26進(jìn)位制問題

1、第26講宀進(jìn)位制問題內(nèi)容概述】本講不著重討論n進(jìn)制中運(yùn)算問題，我們是關(guān)心 n這個(gè)數(shù)字，即為幾進(jìn)制對(duì)于進(jìn)位制我們要注意本 質(zhì)是：n進(jìn)制就是逢n進(jìn)一一 但是，作為數(shù)論的一部分，具體到每道題則其方法還是較復(fù)雜的.說明：在本講中的數(shù)字，不特加說明，均為十進(jìn)制.典型問題】 險(xiǎn)盪級(jí)數(shù)：#.7進(jìn)制的運(yùn)算必須是逢7進(jìn)I，如下:1. 計(jì)算：(234) 7 +(656) 7【分析與解】我們必須注意到2j 3?如+6?» ©r8 8 10io于是，和為(1223) 7 級(jí)數(shù)：車車2. 在幾進(jìn)制中有 4X 13=100.【分析與解】我們利用尾數(shù)分析來求解這個(gè)問題：不管在幾進(jìn)制均有(4) 10 X1

2、0=(12) 10 但是，式中為100,尾數(shù)為0.也就是說已經(jīng)將12全部進(jìn)到上一位.所以說進(jìn)位制n為12的約數(shù)，也就是12, 6, 4, 3, 2.但是出現(xiàn)了 4，所以不可能是 4, 3, 2進(jìn)制.我們知道 10 X (13) 10=(52) 10，因52 < 100,也就是說不到10就已經(jīng)進(jìn)位，才能是100，于是我們知道n <10.所以，n只能是6.3. 在幾進(jìn)制中有 125X 125=16324 .【分析與解】注意(125) 10 X (125) 10=(15625) 10，因15625 < 16324，所以一定是不到10就已經(jīng)進(jìn)位，才能得到16324,所以，n <

3、 10 .我們?cè)僮⒁馕矓?shù)分析，(5) 10 X10 10=(25) 10 , 16324的末位為4，于是25-4=21進(jìn)到上一位.所以說進(jìn)位制n為21的約數(shù)，也就是21 , 7 3.因?yàn)槌霈F(xiàn)了 6，所以n只能是7.挑靂級(jí)數(shù)：車卓4. 在三進(jìn)制中的數(shù)，則將其改寫為九進(jìn)制，其從左向右數(shù)第I位數(shù)字是幾？【分析與解】我們?nèi)绻ㄟ^十進(jìn)制來將三進(jìn)制轉(zhuǎn)化為九進(jìn)制，那運(yùn)算量很大.注意到，三進(jìn)制進(jìn)動(dòng)兩位則我們注意到進(jìn)動(dòng)了3個(gè)3,于是為9所以變?yōu)橛?進(jìn)1也就是九進(jìn)制.于是，兩個(gè)數(shù)一組，兩個(gè)數(shù)一組，每?jī)蓚€(gè)數(shù)改寫為九進(jìn)制，如下表：1212 0l20 11 01 10 12 11 213進(jìn)制55l64135479進(jìn)制所

4、以，首位為5.評(píng)注：若原為n進(jìn)制的數(shù)，轉(zhuǎn)化為n k進(jìn)制，則從右往左數(shù)每k個(gè)數(shù)一組化為n k進(jìn)制.女口： 2進(jìn)制轉(zhuǎn)化為8進(jìn)制，23=8,則從右往左數(shù)每 3個(gè)數(shù)一組化為8進(jìn)制.10 100 001101 2進(jìn)制24158進(jìn)制2=(2415) 8.級(jí)數(shù)：車車卓5. 在7進(jìn)制中有三位數(shù)abc，化為9進(jìn)制為cba，求這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少？【分析與解】我們還原為十進(jìn)制(abc)7 = a x f+b x7+c=49a+7b十c ； ( cba) 9 = c x 92+ b x9+a =81 c+9b + a .于是 49a +7b + c =81c +9 b + a ； 48 a =80c+2 b，

