2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版選修2-2學(xué)案：1.5.3　定積分的概念 Word版含解析

1、15.3定積分的概念目標(biāo) 1.知道定積分的概念，會(huì)用定義求簡(jiǎn)單的定積分.2.會(huì)分析定積分的幾何意義，記住定積分的性質(zhì).3.借助幾何圖形體會(huì)定積分的基本思想重點(diǎn) 定積分的幾何意義和性質(zhì)難點(diǎn) 定積分的概念知識(shí)點(diǎn)一 定積分的概念填一填如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0<x1<<xi1<xi<<xnb將區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi1，xi上任取一點(diǎn)，i(i1,2，n)，作和式(i)xf(i)，當(dāng)n時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dx f(i)其中a與b分別叫做積分

2、下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式答一答1式子f(x)dx是不是關(guān)于f(x)的一個(gè)變量？提示：不是. af(x)dx是一個(gè)常數(shù)知識(shí)點(diǎn)二 定積分的幾何意義填一填如果在區(qū)間a，b上函數(shù)連續(xù)且恒有f(x)0，那么定積分f(x)dx表示由直線xa，xb(a<b)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積(如圖中的陰影部分的面積)答一答2當(dāng)f(x)在區(qū)間a，b上f(x)<0時(shí)， af(x)dx表示的含義是什么？提示：當(dāng)f(x)在區(qū)間a，b上值小于零時(shí)，f(x)dx表示由yf(x)，xa，xb，y0所圍成的圖形的面積的相反

3、數(shù)3. f1(x)dxf2(x)dx的幾何意義是什么？提示：由定積分的幾何意義和性質(zhì)，可知f1(x)dxf2(x)dx表示下圖中陰影部分的面積知識(shí)點(diǎn)三 定積分的性質(zhì)填一填(1) kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))；(2) f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx；(3) f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)答一答4定積分的性質(zhì)(2)能推廣到多個(gè)函數(shù)和或差的定積分運(yùn)算嗎？提示：能推廣公式為 f1(x)±f2(x)±±fm(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx±±f

4、m(x)dx.5定積分的性質(zhì)(3)能推廣到有限個(gè)區(qū)間上的積分和嗎？6. 2x2dx2x2dxx2dx對(duì)嗎？提示：不對(duì). 2x2dx2x2dx2x2dx2x2dx2x2dx.1定積分的定義是由實(shí)際問(wèn)題抽象概括出來(lái)的，它的解決過(guò)程充分體現(xiàn)了“由直到曲”“由有限到無(wú)限”的極限的思想方法利用定積分的定義求定積分可以分為四步：分割、近似代替、求和、取極限2定積分的幾何意義：設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象連續(xù)且f(x)0，則定積分f(x)dx表示由x軸、曲線yf(x)以及直線xa，xb圍成的曲邊梯形的面積3定積分的性質(zhì)是求確定積分的重要依據(jù)，可以把復(fù)雜的定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的定積分問(wèn)題求解類型一 利

5、用定積分的定義求定積分【例1】利用定積分的定義計(jì)算 (1x)dx.【思路分析】按照定積分的定義，結(jié)合求曲邊梯形的面積方法進(jìn)行求解【解】f(x)x1在區(qū)間1,2上連續(xù)，將區(qū)間1,2分成n等份，則每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度xi，在xi1，xi上取ixi11(i1,2,3，n)，于是f(i)f(xi1)112，從而有(i)xi··n012(n1)2·2， 1(x1)dx(i)xi 2.利用定積分的定義求定積分，積分值與區(qū)間的劃分方法及點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)，可以根據(jù)問(wèn)題選擇需要的劃分及特殊的取點(diǎn).一般我們采用均分，選取每個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn)(或右端點(diǎn))，將定積分化成和式的極限.利用定積分的定義，計(jì)

