轉(zhuǎn)子動力學求解轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速及固有頻率

1、 旋轉(zhuǎn)機械在當今機械行業(yè)有著非常廣泛的應用，如水輪機、汽輪機、加工車床和機械傳動軸系等。轉(zhuǎn)子是旋轉(zhuǎn)機械的主要部件。旋轉(zhuǎn)軸系轉(zhuǎn)子存在自身固有頻率，當轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)頻率接近或等于其固有頻率時，旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)會發(fā)生劇烈振動，這時的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。臨界轉(zhuǎn)速的求解是轉(zhuǎn)子動力學中非常重要的研究課題。 目前對臨界轉(zhuǎn)速的計算方法主要有： 傳遞矩陣法先把轉(zhuǎn)子分成若干段，每段左、右端四個截面參數(shù)（撓度、撓角、彎矩和剪力）之間的關(guān)系可用該段的傳遞矩陣描述。如此遞推，可得系統(tǒng)左右兩端面的截面參數(shù)間的總傳遞矩陣，再由邊界條件和固有振動時有非零解的條件，藉試湊法得出各階臨界轉(zhuǎn)速，并隨后求得相應的振型。 有限元法將連續(xù)系統(tǒng)分割成適當

2、大小的單元，單元內(nèi)的位移等狀態(tài)量用以節(jié)點的相應狀態(tài)量為未知數(shù)的一系列函數(shù)表示，使系統(tǒng)的能量之差即動能、勢能之差為最小來調(diào)整節(jié)點的狀態(tài)，從而得到相應的矩陣方程。 選取一篇碩士論文高速列車傳動齒輪箱齒輪轉(zhuǎn)子動力學特性研究中傳動齒輪箱中低速軸進行研究。 實際的轉(zhuǎn)子是一個質(zhì)量連續(xù)分布的彈性系統(tǒng)，具有無窮多個自由度。在轉(zhuǎn)子動力學中經(jīng)常把轉(zhuǎn)子簡化為具有若干個集總質(zhì)量的多自由度系統(tǒng)。即沿軸線把轉(zhuǎn)子質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量集總到若干個節(jié)點上，這些節(jié)點一般選在葉輪、軸頸中心、聯(lián)軸器、軸的截面有突變處以及軸的端部等位置，并按順序編號。 將轉(zhuǎn)子質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量集總到28個節(jié)點之后，模型可以簡化為 把低速軸分成27段之后，可以計

3、算出每段等截面軸的長度、質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動慣量和直徑轉(zhuǎn)動慣量。各段參數(shù)列表如下： 假設(shè)兩個相鄰節(jié)點之間的軸段是第j個軸段，這個軸段是由s個截面尺寸不同的等截面軸段組成的。 將各個變截面軸段所具有的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量都集總到左右的兩個端點位置，形成集總的剛性剛性波圓盤。 對于簡化后的節(jié)點j,它具有的直徑轉(zhuǎn)動慣量 ，極轉(zhuǎn)動慣量 以及總質(zhì)量 的計算方法分別如下： 其中，djJpjJjm(d)1(d)1(d)1RLdjdjdjdjRLPjpjpjpjRLjjjjJJJJJJJJmmmm1sRkjkjlaml11ssjLRkjjkkkjl lamlml2221sRkPjpk kkkkkaJj lala2221sk

4、kLPjpk kkkkklaJj lala23221112sRkdjdjkkkkkaJj llla laala23221112skkLdjdjkkkkklaJj llla laala 低速軸集總后的參數(shù)列表為： 對于轉(zhuǎn)子中的第i個軸段，其左右兩端截面的編號分別為i與i+1，則截面i的撓度 ，斜率 ，彎矩 及剪力 所組成的列陣，稱為該截面的狀態(tài)向量 。即： 任一部件兩端截面的狀態(tài)向量總存在一定的關(guān)系，即： 即稱為該部件的傳遞矩陣。對于質(zhì)量模型，有iXiAiMiQ iz X,A,TiizM Q 1iiizTz iT 211zTz 321221zTzTTz 111121iiiiizTzTTTz 傳遞

5、矩陣法是將集總了轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量的剛性薄圓盤和沒有質(zhì)量的等截面彈性軸結(jié)合起來，作為一個組合構(gòu)件來考慮，組合構(gòu)件的傳遞矩陣為： 其中 為第j個節(jié)點處的支撐總剛度，E為彈性模量，I為軸段的截面矩，l為軸段長度， 為考慮剪切影響的系數(shù)。322322222222211162261221001sjpdsjpdisjpdsjllllmKlJJEIEIEIEIllllmKJJTEIEIEIEIl mKJJlmK 26tEIk GAl 傳統(tǒng)傳遞矩陣法： 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)右端終止截面狀態(tài)向量 與左端開始截面狀態(tài)矢量 之間的關(guān)系為： 假設(shè)轉(zhuǎn)子模型左右端面都是自由端，則其邊界條件為 ，于是該式存在非零解的條件為這是傳統(tǒng)傳遞矩

6、陣法的系統(tǒng)的頻率方程，也就是求解臨界轉(zhuǎn)速的方程式。1NZ1Z11111NNNNZT TTZA Z110,0,0,0NNMQMQ123411NNaaMXaaQA122340Naaaa RiccatiRiccati傳遞矩陣法傳遞矩陣法 在計算過程中引入了一個Riccati變換，可以將一開始求解微分方程兩個邊界條件的問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€初始值的問題，這種轉(zhuǎn)變一方面保留了傳動傳遞矩陣法求解過程中所具有的優(yōu)點，另一方面直接提高了傳遞矩陣方法計算過程中數(shù)值的穩(wěn)定性。 把狀態(tài)矢量Z進行分組，具有0值的元素為一組,用矢量f表示，非0值為另一組，表示為矢量e，于是狀態(tài)向量簡化成為 ，左右端面都是自由端時，彎矩和剪力為

7、0，而 徑向位移和撓角不為0，于是有iifZe TiifMQTiieXA于是得到展開可以得到其中，111221221iiifuufeuue 1111212122iiii iiiii ifufu eeufue11101iilu221220sjpdisjil mKJJumK 232121262iillEIEIullEIEI322222222116212sjpdisjpdillmKlJJEIEIullmKJJEIEI引入Riccati變換， ，得到，可知，對于右端截面N+1則有由初始邊界條件可知，存在非零解的條件為這就是Riccati傳遞矩陣法進行求解臨界轉(zhuǎn)速時的系統(tǒng)頻率方程式。ii ifS e121221iiieu Sue 1111122122iiiifu Suu Sue 1111122122iiiSu Suu Su111NNNfSe11110,0,0,0NNfefe10NS支承剛度計算：根據(jù)高等轉(zhuǎn)子動力學中計算第j個支承的總剛度為其中K為油膜剛度， 為轉(zhuǎn)子的渦動角速度， 是軸承座的參振剛度， 是軸承座的參振質(zhì)量。