5、即 24a =40c + b ；因?yàn)?4a是8的倍數(shù)，40C也是8的倍數(shù)，所以b也應(yīng)該是8的倍數(shù).于是b=0或8，但是在7進(jìn)制，不可能有 8這個(gè)數(shù)字.于是b=0，所以24 a =40 c，則3a=5c ；所以a為5的倍數(shù)，c為3的倍數(shù).所以，a=0或5，但是，首位不可以是 0，于是a =5, c=3；所以(abc) 7 =(503)7 =5X 49+3=248.于是，這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為248.畫級(jí)數(shù)：車車變窗"6. 在6進(jìn)制中有三位數(shù)abc，化為9進(jìn)制為cba，求這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少？【分析與解】(abc) 6=a x 62+ b x6+c=36a+6b+c ；( cba)

6、 9 = c x92+ b x 9+a=8ic+9b + a .所以 36 a +6b + c =8lc +9 b + a ；于是 35 a =3b+80c ；因?yàn)?5a是5的倍數(shù)，80c也是5的倍數(shù)所以3b也必須是5的倍數(shù)，又(3 , 5)=1 . 所以，b=0或5. 當(dāng) b=0，貝y 35a=80c ;貝卩 7a =l6c ； (7, 16)=1，并且 a、c 豐0,所以 a =16, c=7：但是在6,9進(jìn)制，不可以有一個(gè)數(shù)字為16. 當(dāng) b=5，貝y 35a =3X 5+80 c ;貝卩 7a=3+16c ; mod 7 后，3+2c 三0c=2.所以c=2或者2+7 k( k為整數(shù))

7、因?yàn)橛?進(jìn)制，所以不可能有 9或者9以上的數(shù)，于是 于是，35a=15+80X 2; a =5.2于是(abc) 6 =(552) 6=5X6 +5X6 +2=212.所以.這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為212.7. N是整數(shù)，它的b進(jìn)制表示是777，求最小的正整數(shù) b，使得N是十進(jìn)制整數(shù)的四次方.【分析與解】 我們將b進(jìn)制中數(shù)改寫為10進(jìn)制，貝U (777) b=7X b2+7X b+7；則有 7X b2+7X b+7=x4,我們知道N是7的倍數(shù)，所以x4也是7的倍數(shù)，又7為質(zhì)數(shù)，所以X是7的倍數(shù).242于是，令 x=7t，貝y 7X b +7X b +7=24011 ,則 b +b+1=343t

8、當(dāng) t = 1 時(shí)，6。b2+b+1=343, b( b+1)=342，則 b=18;因?yàn)閠最小，所以b也是最小的.所以有最小在18進(jìn)制有(777) 18 =(7 4 ) 10 .錮國級(jí)數(shù)：車車車車&設(shè)1987可以在b進(jìn)制中寫成三位數(shù) Xyz，且X y z =1+9+8+7,試確定出所有可能的 X、【分析與解】我們注意(xyz)b=b2xFy »1987I x+y+z=1+9+8+7-得：(b2-1) x+( b-1) y =1987-25 .則(b-1)( b+1) x+(b-1) y =1962,即(b-1)( b+1) x + y=1962 .所以，1962是(b-1)

9、的倍數(shù).1962=2X 9X 109:當(dāng)b-i=9時(shí)，b=io,顯然不滿足；當(dāng) b-1=18 時(shí)，b=19，則(b-1)( b+1)x + y=18 x (20 x + y )=1962 ;貝9 20x+y=109,fb=19所以,(不滿足),x =5y =9z=11顯然，當(dāng)b=109不滿足，b=2x 109不滿足，當(dāng)b=9x 109也不滿足.于是為(59B) 19 =(1987) 10 , B代表 11.9. (1)證明10201在大于2的任何進(jìn)制的記數(shù)法中，都是一個(gè)合數(shù).(2)證明10101在任何進(jìn)制的記法中，都是一個(gè)合數(shù).【分析與解】(1)設(shè)在b進(jìn)制，則(10201) b=i x b 4

