高數(shù)下期中考試

1、高等數(shù)學 (下冊) 期 中考試匯編(2013-5-5)、解答下列各題( 7 10 = 70分)x1. 設(shè) u =xy _ +ez，求 dz(!,2,o)322. 設(shè)曲線為r二r(t) =(t3,t2,t)，求它在對應(yīng)于t = 1的點處的切線方程和法平面方程2 2 23. 設(shè)有球面x y z 14，求它在(3,2,1)處的切平面方程和法線方程.4.設(shè)由方程2 2 2x 2y 3z xy-z-9 = 0 可確定 z = z(x, y)，求j2z,rv:xy在P(1,-2,1)處的值.2 2 25. 設(shè)積分區(qū)域11由拋物面z = x y及平面z = h 0所圍成。求111 z dv'五6.

2、計算二重積分I = JJ(1 一戀x2 + y2 )d er，其中D是由x2 + y2 = a2和x2 + y2 = ax及x = 0所圍在D第一象限的區(qū)域.1- y- yy 1-.1y7. 計算二重積分 I 二 12dy 1 eXdx、ndyexdx.4二t8. 在圓錐面Rz = h； x2 y2與z=h (R 0, h 0)所圍的錐體內(nèi)作一個底面平行于xoy面的最大長方體，求此長方體的體積.22339. 在一個側(cè)面為旋轉(zhuǎn)拋物面 4z = x y的容器內(nèi)裝有8二(cm )的水，現(xiàn)注入128二(cm )的水，問水 面比原來升高多少？10.求向量值函數(shù) f的導數(shù)，其中f - 'xcosy

3、,yex,sin(xz)】.82f、設(shè)z = f e ，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求< y丿三、討論函數(shù) f(x,y) = Jx2b2)Sinx20,=0在(0,0)點是否連續(xù)，是否可微=0四、設(shè)二是由曲面z = ： a2x2y2及z - x2 y2 轉(zhuǎn)動慣量Iz.a(a 0)圍成的空間立體，求'-1對oz軸的五、設(shè) f (t)在0,：式 0 玄 z 咗h, x2y2，'2-2)上連續(xù)，且滿足方程 f(t) =1亠III z2 f Q L224t所確定，求f (t).(2012-4-21)dv，其中門是由不等 丿填空題(每小題21 .曲線X =t ，5分，共20分)y =2

4、t, z = t上相應(yīng)于y = 2的點處的切線方程是2. u二zarctany在點A(1,0,1)處沿點A指向點B(3,-2,2)方向的方向?qū)?shù)為 x3曲面F(x, y, z) = x2 xy2 y3 - z 1 = 0，在點M (2,T,6)處的切平面方程為 2 24.若函數(shù)f (x, y) =2x ax xy 2y在點(1,T)處取得極值，則常數(shù) a二計算下列各題(每小題9分，共54分)1)2)3)4)11sin x計算 I = dyjy(1 +ex)dx x計算二重積分 "sin x2y2dxdy， D :二2 x2D22 y設(shè)z =x f (x,)，其中f具有連續(xù)的二階偏導數(shù)

5、，求x2 2求橢球面 -z2 =1被平面x y z = 0截得的橢圓長半軸與短半軸之長32在曲面 a x y z = 1 (a 0,b 0,c 0)上作切平面，使該切平面與三坐標面所圍成r-2蘭和二jx；x5.的體積最大，求切點的坐標:f ： 2f6設(shè)函數(shù)F (x, y) = x1 yf (x2 y2)，其中f (u)二階可導，求，求二重積分ex dx 訥3I = F (x, y)dxdy，其中D是由y =x , y =1,x = -1圍成的平面區(qū)域.D三.(9分)(學習工科數(shù)學分析者作(1),其余作(2)(2 2、x - y、2xy2) 設(shè) z 二 f (x, y)，由 x - y xeU

