面積與面積法

1、面積和面積法初中數(shù)學(xué)里很多問題都涉及到平面圖形的面積計(jì)算，所用到的方法繁多，而小學(xué)到底學(xué)了哪些方法呢？這個(gè)恐怕很多初中數(shù)學(xué)教師有所不知。結(jié)果就造成了“小學(xué)和初中都不教，而在初中卻要考”的尷尬局面。所以“面積和面積法”是中小學(xué)數(shù)學(xué)銜接的真空地帶。于是初中數(shù)學(xué)教師一定要在合適的時(shí)候補(bǔ)上這一課，下面是我給學(xué)生補(bǔ)課的教案。一、平移現(xiàn)象如圖，直線ab，點(diǎn)A、B在a上，C、D在b上，則ABC和ABD的面積相等。即平移時(shí)面積不變。依據(jù)：同底等高的兩個(gè)三角形面積相等。例1   如圖，正方形ABCD的邊長為6，正方形BEFG的邊長為4，以B為圓心AB為半徑畫弧，連結(jié)CF、AF，求圖中陰影部分的面積。解

2、：連結(jié)AC、BF，因?yàn)锳CBF，所以SABC=SACF，即S陰影=S扇形BAC=9.例2   如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，已有線段AB，在網(wǎng)格中找一格點(diǎn)，使得這一點(diǎn)和A、B兩點(diǎn)組成的三角形面積為1，這樣的點(diǎn)一共有              個(gè)。如圖，過點(diǎn)C、D且垂直于CD的直線上所有格點(diǎn)均符合條件，故符合條件的點(diǎn)共有7個(gè)。例如圖中的黃色部分面積就等于1，不用平移現(xiàn)象是很難想到的。二、同高三角形同高兩個(gè)三角形的性質(zhì)：如圖D在ABC的BC邊上，則SABD:SADC=BD:DC。例3

3、   如圖延長ABC的邊CB、BA、AC分別至B1、A1、C1，使BB1=CB、AA1=3AB、CC1=2AC，若SABC=a，求SA1B1C1。解：連結(jié)A1C和C1B，ABC與A1AC是同高三角形，SA1AC=3SABC=3a，同理SA1C1C=2SA1AC=2×3a=6a，SBC1C=SB1C1B=2SABC=2a，SB1A1B=SA1CB=a+3a=4a，SA1B1C1=a+3a+6a+2a+2a+4a=18a.例4   如圖，梯形ABCD中，AB平行CD，SCOD=4，SBOC=6，S梯形ABCD。解：AB平行CD，SABD=SABC，SABD-

4、SAOB=SABC-SAOB，即SAOD=SBOC=6，又DOC和BOC同高，DO:BO=4:6=2:3，同理，DOA和AOB同高，SAOD:SAOB=DO:BO=2:3，SAOB=9，S梯形ABCD=4+9+6+6=25.三、整體減部分有些圖形的面積要用稍大一點(diǎn)的圖形面積減去幾部分小的面積來實(shí)現(xiàn)，這種方法叫做“整體減部分”。例5   如圖，正方形網(wǎng)格每個(gè)小正方形的面積為1，求圖中的三角形面積。解：SABC=2×4-1-1.5-2=3.5 .例6   如圖，ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，A(1,2)，B(5,1)，C(8,8)，求SABC.解：SABC=7×7

5、-2-21-10.5=15.5 .四、分割圖形有些圖形的面積計(jì)算，要先進(jìn)行分割。例7   如圖正三角形ABC中，D,E,F,G,H,I分別是各邊的三等分點(diǎn)，SABC=18，求六邊形DEFGHI的面積.解：不難證明這個(gè)六邊形是正六邊形，所以連結(jié)HE、DG、IF交于一點(diǎn)，故正三 角形被等分成6個(gè)小正三角形，S六邊形DEFGHI=18÷9×6=12.例8   如圖四邊形ABCD中，角A=90度，AD=6，AB=8，BC=24，CD=26，求四邊形ABCD的面積。解：連結(jié)BD，A=90度，AD=6，AB=8，BD=10，BC=24，CD=26， CBD=90度，

6、S四邊形ABCD=6×8÷2+24×10÷2=144.例9   如圖，有兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC，各畫出了一個(gè)內(nèi)接正方形CDEF和DEFG，請(qǐng)比較兩個(gè)正方形的大小，并說明理由。解：如圖將每個(gè)圖形分割，則第一個(gè)正方形占總圖形的1/2，第二個(gè)正方形占總圖形的4/9，所以是第一個(gè)正方形面積大。 五、補(bǔ)上圖形某些圖形求面積時(shí)，要先補(bǔ)上一塊圖形，再用整體減部分來計(jì)算。例10   如圖，四邊形ABCD中，B=D=Rt，A=45°，AB=6，DC=4，求四邊形ABCD的面積。解：延長AD及BC交于E，由已知，ABE、CDE