10、+2x b 2+1=( b 2+1);所以不管在何進(jìn)制，均是一個(gè)非1的完全平方數(shù)，當(dāng)然是一個(gè)合數(shù).(2) 設(shè)在 a進(jìn)制，貝U (10101) a=1x a 4+1x a 2 +1=( a 2+1) 2 - a 2=( a 2+1- a)( a 2+1 + a)；可以將其表達(dá)為兩個(gè)均不為 1的整數(shù)乘積，顯然合數(shù).輪敎級(jí)數(shù):車車車*10. 下面加法算式中不同字母代表不同的數(shù)字，試判定下面算式是什么進(jìn)制， 【分析與解】于是，我們知道n=4,所以為4進(jìn)制，ABC+ B D CB D C DA B、C、D的和為多少A + 8B DCC+A11DC CDCD1D_CDC4O0.庚以.一宦 有進(jìn)位.于是”=

11、2CATc+ 10c1 0c0于是C=2削進(jìn)也制為；!A 12+10210203 12+ 102 20則 A+B+C+D=3+1+2+0=611. 稱n個(gè)相同的數(shù)a相乘叫做a的n次方，記做a n，并規(guī)定a0=l .如果某個(gè)自然數(shù)可以寫成2的兩個(gè)不同次方(包括零次方)的和，我們就稱這樣的數(shù)為“雙子數(shù)”，如9=23+2°, 36=2 5 +22它們都是雙子數(shù)，那么小于1040的雙子數(shù)有多少個(gè)？【分析與解】我們注意到與二進(jìn)制的聯(lián)系：(9=23+20) 10=(1001) 2，(36=2 5+22) 10 =(100100) 2，寫成2的兩個(gè)不同次方(包括零次方)的和，這樣的數(shù)改寫為二進(jìn)制后

12、只含有2個(gè)1，我們知道：4(1040=2 10+2 ) 1022，這樣二進(jìn)制為11位數(shù)，但是11位數(shù)有限制；我們先看10位數(shù)，于是(* * * * * * * * * * )，這樣10位數(shù)，選擇2個(gè)數(shù)位填1,其他為0，所以為cb ；再考慮11位數(shù)，于是(1000001 * * * * ) ，只有4個(gè)“*”和緊鄰的“ 1”于是有5種選擇；所以，共有C10 +5=50種選擇方法.所以這樣的“雙子數(shù)”為50個(gè).錮遐)級(jí)數(shù)：車車車車12. 一個(gè)非零自然數(shù)，如果它的二進(jìn)制表示中數(shù)碼 I的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則稱之為“壞數(shù)” 例如：18=( 10010) 2是“壞數(shù)”.試求小于1024的所有壞數(shù)的個(gè)數(shù).【分析與解

13、】我們現(xiàn)把1024轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制：10(1024)10=2 102.于是，在二進(jìn)制中為 11位數(shù)，但是我們只用看 10位數(shù)中情況.rH W )并且，我們把不足10位數(shù)的在前面補(bǔ)上0，如 1X10000 0 I中 = 0111 |則,I 5個(gè)1 5個(gè)或以上0丿2 I 9個(gè)1丿2 I 9個(gè) 1 丿2* 1'10個(gè)5j可以含2個(gè)1 , 4個(gè)1, 6個(gè)1, 8個(gè)1 , 10個(gè)1 .于是為 C0 C10 C1o Cw - Cw10 9 , 10 9 8 7 , 10 9 8 7 6 510 9 8 7 6 5 4 3 一= + + + +121 2 3 41 2 3 4 5 61 2 3 4 5

14、6 7 8=45+210+210+45+1=511于是，小于1024的“壞數(shù)”有511個(gè).觀國級(jí)數(shù)：車車車13.計(jì)算:疋2 xgx2003個(gè) 2瓦21 -7的余數(shù).【分析與解】2003 個(gè) 2:£2 1= 1000 0 1MO i 2003個(gè) 27=(111)2,所以 2、2&2孑、 X2 1十 7= 11_卜1 I - (111) 2I2003個(gè) 2初i 2003個(gè) 1 丿2(111) 2整除(111) 2, 2003-3=6672,所以余(11) 2=3.所以余數(shù)為3.14.計(jì)算:觀題級(jí)數(shù)：車車車13x30.K31 26 的余數(shù). '、2003 個(gè) 3J26=(2

