2014年新課標(biāo)2卷高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科（新課標(biāo)卷二II）一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的.L 設(shè)集合 M二0, 1,2, N=xIx2_3x+2砌,則Me合二（）A.1B.2C.0, 1D.1, 22 .設(shè)復(fù)數(shù)&, “在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，zxxk4=2 + i,則aZ2=（）A.- 5B.5C.- 4+ iD.- 4 - Y3 .設(shè)向量a, 6滿足a班=Jib, a-b尸巫,則二（）A.1B.2C.3D.54 .鈍角三角形ABC的面積是:, AB=1, BC=JI，則AC=()A. 5B. y/5C. 2D

2、. 15 .某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣 質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.457 .執(zhí)行右圖程序框圖,（ ）如果輸入的x,t均為2,則輸出的S二A. 4B. 5 C. 6D. 78.設(shè)曲線yrx-ln（x+l）在點(diǎn)（0, 0）處的切線方程為y=2x,則廣A. 0 B. 1 C. 2 D. 36 .如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1 （表示1cm）,圖中粗 線畫(huà)出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm,高 為6cm的圓柱體毛坯切削得到，

3、則切削掉部分的體積與原來(lái)毛 坯體積的比值為（ ）x + y - 7W09.設(shè)x, y滿足約束條件< x-3y + lW0 ,則z = 2x-y的最大值為()3x y 520A. 10 B. 8 C. 3 D. 210.設(shè)F為拋物線C:儼=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則0AB的面積為（、3季p 9>/3)C.6332D.1L 直三棱柱 ABC-ABC 中,NBCA=90° , M, N 分別是 AB, AC 的中點(diǎn)，BOCA二CC, 則BM與AN所成的角的余弦值為()1d2cnA-ToB-5C-lo- D-5-12.設(shè)函數(shù)

4、/(x) = Qsin箸.若存在的極值點(diǎn)/滿足引+/(4)丁 </濘，則m的取 值范圍是()A.(-oo,-6) kJ (6,)B.kJ (4,oo)C.kJ (2,oo)D.j(4,8)本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題“第21題為必考題，每個(gè)試題考生必須做 答.第22題“第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答.本試題由 二.填空題13.0+ 廣的展開(kāi)式中，/的系數(shù)為15,則齊.（用數(shù)字填寫(xiě)答案）14 .函數(shù)x） = sin（x+20-2singcos（x+0）的最大值為.15 .已知偶函數(shù)“X）在0,一）單調(diào)遞減，"2） = 0.若工一1）>0,則x的取值范圍是16

5、.設(shè)點(diǎn)M若在圓0:/ +產(chǎn)=1上存在點(diǎn)n,使得zxxkN0MN=45° ,則小的取值范圍是.三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列”滿足力=1, a,=3% +1.（I ）證明,“+是等比數(shù)列，并求4的通項(xiàng)公式；（II）證明：1»+-L+堤.% an 218.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA_L平面ABCD, E為PD的中點(diǎn). （I ）證明：PB平面AEC；（II ）設(shè)二面角D-AE-C為60° , AP=1, AD=求三棱錐E-ACD的體積.19.（本小題滿分12分）某地區(qū)2

6、007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y （單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表:年份2007200820092010201120122013年份代號(hào)匕1234567人均純收入y2.93. 33.64.44.85.25.9（I）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（II ）利用（I ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入 的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：A £（）（）0 -b = -, a = y-bt）2J-l20 .（本小題滿分12分）設(shè)”，入分別是橢圓C:奈+左=1（。>>0）的

7、左,右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且加心與x軸垂 直，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.（I ）若直線MN的斜率為斜 求C的離心率；（II）若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN| = 5忻N|,求a, 6.21 .（本小題滿分12分） 已知函數(shù)=e_2x（I ）討論的單調(diào)性;（II ）設(shè)g（x） = /（2x）-4/?f （x）,當(dāng)x>0時(shí)，g（x）>0,求人的最大值；（III）已知L4142V75VL4143,估計(jì)ln2的近似值（精確到0. 001）請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，有途高考網(wǎng)同按所做的第一題計(jì) 分，做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào).22 .（本小題滿分10）選修4L幾何證明