6、= 0所確定，求 dz四. (11分)討論函數(shù)f(x, y) =3. x2y在點(0,0)處是否連續(xù)，偏導是否存在，是否可微？五. (6分)已知u =u(： x2 y2)有連續(xù)二階偏導數(shù)，且滿足2= x2 y2試求函數(shù)u的表達式.excy(2011-4-23)1)設(shè)有二元向量值函數(shù)f (x, y)=，試求f在點(1,1)處的導數(shù)與微分.、填空題(每小題 5分共20分)X兀1 .函數(shù) f (x, y)二 e In sin(x-2y)，在(一 ,0)點處的全微分 dz 二422設(shè)u =2xy -z，則u在點(2,-1,1)處的方向?qū)?shù)的最大值為 1 1 1 、 (,)處的切平面方程為2 2 2-2

7、:z.2 =:X2 2 23設(shè)有橢球面x 2y - z =1，則它在點xz4 設(shè)z=z(x, y)由方程 In 所確定，則zy二單選題(每小題 5分，共20分)X =t1 在曲線 y二-t2的所有切線中，與平面x 2y z = 4平行的切線(z=t3A 只有1條 B 只有2條 C 只有2. lime"T cos(x y)d xd y 二(d兀B. 1/兀C. 1eIn x3條 D不存在).其中 D ：x2 + y2 蘭 r2.3設(shè)f (x, y)連續(xù),I = j dx.。 f (x, y)dy交換積分次序后為(eIn xI =dy 0 f (x, y)dxIn xeI = 0 dy

8、1 f(x,y)dxe1b. I = feydyf0f(x,y)dx1eD. I = 0dy ey f (x,y)dx4.函數(shù) f (x, y) = «0,B 連續(xù)sin 22x2 2y2),x2y2“x2y2在點（0,0）處（ ）A .無定義x2 y2 =0C 有極限但不連續(xù)D .無極限三、（10分）設(shè)函數(shù)f（u,v）可微,z = z(x, y)是由方程z xy二f （xz, yz）確定的可微函數(shù)，求z，二ex cy四、（10分）五、（10分）最短.討論函數(shù) f （x, y） = jxy|在（0,0） 處連續(xù)性、可導性、可微性 2 2 在曲面二：z = x 2y上求一點p（x

9、76;, y°, z°），使它到平面 二：x - y 2z 0的距離42d x _sin d y .x 2y計算二重積分I |Sin、x2 亠 y2 d xd y, D :二2 三 x2 亠 y2 三 4二 2.D八、（4分）（學習工科數(shù)學分析者作（1）,其余作（2）xt（1）求向量值函數(shù) f （x, y, z） =（xcosy, ye ,sin（xz）的 Jacobi 矩陣.2（2）求函數(shù)z = f （x, 2x y,x -3y）的梯度（f的偏導存在）. 2 2 2 2九. （6分）求拋物面 z =1 x y的一個切平面，使得它與拋物面及圓柱（x-1） y =1圍成的體積

10、最 小，試寫岀切平面方程并求岀最小體積六、（10分）七、（10分）2x計算 “ 1dx、xsindy(2010-5-8)填空題（每小題 4分，共20分）x設(shè) u =xy_+exyz，則 dz（120）=.x=t：設(shè) y =t2，則它在t =1所對應(yīng)點處的切線方程為z=t:22 2=In x y - z ，則 grad f (1,1,1)= 2xy -z2，則u在點（2,-1,1）處沿方向I二計算2.(x y)d 二x2 yR2J'3' 3的方向?qū)?shù)為計算題（每小題7分洪63分）2 2求曲面z二x y -1在點（2,1,4）的切平面方程和法線方程11 七1 t2 sin xy ,

