教案：第二講(拋體運動)

1、2014級高一物理競賽培訓第五講拋體運動 (兩課時(郭金朋 年 月 日物體以一定的初速度拋出后, 若忽略空氣阻力, 且物體的運動在地球表面 附近, 它的運動高度遠遠小于地球半徑, 則在運動過程中, 其加速度恒為豎直 向下的重力加速度。 因此, 拋體運動是一種加速度恒定的曲線運動。 又因為拋 體運動中拋射物始終運動在初速度與重力加速 度所決定的平面內, 所以拋體 運動是一個平面運動。根據(jù)運動疊加原理, 可以把拋體運動看作由兩個直線運動疊加而成, 即把 一個曲線運動分解成兩個直線運動的疊加來討論。通常采用兩種分解方法:(1速度為 v 0勻速直線運動和沿豎直方向的自由落體運動。(2以拋射點為坐標原點

2、, 在拋射平面 (豎直平面 內建立直角坐標系 (oxy, 再把 前面方程 中各矢量沿 x 、 y 軸方向分解。 如果在拋射平面內分別取水平方向和 豎直向上方向分別為 x 、 y 軸方向,那么拋體運動方程的分量形成為: 這表示,拋體運動可以看成:沿水平 x 方向的速度為 v 0cos 的勻速直線 運動和沿豎直向上 y 方向的初始為 v 0sin 、 加速度為 -g 的勻變速直線運動 (即 豎直上拋運動 。式中 為初始拋射角。如果在討論沿斜面向上 (或向下 拋擲物體的拋體運動時,通常令直角坐 標的 x 、 y 軸分別指向沿斜面向上 (或向下 和垂直于斜面向上的方向更為方便。 此時, x 、 y 方

3、向的運動均為勻變速直線運動,它們在 x 、 y 方向的分運動方程 分別為: 方程中, 正號為沿斜面向下拋擲, 負號為沿斜面向上拋擲。 以上三種情況, 分別示于下圖 (a、 (b、 (c。 上面給出的是拋體運動的運動學方程, 這些方程包含了拋體運動的全部信 息。一切待求的物理量均可從這些方程獲得。例如:1 在圖 (a中,欲求拋射體射程 S ,可以從方程中,取 y =0時的 x 值,得到 若要進一步求 v 0確定值時的最大射程 S M 以及相應的拋射角 M , 從 S 表 達式易得 2 在圖 (b中,欲求沿斜坡方向拋射體的射程 S ,可以從方程中,取 y =0時的 x 值,得到 若要進一步求 v

4、0為確定值時的最大射程 S M 以及相應的拋射角 M ,可以 通過數(shù)學方法得到。對 S 表達式中含有 的因子作積化和差變換 易知,當 滿足 時, S 取最大值 相應的 M 角為 3 在圖 (c中,欲求沿斜坡方向拋射體的射程 S ,也可以從方程中,取 y =0時的 x 值,得到 若要進一步求 v 0為確定值時的最大射程 S M 以及相應的拋射角 M , 與 2 中同樣處理,得 相應的 M 角為 4 在圖 (a中,欲求拋射體所達最大高度 H ,可以從方程中,取 v y =0時 的 y 值,得到 5 在圖 (b中, 若拋射體與斜面經(jīng)無能量耗損的完全彈性碰撞后從原路返回 拋射點,欲確定圖中 與斜面傾角

5、 應滿足的關系,可以根據(jù)拋射體抵達斜 面上落地點的運動特點:v x =0和 y =0,再利用方程中相應的兩個方程,消去 時間得到 這個結論與初速度大小無關。將拋體運動分解為水平方向勻速直線運動和豎直方向的勻變速直線運動。 如圖 2-3-3。取拋物軌跡所在平面為平面,拋出點為坐標原點,水平方向 為 x 軸,豎直方向為 y 軸。則拋體運動的規(guī)律為:-=g a a y x 0 =sin cos 00v v v v y x-=20021sin cos gt t v y t v x 其軌跡方程為222cos 2x v g xtg y o -=這是開口向下的拋物線方程。在拋出點和落地點在同一水平面上的情況

6、下, 飛行時間 T , 射程 R 和射高 H 分別為g v T sin 20= g v R 2s i n 20=g v H 2s i n 220= 拋體運動具有對稱性, 上升時間和下降時間 (拋出點與落地點在同一水平 面上 相等 (一般地, 從某一高度上升到最高點和從最高點下降到同一高度的 時間相等 ;上升和下降時經(jīng)過同一高度時速度大小相等,速度方向與水平方 向的夾角大小相等。平拋運動:質點只在重力作用下, 且具有水平方向的初速度的運動叫平拋運動。 它可 以看成水平方向上的勻速運動(速度為 v 0與豎直方向上的自由落體運動的 合成。速度:采用水平豎直方向的直角坐標可得:0v v x = gt