8、選講如圖，P是C。外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與相交于點(diǎn)B, C, PO2PA, D為PC的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線交0。 于點(diǎn)E.證明：（I ） BE二EC；（II ） AD DE=2 P¥23 .（本小題滿分10）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸 為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為夕= 2cosd, 8 e 0,y . zxxk（I ）求c的參數(shù)方程；（II ）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線/:y = G + 2垂直，根據(jù)（【）中你得到的 參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo).24.（本小題滿分10）選修4-5：不等式選講 設(shè)函數(shù)

9、 f（A）= X + j- +|x-6/|（6Z >0）（I ）證明：/（x）N2；（H ）若/（3）v5,求a的取值范圍.第9頁(yè)共8頁(yè)2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題參考答案選擇題(1) D(8) D(2)A (3)(9) BA (4) B (5) A(10) D(11) C(6) C(12) C(7) D填空題(13) - 2(14) 1(15) (-1,3)(16) -1, 1三、解答題(17)解:（1）由冊(cè)+i = 3冊(cè) +1 得品7 + ； = 3。+ ；）.d 13Xa. + - = -2 21 3 m am +- = 加2 213所以，品+ ： 是首項(xiàng)為弓

10、，公比為3的等比數(shù)歹 22因此明的通項(xiàng)公式為明由因?yàn)楫?dāng)nNl時(shí)，3旭一122乂3內(nèi)，所以，一匚 39n- 2x3i于是,所以,(18)解:（1）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)0,連結(jié)EO因?yàn)锳BCD為矩形，所以0為BD的中點(diǎn)又E為的PD的中點(diǎn)，所以EO|PBEOu平面AEC,PBa平面AEC,所以PB|平面AEC（2）因?yàn)镻A_L平面ABCD, ABCD為矩形，所以AB, AD, AP兩兩垂直如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，荏的方向?yàn)閤軸的正方向，為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo) 系，則Axyz,則D（。，/,。），則E手，卜心（。，與百設(shè)B(叫 0,0)0>0),則 C(m, 0)設(shè)n(x, y, z)為平面AC

11、E的法向量,則%AC=01 AE = 0即mx + >/3y = 0y/31 n2 . 2可取尸6)乂，八二(1,0,0)為平面DAE的法向量,由題設(shè) |cos(, 二;，即 后;j解得W 因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以三棱錐E7CD的高為;'三棱錐E-ACD的體積為3 22 28 19解： (1)由所得數(shù)據(jù)計(jì)算得 i = - (1+2+3+4+5+6+7) =4,7y = 1 9+3. 3+3. 6+4. 4+4. 8+5. 2+5. 9)=4. 3 7-7)2 =9+4+1+0+1+4+9=28 /-I 7_/-I二(-3) x (-1.4) + (-2) x (-1) + (-1

12、) x (-0. 7) +0x0. 1+1 x0. 5+2x0. 9+3x 1. 6=14, 7_Z(D(w)idb=-：= =0. 5r-1a= y -b t 4. 30. 5 x 42. 3 所求回歸方程為亍=0.5t+2. 3(H)由(I )知,b=0. 50,故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加, 平均每年增加0. 5千元.將2015年的年份代號(hào)t二9代入(1)中的回歸方程，得y=0. 5X9+2. 3=6.8故預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6. 8千元(20)解:(I)根據(jù)C二錯(cuò)誤!未找到引用源。以及題設(shè)知M(C,錯(cuò)誤!未找到引用源。)，2錯(cuò)誤!

13、 未找到引用源。=3ac將錯(cuò)誤!未找到引用源。二錯(cuò)誤!未找到引用源。-錯(cuò)誤!未找到引用源。代入2錯(cuò)誤!未找 到引用源。=3ac,解得錯(cuò)誤!未找到引用源。二錯(cuò)誤!未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。2 ( 去)故C的離心率為錯(cuò)誤!未找到引用源。(II)由題意，原點(diǎn)。的錯(cuò)誤!未找到引用源。的中點(diǎn)，M錯(cuò)誤!未找到引用源。y軸， 所以直線M錯(cuò)誤!未找到引用源。與y軸的交點(diǎn)D是線段M錯(cuò)誤!未找到引用源。的中點(diǎn), 故錯(cuò)誤!未找到引用源。二4,即錯(cuò)誤!未找到引用源。 由錯(cuò)誤!未找到引用源。二錯(cuò)誤!未找到引用源。得錯(cuò)誤!未找到引用源。二錯(cuò)誤!未找到引 用源。設(shè)N (x, y),由題意可知y<0,則錯(cuò)誤!