11、計算 f1d y f 2 dx .'-.1y2、設(shè) z=xf 2x,I x，其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求-2:Z：xfyxy討論函數(shù)f （x, 丫）=二：'汶 y2 '【0,設(shè)有形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面的一容器x2y2 = 0在點（0,0）的偏導數(shù)及可微性.x2y2 =0，其中心軸截面與容器的截線方程為y=x2,現(xiàn)將長為I的細棒AB置于容器之中，試求細棒中點的最低位置 （設(shè)I <1）.6(學工科數(shù)學分析者作(1),其他作(2)(1)求向量值函數(shù)2求由方程x計算二重積分f=Fn“2-y2)in(xF)nT在點(1,1,1)T處的導數(shù).2 2 2z-2y - z -4x，2z

12、-5=0所確定的隱函數(shù) z的二階偏導數(shù)2.x11 .；x2 y2 d二，其中 D =( x, y) | 2x 込 x2 y2 込 4, x 亠 0, y 亠 0.D若二元函數(shù)z(x, y)在xoy平面上的任意一個有界閉區(qū)域內(nèi)存在一階連續(xù)的偏導數(shù)，且-z2 2 1'x z jdxd y，求函數(shù) z(x, y).d xd y = 2xz dxD；：xD設(shè)函數(shù)f(t)在0, ：)上連續(xù)，且滿足方程fJx2 +y2 Idxdy,求 f (t).22f(t)=e4 nx2 y2j4t2討論題(共17分)1.計算二元函數(shù)z = f(x,y)在點P(x°,y0)處對x的偏導數(shù)fx(x

13、76;, y°)時，可以先將y = y°代入 f (x, y)中,再求一元函數(shù)f (x, y0)在x°處對x的導數(shù),即fxgy。)= df (x,y0)三、dx，為什么x=xo2242.試通過討論函數(shù) f(x, y)=12x -8xyy的極值點，來說明當點(x, y)在過M0(x0,y0)的任一直線L上變動時，二元函數(shù)f (x, y)都在M 0(x0, y0)處取得極值，能否斷定該函數(shù)在 M 0 (x0, y0)處取得極值(2009-4-26 )2.、填空題(每小題3分，共15分)2 2若函數(shù)f (x, y) =2x ax xy 2y在點(1,-1)處取得極值，則

14、常數(shù) a =:z:.2xz =1 n(e»)，沿 -1,0方向的方向?qū)?shù)y3.4.5.1.曲線 x二cost, y二sin t, z二tan f 在點(0,1,1)處的切線方程是 交換二次積分的積分次序(其中f (x, y)為連續(xù)函數(shù))1x2220dx 0 f(x,y)dy “dx。 f(x,y)dy 二.設(shè)M(1,-1,2)是曲面z二f(x, y)上的一點，若fx(1,-1)=3，在任一點(x, y)處有 xfx(x, y) yfy(x, y) = f (x, y)，則曲面在 M處的切平面方程是 .、單項選擇題(每小題3分，共15分)4xy"+y0,函數(shù) f (x, y)

15、二 x2x2y22.3.-0在原點(0,0)間斷的原因是f (x, y)()=0B.在原點極限存在但在原點無定義D.在原點極限存在，但極限不等于原點的函數(shù)值 2y210在點 0(0,0)處(C.無極值x2y2A.在原點無定義C.在原點極限不存在函數(shù) f (x, y)二 2xy -3xA.取得極大值B.取得極小值設(shè) u =arctan 貝U gradu(11)y( 1 )D.不能判定是否取得極值1A.-21B.2(|x|乞 1)，則f(x2 y2)dv ()Df24.設(shè)f (u)是連續(xù)函數(shù)，平面區(qū)域D : 0乞y乞1 - xA.C.1Li 公20dx0 r02 2f(x y )dy1 2dr f

