中考數(shù)學(xué)試題分類學(xué)科結(jié)合與高中銜接問題

1、第42章 學(xué)科結(jié)合與高中銜接問題、選擇題1. （2011臺灣全區(qū)，30）如圖（十三），AABC中，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，分別交 AC、AB于D、E兩點，并連接BD、DE .若/ A=30； AB = AC ,則/ BDE的度數(shù)為何?A. 45B. 52. 5 C. 67. 5D.752. （2011貴州安順，9,3分）正方形ABCD邊長為1,E、F、G、H分另lJ為邊AB、BC、CD、DA上的點，且AE=BF=CG=DH .設(shè)3.（2011河北，11, 3分）如圖4,在矩形中截取兩個相同的圓作為圓柱的上、下底面，剩余的矩形作為圓柱的側(cè)面，剛好能組合成圓柱.設(shè)矩形的長和寬分別為y和x,則

2、y與x的函數(shù)圖象大致是（圖4【答案】AOABC是菱形,四邊形3. （2011重慶市潼南，10,4分） 如圖，在平面直角坐標系中,點C的坐標為（4,0） , / AOC= 60 ,垂直于x軸的 直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長 度的速度向右平移，設(shè)直線 l與菱形OABC的兩邊分 別交于點 M,N （點M在點N的上方），若 4OMN 的面積為S,直線1的運動時間為t秒（0qw4，則 能大致反映S與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是1硒圖【答案】C4. （2011臺灣臺北，23）如圖（八），三邊均不等長的ABC,若在此三角形內(nèi)找一點 O,使得 OAB、 OBC、OCA的面積均相等。判斷下列作法何者正

3、確？A耽入）A .作中線AD ,再取AD的中點OB.分別作中線 AD、BE,再取此兩中線的交點 OC.分別作AB、BC的中垂線，再取此兩中垂線的交點OD.分別作 A、 B的角平分線，再取此兩角平分線的交點O【答案】B二、填空題三、解答題1. （2011重慶某江，26, 12分）在如圖的直角坐標系中，已知點 A （1, 0） ; B （0, -2）,將線段AB繞點A按逆 時針方向旋轉(zhuǎn) 90至AC.求點C的坐標；1 右拋物線y -x2 ax 2經(jīng)過點c.2求拋物線的解析式；在拋物線上是否存在點 P （點C除外）使4ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明

4、理由.0B【答案】：解：（i）過點C作CDx軸，垂足為D, 在 AACD 和 ABAO 中，由已知有 ZCAD + Z BAO=90,而 / ABO+ / BAO = 90，/CAD = /ABO,又 /CAD = /AOB = 90,且由已知有 CA=AB,AACDABAO,CD = OA= i,AD = BO= 2,點C的坐標為（3, 1）（2）二.拋物線y3a 2，解得i.拋物線的解析式為y -x212ix2解法一：i）當A為直角頂點時CA至點Pi,使APiAC AB,則 ABPi是以AB為直角邊的等腰直角三角形如果點Pi在拋物線上，則Pi滿足條件，過點Pi作Pi Ex軸,APi = A

5、C, / EAR =Z DAC , / REA = / CDA = 90 ,EP1 EP1AA DCA , . . AE = AD=2, EP1=CD=1,可求得Pi的坐標為（1,1）,經(jīng)檢驗Pi點在拋物線上，因此存在點Pi滿足條件;ii）當B點為直角頂點時,過點B作直線LBA,在直線L上分別取BP2 BP3 AB ,得到以AB為直角邊的等腰直角 ABP2和等腰直角 ABP3,作P2F，y軸，同理可證 BP2FABOP2滿 P2FBO 2, BF=OA=1,可得點P2的坐標為（一2, 1）,經(jīng)檢驗P2點在拋物線上，因此存在點足條件.同理可得點 P3的坐標為（2, 3）,經(jīng)檢驗P3點不在拋物線上