14、未找到引用源。即錯(cuò)誤!未找到引用源。代入方程C,得錯(cuò)誤!未找到引用源。+錯(cuò)誤!未找到引用源。=1將以及C二錯(cuò)誤!未找到引用源。代入得到錯(cuò)誤!未找到引用源。+錯(cuò)誤!未找到引用源。=1解得聲7, 錯(cuò)誤!未找到引用源。奸7,錯(cuò)誤!未找到引用源。(21)解(I)錯(cuò)誤!未找到引用源。+錯(cuò)誤!未找到引用源。-2力0,等號(hào)僅當(dāng)x=0時(shí)成立，所以f (X)在(-8, +OO)單調(diào)遞增(II) g (x)=f(2x)-4bf(x)二錯(cuò)誤!未找到引用源。-錯(cuò)誤!未找到引用源。-4b(錯(cuò)誤!未 找到引用源。-錯(cuò)誤!未找到引用源。)+ (8b-4)x錯(cuò)誤!未找到引用源。(x)=2 錯(cuò)誤!未找到引用源。-錯(cuò)誤!未找到引

15、用源。-錯(cuò)誤!未找 到引用源。=2(錯(cuò)誤!未找到引用源。-錯(cuò)誤!未找到引用源。)(錯(cuò)誤!未找到引用源。+錯(cuò) 誤!未找到引用源。)(1)當(dāng)b«2時(shí),g' (x)之0,等號(hào)僅當(dāng)x=0時(shí)成立,所以g(x)在(-8,+s)單調(diào)遞增, 而g (0)=0,所以對(duì)任意x0,g(x)0;(2)當(dāng) b>2 時(shí),若 x 滿足，2< e*+e*<2b-2 即 0<x<ln(b-l+2-2Z?)M g* (x)<0,而g (0)=0,因此當(dāng) 0<XWln(bT+J22/2)時(shí),g (x) <0綜上，b的最大值為23(3)由(2)知，g(In V?) =

16、 -2>/2 b+2(2b-l) ln22當(dāng) b =2 時(shí)，g(ln>/2) = -4>/2 +61n2>0, ln2> 墳二 >0. 6928212當(dāng) b二史+1 時(shí)，ln(b-l+"22)=lna4g(ln>/2) = -2>/2+(3>/2+2)ln2<02.18 +V2 /28in2<<0. 693(22)解：(1)連結(jié)錯(cuò)誤!未找到引用源。AB,錯(cuò)誤!未找到引用源。AC由題設(shè)知錯(cuò)誤!未找到引用源。PA二錯(cuò)誤!未找到引用源0 PD,故錯(cuò)誤!未找到引用源。PAD=錯(cuò)誤!未找到引用源。PDA 因?yàn)殄e(cuò)誤!未找到引

17、用源。PDA二錯(cuò)誤!未找到引用源。DAC+錯(cuò)誤!未找到引用源。DCA 錯(cuò)誤!未找到引用源。PAD二錯(cuò)誤!未找到引用源。BAD+錯(cuò)誤!未找到引用源。PAB 錯(cuò)誤!未找到引用源。DCA二錯(cuò)誤!未找到引用源。PAB 所以錯(cuò)誤!未找到引用源。DAO錯(cuò)誤!未找到引用源。BAD,從而 因此錯(cuò)誤!未找到引用源。二錯(cuò)誤!未找到引用源。(2)由切割線定理得尸*=pb*PC錯(cuò)誤!未找到引用源。因?yàn)?PA二PD二DC,所以 DC=2PB, BD=PB由相交弦定理得AD*DE=BD*DC所以，AD*DE=2尸1錯(cuò)誤!未找到引用源。(23)解:(I) C的普通方程為錯(cuò)誤!未找到引用源。-錯(cuò)誤!未找到引用源。=1(0錯(cuò)誤!未找到引用源。) 可得C的參數(shù)方程錯(cuò)誤!未找到引用源。(t為參數(shù)，0錯(cuò)誤!未找到引用源。(II )設(shè)D ( 1+cost, sint).由(I )知C是以G (1, 0)為圓心，1為半徑的上半圓。 因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與I垂直，所以直線GD與I的斜率相同。tant=錯(cuò)誤!未找到引用源。，長(zhǎng)n/3.故D的直角坐標(biāo)為(l+cosJi/3, sinn/3)