16、(Y)3B.D.5.比較I (x y)2 d二與 I2D11dyC Jc-00:!1dr002 2f(x y )dxf C?2)d t=(x y)3 d二的大小，其中D J(x,y)|(x-2)2 (y-2)12 ，則()A. h = I 2三、解答題(每小題B.丨1 I28分，共64分)c. 11 乞 I21.2.3.4._ 2求M和亠.x.:x: y求曲面 y 、目、z -2上任一點處的切平面與三個坐標軸的截距之和。11 XV計算二重積分 0 d x 3 d v .氣1 + v3設(shè) F(t)二 esin x y dxd y，其中 D =( x, y) |x2 y2 _t2，求 lim D呵

17、ty設(shè) z =arctan 丄x5.討論函數(shù)f (x, y)(x26.2 1y )sin p 2 x + y0,在原點(0,0)處的可微性.2設(shè)有一物體，它是由曲面密度- z，求此物體的質(zhì)量7.(學習工科數(shù)學分析者作，學習工科數(shù)學分析者作 求向量值函數(shù) f (x, y) = xy的導數(shù).2丿一2 2 2 設(shè)函數(shù)z = z(x, y)由方程F (x - y , yx2 yz- -x2 - y2和z = W8-x2 - y2所圍成，已知它在任意的點(x, y,z)處的m .2-z )=0所確定.其中F(u,v)可微，zFv - 0，求z zy x .:x: y-.28.設(shè) Z 二 f(x,y) ，

18、其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求dz及亠一乙.x:xy四、綜合題(6分)2 2在第一卦限內(nèi)作旋轉(zhuǎn)拋物面z=1-x - y的切平面，使得該切平面與旋轉(zhuǎn)拋物面2 2z=1-x -y(x_0, y _0)及三個坐標面所圍成的立體的體積最小，求切點坐標一.解答下列各題(每小題7分,共70分)21. 設(shè) f (x, y) =arcsin ,求 df (x, y).x222CZ2. 設(shè)由方程 x2 +2y +3z2 +xy -z-9 = 0可確定 z = z(x, y),求一°X (1,_2,1)2 23. 求曲面z=x y -1在點(2,1,4)的切平面與法線方程.4. 求曲線r = (sint,

19、t2,2t)在t = 0時的切線與法線方程。11 知 _y5. 設(shè)f連續(xù)，交換積分次序1 dy26. 計算二重積分.！ ! (x sin y 1)dxdyX2書2盤2 2 2l】是由拋物面z=x y及平面z = h 0所圍成，已知它的密度為 f(x, y,z) = z .試計f (x, y)dx.7. 設(shè)空間立體 算它的質(zhì)量8. 求 u = 2xy2- - z在點(2, -1,1)處的方向?qū)?shù)的最大值.9. 求曲線 r = (acost,asint,kt)的曲率.10. (學工科數(shù)學分析者做，其它做)設(shè) f(x,y)=(x2y2,exy)T,求 Df (1,1),df (1,1)設(shè)方程組f 2

20、2X +y =uvcu cv222 ,確定了函數(shù) u = u(x, y)和 v = v(x, y)求丁，xy = u - vex ex四.(8 分)(8 分)(7 分)(7 分)=1蘭設(shè) z = f(x2y,),其中 f C 設(shè) f (x, y)= <x2x y2 2 ,x y0 ,求蘭二.x ；x .yx2y2x2y2-0，試研究f (x, y)在(0,0)點處的連續(xù)性、可微性.-0求曲面Z =1 +x2 + y2 在點M 0 (1 13 的切平面與曲面z = X2 + y2所圍立體的體積。.設(shè)函數(shù)f (x,y,z)在閉球體1: x2 y2 zi 3上有連續(xù)的偏導數(shù)，且滿足條件：在內(nèi)

21、=1 蘭1 ,:z:x試求函數(shù)f (x, y, z)并證明 f (1,1,111 o7 < f (x, y,z)乞 13, (x, y,z)門(2007 年)7分，總計70分)、解答下列各題(每小題1、 設(shè)- f (2x y,xy)，其中f具有一階連續(xù)偏導數(shù)，求dz. 呂2、設(shè) z = arctan，- In ； x2 y2，求一z .xexeyx y3、求曲面2z 2z =8,在M0(2, 2,1)處的切平面和法線方程。4、 設(shè) f =x2 y2,exyT，求 Df (1,1),df (1,1)。(求 f 二 x+ y2 +z2 =6在(1,-2,1)處的切線和法平面方程。3 y3 -

