)列，例9數(shù)列為等比數(shù)列，公差為4首項(xiàng)為4，2、倒數(shù)法一般地形如、等形式的遞推數(shù)列可以用倒數(shù)法將其變形為我們熟悉的形式來求通項(xiàng)公式。例10.已知數(shù)列滿足：，求的通項(xiàng)公式。 解：原式兩邊取倒數(shù)得：，首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列 即例11、（北京龍門育才學(xué)校2011屆高三上學(xué)期第三次月考）在數(shù)列中，并且對(duì)任意都有成立，令求數(shù)列的通項(xiàng)公式 ；解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)時(shí)，由 ，等式兩邊取倒數(shù)得：所以所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為3、對(duì)數(shù)法當(dāng)數(shù)列和的遞推關(guān)系涉及到高次時(shí)，形如：anp =

4、man-1q（其中m、p、q為常數(shù)）等，我們一般采用對(duì)數(shù)法，等式兩邊分別取對(duì)數(shù)，進(jìn)行降次，再重新構(gòu)造數(shù)列進(jìn)行求解。例12、（2006山東）已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，證明數(shù)列l(wèi)g(1+an)是等比數(shù)列；解：（1）由已知，兩邊取對(duì)數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列.例13、若數(shù)列中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是=（2002年上海高考題）.解 由題意知0，將兩邊取對(duì)數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列， ，即.4除積構(gòu)造:形如形如例14數(shù)列首項(xiàng)為3公差為3的等差數(shù)列，5除乘方構(gòu)造形如（q,m為非零常數(shù)）例15數(shù)列首項(xiàng)為2

5、公差為2的等差數(shù)列，六 作差法：當(dāng)題中給出的是Sn 和的關(guān)系時(shí)，我們一般通過作差法結(jié)合an = SnSn1 這個(gè)通用公式對(duì)原等式進(jìn)行變形，消掉Sn得到和an+1的遞推關(guān)系，或消掉得到Sn 和Sn1的遞推關(guān)系，然后重新構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)公式。例16、（2007湖北理19）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：， N*，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 解：（I）由已知可得，兩式相減可得 即 又所以r=0時(shí)， 數(shù)列為：a，0，0，； 當(dāng)時(shí)，由已知（）， 于是由可得， 成等比數(shù)列， ，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為例17：（2007重慶理）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，且（1）求的通項(xiàng)公式；解：由，解得a11或a12，由a

6、1S11，因此a12。又由an+1Sn+1- Sn，得an+1- an-30或an+1-an因an0，故an+1-an不成立，舍去。因此an+1- an-30。從而an是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，故an的通項(xiàng)為an3n-2。例18.（2009全國(guó)卷理）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知（I）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列 （II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（I）由及，有由， 則當(dāng)時(shí)，有得又，是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（II）由（I）可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列· ，數(shù)列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1等差數(shù)列求和公式： 2等

7、比數(shù)列求和公式：二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例1 求和：解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) 得 再利用等比數(shù)列的求和公式得： ，綜上所述例2 求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) 得 三、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè). 例3 求的值解：設(shè). 將式右邊反序得 . 又因?yàn)?+得 89 S

8、44.5例4 已知函數(shù)（1）證明：；（2）求的值.解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得： 所以.四、分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例5 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 當(dāng)a1時(shí)， 當(dāng)時(shí)，五、裂項(xiàng)相消求和法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1） （2） （3） （4）

9、（5）（6） 例6 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè) 則 例7 在數(shù)列中，又，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和.解： 數(shù)列的前n項(xiàng)和 練習(xí)題1. 練習(xí)題2。 =六、并項(xiàng)求和（合并法求和）針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例8（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)練習(xí)題1 若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1·n，則S17+S3350等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D .2解：對(duì)前n項(xiàng)和要分奇偶分別解決，即： Sn= 答案：A練習(xí)題 2 1002-992+982-972+22-12的值是 A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 解：并項(xiàng)求和，每?jī)身?xiàng)合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案：B七、通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法. 例9 求之和.解：由于 判斷或證明等差等比數(shù)列的方法1、 定義法證等差等比解答題2、 中項(xiàng)公式法：常用于證明三個(gè)數(shù)3通項(xiàng)公式：用于選擇填空4前 n項(xiàng)和公式：常用于選擇填空題中例1已知數(shù)列滿足證明是等比數(shù)列證明：