7、v y =,其合速 度的大小為 220 (gt v v +=,其合速度的方向為(設水平方向夾角為 ,可見,當 t 時, 2/, gt V ,即表示速度趨近于自由落體的速度。位移:仍按上述坐標就有,2/, 20gt y t V x =。仿上面討論也可得到同 樣結論,當時間很長時,平拋運動趨近于自由落體運動。加速度:采用水平和豎直方向直角坐標系有 , g a a y x =, 0,用自然坐標 進 行 分 解 , 如 圖 2-3-4其 法 向 加 速 度 為 c o sg a n =, 切 向 加 速 度 為 si n g a =, 為速度與水平向方的夾角, 將速度在水平與豎直方向的坐標系 中分解可

8、知: 2220sin t g v gtV V y+=22200cos t g V V V x +=由此可知, 其法向加速度和切向加速度分別為:22200t g gV a n +=22202t g t g a += 由上兩式可以看出, 隨著時間的推移, 法向加速度逐漸變小趨近于零, 切 向加速度趨近于定值 g ,這表示越來越接近豎直下拋運動。在生活中也很容易 看到,平拋物體的遠處時就接近豎直下落了。運動的軌跡方程:2202x V g y =從方程可以看出,此圖線是拋物線,過原點,且 0V 越大,圖線張開程度 大, 即射程大。 根據(jù)運動的獨立性, 經(jīng)常把斜拋運動分解成水平方向勻速直線 運動和豎直方

9、向上的豎直上拋運動來處理,但有時也可以用其它的分解分法。拋體運動另一種常用的分解方法是:分解沿 0v方向的速度為 0v 的勻速直線運動和沿豎直方向的 自由落體運動二個分運動。如圖 2-3-5所示,從 A 點以 0v 的初速度拋出一個小球,在離 A 點水平距離為 s 處有一堵高度為 h 的墻 BC ,要求小球能越過 B 點。 問小球以怎樣的角度拋出,才能使 0v 最小? 將斜拋運動看成是 0v 方向的勻速直線運動和 另一個自由落體運動的合運動,如圖 2-3-6所示。在位移三角形 ADB 在用正弦定理sin(1sin sin 102+=a t v a gt軌跡:由直角坐標的位移公式消去時間參數(shù) t

10、 便可得到直角坐標系中的 平拋運由式中第一個等式可得圖 2-3-5圖 2-3-6sin sin 20g a v t =將式代入式中第二個等式sin(sin sin 2202+=a lg a v a a gl v sin sin(sin 2220+=cos 2cos(sin 220+-=a gl v當 2cos(+-a 有極大值 1時,即 =+a 2時, 0v 有極小值。因為=+a 2,=+22a所以214-=a-=-=2020cos 21sin sin 21cos t g at v y t g at v x 當小球越過墻頂時, y 方向的位移為零,由式可得cos sin 20g av t =式

11、代入式:我們還可用另一種處理方法以 AB 方向作為 x 軸(圖 2-3-7這樣一取,小球在 x 、 y 方向上做的都是 勻變速運動了, 0v 和 g 都要正交分解到 x 、 y 方向上去。小球運動的方程為 -=-=222121t g v y t g t v x y oy x ox2000cos sin 2(sin 21cos sin 2cos g a v g g a v av x -=sin sin cos (coscos sin 220a a g av -=cos(sin cos 2220+=a a g v sin 2sin(cos 22-+=a g vsin 2sin(cos 220-+=

12、a xg v 當 2sin(+a 最大,即22=+a 時,214-=a , 0v 有極小值sin 1/(cos 220-=xg vsin 1/( sin 1(cos 22-+=xgsin 1(+=xg1(x h xg +=(22s h h g +=圖 2-3-7拋體運動的軌道方程有時,我們關心的是軌道方程,盡管軌道方程包含的信息沒有運動方程 所含信息多, 因為它沒有給出物體何時在何處。 在討論軌道方程時, 通常采用 前圖 (a中坐標。利用方程,聯(lián)立消去時間 t ,得到軌道方程: 在拋射速度 v0和拋射角 確定的情況下, 這個方程給出了 x 與 y 的關系, 即給出了一條軌道。 但是, 從更廣泛

13、的意義上來看, 這是一個含有 4個參量 (x、 y 、 v 0、 tg 的方程.為了準確理解這個方程,我們作一些與解題關系密切的 討論:(1設拋射點為坐標原點,拋射初速度大小 v0已知,而 (x, y 為豎直拋射 面內的一確定點 這里 x>0,而 y 既可以大于零,也可以小于零,還可以等于 零 (屬于圖 (a的情況 ,假定這一點能被擊中,我們來看一看,此時拋射角為 何值 ? 為此,把前方程改寫為 解出 tg : 通常, tg 有兩個解, 這說明在此情況, 同一個拋射體可以用兩個不同的 拋射角 l 和 2均能擊中 (x, y 點。我們把此結論示于圖 (b,而圖 (a作為 y =0時的對照。