22、3x2 - 3y2 的極值)2x5 .求曲線K + y + z = 06 若f(r)為可微函數(shù)，其中 rx2 y2 z2，計算 gradf (r)。a2a-xdx0 -2 f (x, y)dy的積分次序。( a 0, f連續(xù))。a a -x8 設(shè)有一物體由曲面 z=- x2 y2和z f 8 - x2 - y2所圍成，已知它在任意一點M (x, y, z)處的密度-z，求此物體的質(zhì)量。9.一質(zhì)量分布均勻(密度為常數(shù))的物體1由曲面z = x2 y2,x2 y2 =1及z = 0所圍成，求此物體的質(zhì)心坐標。7在直角坐標系下，交換二次積分1 阪10 計算 0dx xy2e2 dy o二、(8分)設(shè)

23、z = z(x, y)由方程22Zy - z = yf ()確定，其中f具有一階連續(xù)偏導數(shù)，求yjz；zy x .:x-y2x y(8 分)設(shè) f (x, y) = x2 y2'丨0,四、(8分)在第一卦限內(nèi)作旋轉(zhuǎn)拋物面2 2三、(x, y) = (0,0)£，試討論f在點(0,0)處的連續(xù)性和可微性.(X, y)= (0,0)2 2z =1 -x y的切平面，使得該切平面與旋轉(zhuǎn)拋物面z =1xy (x 0, y 0)及三個坐標面所圍成的立體的體積最小，求切點的坐標。五、(6分) 設(shè)f(0,0)呷 »2 2f (x, y)在單位圓x y <1上有連續(xù)的一階偏導

24、數(shù)，且在邊界上取值為零，證明: xfx yfv2/dxdy，其中D為圓環(huán)域；_x y _1.x y(2006 年)、解答下列各題(每小題 7分，總計70分)1、設(shè)z = f (x,2x y,xy)，其中f具有一階連續(xù)偏導數(shù),2、設(shè) z =求 dz.；：2z2:x3、求曲線4、求曲面f (xy -)，其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求x2 一r(t)二t, -t ,3t -1上一點處與平面 x 2y 4平行的切平面方程。5的平行于平面222 2 zx y22x 2y的切平面方程。5、交換二次積分的積分次序:2odyy4 _yf (x, y)dx。16、計算0dx xe 2 dy7、設(shè)f (U)是連續(xù)函

25、數(shù)，試將2 x0叭f G. x2 y2)dy在極坐標系下為二次積分。8、設(shè)函數(shù)f (x, y, z) = xy zx zy - x - y - z 6，問在點M (3,4,0)處沿怎樣的方向I'， f的變 化率最大？并求此最大變化率。9、 計算二重積分.I (x2 y2)dxdy，其中D為x2 y2 =2x所圍平面區(qū)域。D(注學習工科分析基礎(chǔ)的作(1)，其余作(2)In 22證明等式.1.1 f (xy)dxdyf (u)du，其中D是由直線y = x, y = 2x與雙曲線D2xy =1,xy =2所圍成的位于第一象限的閉域。23把正數(shù)a分成三個正數(shù) x, y, z之和，并使f(x,

26、 y, z) = xy z取得最大值。:z10、(1)(2)二、(8 分)三、(8分)設(shè)z = y f (x - y , xy)其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求cxcy1 1從平面薄圓板 x2 "(y1)2 -1的內(nèi)部挖去一個園孔 x2 (y )2后，得到一個薄板,4若其上名點處的密度為二、x2 y2，求此薄板的質(zhì)量。xy22 ,x y0,(7分)若點M0(X0,y0,Z0)是光滑曲面 必定過坐標原點.四、(7分)證明：f(x, y)=(X,y)W0)在點(0,0)處偏導數(shù)存在但不可微。五、(x,y) =(0,0)F (x, y, z) = 0上與原點距離最近的點，試證過點M °