6、算 (3x2)dx的值解：令f(x)3x2.(1)分割在區(qū)間1,2上等間隔地插入n1個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間1,2等分成n個(gè)小區(qū)間(i1,2，n)，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，則sn·x·012(n1)5×5.(3)取極限 (3x2)dxsn .類型二 利用定積分的幾何意義求定積分【例2】說(shuō)明下列定積分所表示的意義，并根據(jù)其意義求出定積分的值：(1) 2dx；(2) xdx；(3) dx.【解】(1) 2dx表示的是圖中陰影所示長(zhǎng)方形的面積，由于這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為2，所以2dx2.(2) xdx表示的是圖中陰影所示梯形的面積，由于這個(gè)梯形

7、的面積為，所以xdx.(3) dx表示的是圖中陰影所示半徑為1的半圓的面積，其值為，所以dx.利用定積分所表示的幾何意義求f(x)dx的值的關(guān)鍵是確定由曲線yf(x)，直線xa，直線xb及x軸所圍成的平面圖形的形狀.常見(jiàn)形狀是三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的平面圖形.利用定積分的幾何意義，求：(1) dx；(2) (2x1)dx.解：(1)在平面上y表示的幾何圖形為以原點(diǎn)為圓心以3為半徑的上半圓，如圖(1)所示，其面積為s··32.由定積分的幾何意義知dx.(2)在平面上，f(x)2x1為一條直線 (2x1)dx表示直線f(x)2x1，x0，x3，y0圍成的直角梯形o

8、abc的面積，如圖(2)，其面積為s×(17)×312.根據(jù)定積分的幾何意義知 0(2x1)dx12.類型三 定積分的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】求解以下各題：(1)若 f(x)g(x)dx3， f(x)g(x)dx5，則f(x)dx_.(2)若2f(x)dx5，則 2f(x)dx_.【思路分析】涉及定積分的線性運(yùn)算時(shí)，可考慮用定積分的性質(zhì)進(jìn)行求解【解析】(1)依題意知f(x)dxg(x)dx3，f(x)dxg(x)dx5，兩式相加，得2f(x)dx2，故f(x)dx1.(2)2f(x)dx2f(x)dx5，f(x)dx.于是 2f(x)dxba.【答案】(1)1(2)ba利用定積分

9、的性質(zhì)可將被積函數(shù)較復(fù)雜的定積分化為簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分，將未知的定積分轉(zhuǎn)化為已知的定積分；對(duì)于分段函數(shù)類型的定積分，可以利用定積分的性質(zhì)分解求值.(1)若f(x)dx3，g(x)dx2，則 f(x)g(x)dx5.解析： f(x)g(x)dx af(x)dxg(x)dx325.(2)設(shè)f(x)求f(x)dx.解：f(x)f(x)dx (x1)dx (2x4)dx.又由定積分的幾何意義(如圖)得 (x1)dx(12)×1， (2x4)dx×1×21，f(x)dx1.因錯(cuò)誤理解定積分的幾何意義導(dǎo)致出錯(cuò)【例4】求定積分 ()dx.【錯(cuò)解】由y(0x2)得x2y24(0x2

10、，2y0)如圖所示圖形面積sr2×4， ()dx.【錯(cuò)因分析】y0無(wú)法直接利用定積分的幾何意義求解，而應(yīng)采用轉(zhuǎn)化法求【正解】曲線y即x2y24(0x2,0y2)，如圖，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓在第一象限的圓弧，dx表示被積函數(shù)y在積分區(qū)間0,2上的圖象與x軸圍成的平面圖形的面積sr2，即dx，所以()dxdx. (x)dx2.解析：dx表示圓心在(2,0)，半徑等于2的圓的面積的，即dx××22.xdx表示底和高都為2的直角三角形的面積，即xdx×222.原式dxxdx2.1設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)>0，則當(dāng)a<b時(shí)，定積分f(x)dx的符號(hào)(a)a一定是正的b一定是負(fù)的c0<a<b時(shí)是正的，a<b<0時(shí)是負(fù)的d以上結(jié)論都不對(duì)2. dx(b)a0 b1 c. d2解析：利用定積分的幾