6、.ABP1 和 ABP2綜上：拋物線上存在點 R（1,1）, P2 （2, 1）兩點，使得是以AB為直角邊的等腰直角三角形.解法二：（2）（如果有用下面解法的考生可以給滿分）i）當點A為直角頂點時，易求出直線AC的解析式為y解之可得P,（1,1）（已知點C除外）作FE x軸于E,則 AE = 2, RE =1,由勾1 21-x- x22股定理有又AB= /5,AP1 AB,P1AB是以AB為直角邊的等腰三角形;B點為直角頂點時，過 B作直線L/AC交拋物線于點 P2和點P3,易求出直線L的解析式為y2,2x 2解得x12或x241 21-x-x22P2 ( 2, 1),P3 （4, 4）作P2

7、F，y軸于F,同理可求得BP2 55 ABAB為直角邊的等腰三角形作P3H y軸于H,可求得 BP333 RtA ABP3不是等腰直角三角形，點P3不滿足條件.綜上：拋物線上存在點 P|（1,1）, P2 （2, 1）兩點，使得 ABP1和ABP?是以角AB為直邊的等腰直角三角形.5 2172. （2011廣東鋁22, 9分）如圖,拋物線y 4x Tx 1與y軸交于點A,過點A的直線與拋物線交于另點B,過點B作BC，x軸，垂足為點 C （3, 0）.（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；（2）動點P在線段OC上，從原點。出發(fā)以每鈔一個單位的速度向 C移動，過點P作，x軸，交直線AB于點M,拋物線于點N

8、,設(shè)點P移動的時間為t秒，MN的長為s個單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 t的取值范圍；（3）設(shè)（2）的條件下（不考慮點 P與點。，點G重合的情況），連接 CM, BN,當t為何值時，四邊形 BCMN 為平等四邊形？問對于所求的t的值，平行四邊形 BCMN是否為菱形？說明理由.5 c 17【斛】（1）把x=0代入y -x 一x 1 ,得y 144，一 一 5 2 17.5把 x=3 代入 y x 一 *1,得丫 一，4425、.A、B兩點的坐標分別（0, 1）、（3, 一）2設(shè)直線AB的解析式為y kx b ,代入A、B的坐標，得b 13k bb 15 ,解得 1 k 22 ,1所以，y x

9、 125 2 17x 一 x441(2)把x=t分力1J代入到y(tǒng) - x 1和y215 c 17分別得到點M、N的縱坐標為1t 1和 5t2 17t2445 o 171MN= -t2 t 1-(t 1)442點P在線段OC上移動,理套舌印費?-0t 0),正方形 EFGH與4ABC重疊部 分面積為S.當t=1時，正方形 EFGH的邊長是 ;當t=3時，正方形 EFGH的邊長是 (2)當0VtW2時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；直接答出：在整個運動過程中，當t為何值時，S最大？最大面積是多少？【答案】(1)2; 6;6 .(2)當0vtw一時(如圖)，求 S與t的函數(shù)關(guān)系式是：S= S巨EFGH =(

10、2t)2=4t2； 11當gvtw6時(如圖)，求 S與t的函數(shù)關(guān)系式是：115S= S巨形 EFGH -除HMN =4t2 - X- X2t- - (2-t) 2 = 至 *+ t-；2 34242 2當6VtW2時(如圖)，求 S與t的函數(shù)關(guān)系式是:5S= SAarf -Saaqe = 1 x3(2+t) 2 -1 X3 (2-t) 2= 3t. 2 42 4由(2)知：若0 t,則當t=時S最大，其最大值 S=;1111121若_6vtW6,則當t=6時S最大，其最大值 S=18；11555若6 vtwz則當t=2時S最大，其最大值 S=6.5綜上所述，當t=2時S最大，最大面積是 6.