15、22) 3 所以,( 3工3*3疋 3_1I2003個(gè)3J222.22003個(gè) 2-(222)3【分析與解】( )&1= i!0000-1=222.212003個(gè) 3)2003 個(gè) 3)1 2003個(gè) 2 丿3(222) 3 整除(222)3 , 2003-3: 6672,所以余 (22) 3= 8.所以余數(shù)為8.15.試求(2 2006 -1)除以992的余數(shù)是多少？【分析與解】我們注意到被除數(shù)與 2的次幕有關(guān)，所以，我們?cè)噲D通過2進(jìn)制來解決.我們通過左式的短除法，或者直接運(yùn)用通過2次幕來表達(dá)為2進(jìn)制：( )(992) 10=(1111100000) 2, (2 2006 -1) 2

16、= 中一< 2006個(gè) 1 72( )我們知道在2進(jìn)制中.申.10000.0 定能整除(1111100000) 2,<5個(gè)15個(gè)或以上0/2于是我們注意到| ,所以 申朋 丨=中"000.0 +111111丨I 5k個(gè) 1 5個(gè)或以上0丿2I 2006個(gè)1 ?2 1 2000個(gè)1 6個(gè)0丿2因?yàn)?000 個(gè) 16 個(gè) 0能整除(1111100000) 2,?2所以余數(shù)為(111111) 2=25+24+23+22+21+1=63,所以原式的余數(shù)為 63.16. 一個(gè)10進(jìn)制的三位數(shù)，把它分別化為9進(jìn)制和8進(jìn)制數(shù)后，就又得到了2個(gè)三位數(shù).老師發(fā)現(xiàn)這3個(gè)三位數(shù)的最高位數(shù)字恰好

17、是3、4、5,那這樣的三位數(shù)一共有多少個(gè)？【分析與解】 我們?cè)O(shè)(3 ab) 10 =(4 cd) 9=(5 ef) 8 ；2 2我們知道(4 Cd) 9在(400) 9(488) 9之間，也就是 4X95X9 -1，也就是324406;2 2還知道(5 ef) 8在(500) 8(577) 8之間，也就是 5X86X8 -1，也就是320383;又知道(3 ab) 10 在(300) 10 (399) 10之間.所以，這樣的三位數(shù)應(yīng)該在324383之間，于是有383-324+仁60個(gè)三位數(shù)滿足條件17. 三個(gè)兩位數(shù)恰構(gòu)成公差為6的等差數(shù)列，而在五進(jìn)制的表示中，這三個(gè)數(shù)的數(shù)字和是依次減少的那么符

18、合這樣要求的等差數(shù)列有多少個(gè)？【分析與解】 6寫成5進(jìn)制為(11) 5，設(shè)等差數(shù)列中最小的那個(gè)數(shù)表達(dá)為5制為(abc) 5，最大可為 (322) 5=99- 6X 2=87,最小可為(20) 5=1O.那么有(abc) 5、(abc)5+(11) 5、( abc) 5 +(22) 5的數(shù)字和依次減少.所以(abc) 5+(11) 5、( abc) 5+(22) 5在運(yùn)算時(shí)均必須有進(jìn)位，不難發(fā)現(xiàn)有(a24) 5、( a43) 511滿足,而a可以取0，1，2，于是共有6組符合要求的數(shù)列.級(jí)數(shù):18. 一袋花生共有2004顆，一只猴子第一天拿走一顆花生，從第二天起，每天拿走的都是以前各天的總和. 如果直到最后剩下的不足以一次拿走時(shí)卻一次拿走，共需多少天？ 如果到某天袋里的花生少于已拿走的總數(shù)時(shí)，這一天它又重新拿走一顆開始，按原規(guī)律進(jìn)行新