7、均是等腰直角三角形。S四邊形ABCD=SABE-SCDE=12×6212×42=10 .例11   如圖，矩形ABCD中，AB=2，以B為圓心AB為半徑畫弧AE交BC于E，以A為圓心AE為半徑畫弧EF交AD于F，求綠色部分的面積.解：連AE，則S綠色部分=S扇形-S黃色部分.EAF=90°-45°=45°，S綠色部分=45360(22)2(90360×2212×22)=2 .六、先割后補(bǔ)這種方法就是先將圖形進(jìn)行分割，再將分割后的圖形補(bǔ)到合適的位置，分為旋轉(zhuǎn)割補(bǔ)、平移割補(bǔ)、反射割補(bǔ)和其它割補(bǔ)四種。四、五、六三種方法統(tǒng)

8、稱“割補(bǔ)法”。例12   如圖，四邊形ABCD中，C=BAD=90°，AB=AD，四邊形ABCD的面積為16，AEBC于E，求AE的長。解：將ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至ADF的位置，由已知可以證明四邊形 AECF為正方形，而面積與四邊形ABCD相等，故AE=16=4 .例13   如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，分別以AB、AD為直徑畫半圓，求圖中紫色部分的面積.解：S紫色部分=12×82 =32.例14   如圖，一個(gè)正方形的邊長為a，以正方形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，a2 為半徑畫4個(gè)圓，求圖中花瓶（紫色部分）的面積.解：S紫色部分=2S正

9、方形ABCD=S正方形EFGH=a2 .七、和差相等同一個(gè)圖形（或面積相等的兩個(gè)圖形）減去（或加上）面積相等的圖形（或同一個(gè)圖形）差（或和）相等。簡單地說：相等的面積加上相等的部分，和相等。相等的面積減去相等的部分，差相等。例15   如圖，直角ABC中，AB=5，將ABC向右平移2，得到的像為ABC，B、B、C、C在同一直線上，AB與AC交于D，AD=1，求黃色部分的面積。解：SABC=SDBC+S四邊形ABBD，SABC=SDBC+S四邊形ADCCS四邊形ADCC=S四邊形ABBD=12(5+52)×2=7 .例16   如圖兩個(gè)完全相同的長方形AB

10、CD和CDEF拼在一起，已知AB=1，AD=a，以A為圓心，a為半徑畫弧，交BC于G；以D為圓心，a 為半徑畫弧交DC延長線于P，交CF與H。（1）當(dāng)兩個(gè)陰影部分面積相等時(shí)，求a的值(取3)；（2）當(dāng)a=2時(shí)，求圖中兩個(gè)陰影部分面積之差的絕對(duì)值。解:(1)將矩形ABCD內(nèi)的陰影部分平移至矩形BCEF內(nèi)，使G與H重合，那么S扇形CPE=S矩形BCEF，即14×3×12=a ，a=34 .(2)當(dāng)a=2時(shí)，|陰影部分面積差|=|S扇形CPE-S矩形BCEF|=|14×3×122 |=54 . 八、重疊方法就是利用重疊原理的一種方法，即兩個(gè)（或多個(gè)）

11、圖形有重疊部分，重疊部分的面積就等于這兩個(gè)（或多個(gè)）圖形的面積和減去整個(gè)圖形的總面積。例17   如圖，正方形的邊長為20，以邊長為直徑，畫4個(gè)半圓，求綠色部分的面積（精確到0.1）。解：S綠色部分=4S半圓-S正方形=2×102-202=200-400228.3例18   如圖，AD是ABC的高，AD=6，BD=CD=4，以AD為直徑畫圓，以BD,CD為直徑畫半圓，求藍(lán)色部分的面積。解：我們?cè)O(shè)想桌面上先放一個(gè)圓形紙片，再放2個(gè)半圓形紙片，再揭掉一個(gè)三角形的紙片，這樣原來2層紙的區(qū)域就成了一層紙，故S藍(lán)色=S圓+2S半圓-S三角形=32+2212×8&#

12、215;6=1324 .例19   如圖，正方形ABCD的邊長為2，以A,B為圓心，2為半徑畫2條弧，求圖中黃色部分的面積差。解：如圖，我們?cè)O(shè)想桌面上先放一個(gè)直角扇形紙片，再放另一個(gè)直角扇形紙片，再揭掉一個(gè)正方形的紙片，這樣原來2、1、0層紙的區(qū)域就成了1、0、-1層紙，故S黃色部分差=2S直角扇形-S正方形=12×2222=24 .九、面積法有些幾何問題本身不涉及面積，通過面積的方法來解決顯得特別簡單。利用這種方法求垂線段的長度、證明垂線段相等尤為方便。例20   如圖在3×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，求圖中點(diǎn)A到PQ的距離AH的長。解：連結(jié)AP,AQ則SAPQ=S矩形-S三個(gè)三角形=15-1.5-4-2.5=7,12×AH×PQ=7 ,PQ=25 ,AH=755 .例21   如圖ABC中，SABC=4，AB+AC+BC=12,點(diǎn)O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且O到三邊的距離相等，即OD=OE=OF,求OD的長。解：連結(jié)OA,OB,OC,設(shè)OD=r，則有SABC=SOAB+SOBC+SOAC=12×AB×r+12×BC×r+12×AC×r =r2(A