14、 圖 (a中射程 S 由前表達式給出。設 l 和 2為同一射程的兩個拋射角, 顯然有關系 那么在圖 (b中, l 和 2應滿足什么關系呢 ?在現(xiàn)在的情況下, v 0已知, 由方程得到兩個拋射角 l 和 2, 對應于圖 (b中兩條拋物線, 而點 (x, y 是這兩條拋物線共同經(jīng)過的一個點。 在這個意義下, 兩個解 tg l 和 tg 2均滿足方程軌道方程,因此, 得到 其中 為在拋射點所看到的點 (x, y 的視角 (仰視角為正,俯視角為負 , 在此 </2。若 y 為負,則 值也為負。最后得到 當 =0時,顯然是正確的。這個關系式在解題中很有用。(2我們再來看圖(a，在 V0 一定的條件

15、下，最大射程 SM 給出 此時 l 24。一般情況下，一個射程 S 對應于兩個互不相等的拋 射角 l 和 2。如果射程 S 不變，能達射程 S 的最小 v0 值為多大?顯然 而且此時的拋射角必為 4。 與此類似，我們看圖(b。如果 v0 大小一定，擊中(x，y點一般有兩個拋 射角，那么擊中(x，y點的最小 v0 值就是 l 2 0。時，對應的 v0 值可 以由方程得到 或 其中 顯然 v0 的表達式是相同的。 (3我們對方程重新整理，改寫為 此式表示，當拋射體初速 v0 和擊中點 x 坐標一定時，若拋射角滿足 y 得極大值 11 這個結論具有實際意義。如圖 29，一人離墻距離 x 處踢一足球，

16、若足 球初速 v0 為定值，可以由此確定擊中墻上可能的最高高度 ymax。 我們進一步思考這個問題。 若墻換成一個豎直放置的大平板(設此平板與 拋射面垂直，足球的初始速度大小 v0 和拋射點保持不變，太平板所在 x 坐標 可以調節(jié)，即 x 可變，那么根據(jù)式(257，每個可能的 x 必給出平板上相應 的一個最高高度 y。由此給出的 x 與 y 的關系式就是表達式(257，改寫為 每逢廟會、集場等時候，常有游戲騙子在街頭鬧市區(qū)、學校門口等進行彈 子有獎游戲活動。圖 1 中游戲機的傾斜軌道 AC 與有缺口的圓軌道 BCD 相切 于 C 點，圓軌道的半徑為 R，兩軌道在同一豎直平面內，D 是圓軌道的最

17、高 點，缺口 DB 所對的圓心角為 90°，各軌道都很光滑，摩擦力很小。把一個 小球從斜軌道上某處由靜止釋放，它下滑到 C 點后便進入圓軌道，參與者如 能使小球落入 B 點的小網(wǎng)中便獲得大獎。 如圖 1，如小球從某點釋放后，沿 AC 加速下滑，再經(jīng)圓周運動到 D 點后 做平拋運動，那么小球絕無可能落到 B 點。 （此結論請同學們根據(jù)圓周運動和 平拋運動知識自行求證）但是，如果小球不經(jīng)過 D 點，而是在到達 D 點以前 的某位置脫離軌道作斜拋運動，則有無可能落到 B 點呢？ y A v0 D H x C 圖1 B O O h E 如圖 1，設小球到達 D 點之前的 E 點時脫離軌道，這

18、樣小球作斜拋運動。 設小球在 E 點時的速度為 v0，與水平方向的夾角為 ，建立如圖所示的直角 12 坐標系，則有 vxv0cos ，vyv0sin 。 假設小球由 E 運動到 B 所需的時間為 t，忽略空氣阻力和摩擦，則小球位 移的水平分量和豎直分量分別為 即 sxvxt，syvytgt2/2。 v0cos tRRsin v0sin tgt2/2Rcos 在即將脫離圓軌道的 E 點時，軌道對小球的壓力為零，小球所受重力的徑 向分力提供向心力，設求的質量為 m，則有 mgcos mv02/R 聯(lián)立、式可得 2sin2 sin 10 解得 代入式得 sin 1/2， 30° 3 v02 2 gR 3 E 點距圓軌道最低點的距離為 hRcos R（ 2 1）R mg（Hh）mv02/2 設釋放點 A 相對軌道最低點的高度為 H，對由 A 運動至 E 的過程應用機 械能守恒定律可得 3 3 將式代入式可得 H（ 4 1）R 3 3 即只要從高于圓軌道最低點（ 4 1）R 的地方釋放，小球就可以掉入 放在 B 點的網(wǎng)中，但由于實際操作時，軌道存在摩擦，釋放點應比 A 高，雖 然如此，由于此釋放位置不易掌握，得大獎的幾率是非常低的。 從此例的分析可知， 研究斜拋運動的常用方法是根據(jù)運動的獨立性將其分 解為水平方向的勻速直線