27、;的法線（2004 年）、解答下列各題(每小題6分，總計12 分)1、求曲線 x = a cost, y 二 bsi n t, z = ct 在點b 二a,2,6 C處的切線方程.- 掙2 將 I = ：02 dx 0 f（x,y）dy Rdx 0RR2 _x2f (x, y)dy化為極坐標系中先對 r后對日的二次積分。二、解答下列各題(每小題1 在曲線x二t, y322、求曲面x '三、（8 分）計算26分，總計12分)2 2=2t , z = 3t上求點，使該點處曲線的切線平行于平面8x 7y - 4z = 1 .y2 xz z =3在點(1,1,1)處的切平面方程.I 二 | x

28、2y2 -2 | dxdy，其中 D : x2y2 乞 3.D四、（7 分）五、（7 分）六、（7 分）；z : z:x ；y設(shè)函數(shù)f (t,s)具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，而u = f (x y z，xyz)，求du.f 2xy/、 /cc、_x2 +y4 ,(x, y) = (0'0) 在點(0,0)處不連續(xù)，但存在一階偏導數(shù)0,(x,y)=(0,0)=f (x)g(y), f (x)0，其中f, g為可微函數(shù)，求證明：f (x, y)壬七、（9 分）八、（9 分）2x22在橢球面y - z =1上求距離平面3x 4y T2z = 288的最近點和最遠點.96設(shè)y = y(x), z =

29、 z(x)是由方程z = xf (x y)和F (x, y, z)二0所確定的函數(shù)，其中f和Fdzdx.分別具有一階連續(xù)導數(shù)和一階連續(xù)偏導數(shù)，求九、2 2 2(9分)設(shè)球體x y z < 2az (a 0)中每點的質(zhì)量密度與該點到坐標原點的距離平方成反比試求該球體的質(zhì)量與質(zhì)心 .2 y_ b2 十一、( 8分)設(shè)由y =1 nx, y = 0及x二e所圍的均勻薄板(密度 的直線旋轉(zhuǎn)時轉(zhuǎn)動慣量最小？十、2x(9分)試求正數(shù)的值，使得曲面 xyz - 與曲面二a2-z2 -1在某點相切.c' - 1)求此薄板繞哪一條垂直于x軸（2003 年）、解答下列各題（每小題5分，總計15分）w

30、h-*ffc>Li.fc-rfc-fc-r1、設(shè) a= ij，b= ij - 4k，c= i - j,求（ab）c.2兀22、求曲線 x =t , y =cost,z =sint 在點（，1622 2,)處的切線方程.2 22x3、設(shè)f (x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換累次積分J0dxJx f (x, y)dy的積分次序.二、解答下列各題(每小題6分，總計12分)1、試求平行于x軸，且過點(3,-1,2)及(0,1,0)的平面方程.I 二 x2 y2d二.D四、(7 分)設(shè) f (x, y)=/ xcfx +(y 1)arccos ，求(0,1),_切丿次(0,1).2、試求曲面z _ez 2xy =3在點(1,2,0)處的切平面方程. 2 2 2 2三、(8分)設(shè)區(qū)域D由x y < 1,x y < 2x及y_0所確定，計算二重積分五、(7 分)設(shè) z =(1 xy)x，求 dz.六、(7分)一直線在平面 二:x 2y = 0上，且和兩直線xI1 :-1=_y-4-1x -4 y _ 1 z-2I2:都相交，求該直線的方程2 0-133 2D:Q< x < 2,0乞y乞2上的最小值和最大值.七、(9分)求函數(shù)z