11、5. (2011山東臨沂，26, 13分)如圖，已知拋物線經(jīng)過 A ( 2, 0) , B (3, 3)及原點O,頂點為C.(1)求拋物線的解析式；(2)若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以 A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標；(3) P是拋物線上第一象限內(nèi)的動點，過點 P作PMx軸，垂足為 M,是否存在點P使得以點P、M、A為 頂點的三角形與 BOC相似？若存在，求出點 P的坐標；若不存在，請說明理由.解：(1) ;拋物線過原點O,可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+ bx,將 A ( 2, 0) , B ( 3, 3)代入，得4a2b=0,9a3b=3.解得a=1

12、, b=2.此拋物線的解析式為y = x2+ 2x.(3分)(2)如圖，當 AO為邊時,以A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形, .DE/AO,且 DE = AO = 2, (4 分)點E在對稱軸x= 1上，點D的橫坐標為1或一3, (5分)即符合條件的點 D有兩個，分別記為： D1, D2,而當 x=1 時，y=3;當 x=-3 時，y = 3,D1 (1, 3) , D2 (3, 3) . (7 分)當AO為對角線時，則 DE與AO互相平分，又點E在對稱軸上，且線段AO的中點橫坐標為一1,由對稱性知，符合條件的點D只有一個，即頂點 C ( 1, ,1),綜上所述，符合條件的點 D共有三

13、個，分別為 D1 (1, 3) , D2 (3, 3) , C (8分)1, ,1)36. (2011上海，24, 12分)已知平面直角坐標系 xOy (如圖)，一次函數(shù) y x 3的圖像與y軸交于點A,點M43在正比仞函數(shù) y x的圖像上，且 MO=MA.二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過點 A、M .2(1)求線段AM的長；(2)求這個二次函數(shù)的解析式；(3)如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數(shù)的圖像上，點3D在一次函數(shù)y -x 3的圖4像上，且四邊形 ABCD是菱形,求點的坐標.3【答案】(1) 一次函數(shù)y x 3,當x=0時，y=3.所以點A的坐標為(0, 3) 4

14、333正比例函數(shù)y 3x,當y =3時，x=1.所以點M的坐標為(1,3).222如下圖，AM= . 312 -13 .(2)將點 A (0, 3)、M (1, 3)代入 y=x2+bx+ c 中，得2c 3,31 b c .25 b 解得b 2c 3.即這個二次函數(shù)的解析式為(3)設(shè) B(0, m) (m0)是直線y=x上的一個動點，Q是OP的中點，以PQ為斜邊按圖(15.2)所示構(gòu)造等腰直角三角形PRQ.當4PBR與直線CD有公共點時，求x的取值范圍；在的條件下，記 4PBR與COD的公共部分的面積為 S.求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求 S的最大值。2解：.設(shè)以A(1,5)為頂點的二次函數(shù)解

15、析式為y a x 152 y a x 15的圖像經(jīng)過了點 B(5,5)2 一 一 11 a (5 1)5解得 a 一412人一 y即：y-x 1541 2119-x- x一424.如圖，作點A關(guān)于y軸對稱點A,與y軸交與點D,作點B關(guān)于x軸對稱點B,與x軸交與直C,連接AD,AC,CB,BA.四邊形ABCD的周長最小。A(1,5),B(5,1) A 1,5 , B 5, 1C四邊形 abcdab bc cd daAB AB,1 5 25 1 2.1 5 25 14,2 6210 2.如圖, A 1,5, B 5, 1 直線AB的解析式為y x 4，直線y x 4與直線y x的交點M 2,2 P

16、 x, y ,點Q為OP的中點2 2PBR與直線CD有公共點，M 2,2x 2. . x ，即 2 x 4 -2 21 2、一 ，、8. 2011湖北黃岡，24, 14分 如圖所不，過點 F 0, 1的直線y=kx + b與拋物線y - x交于M x，y14和 N (x2, y2)兩點(其中 x10,，無論m為何實數(shù)，該拋物線與 x軸總有兩個不同的交點.(2) 拋物線的對稱軸為直線x=3, m 3,拋物線的解析式為y12c5 1c2cx3x = x32,頂點C 坐標為（3, 2）,222解方程組x 1,-x11 25,解得1x3xy122x2y27,所以A的坐標為(1, 0)、B的坐標為(7,

17、 6) , x 36-30 -時 y=x 1=3 1=2, D 的坐標;為3, 2),設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為E,則E的坐標為(3, 0),所以 AE=BE=3, DE=CE=2, 假設(shè)拋物線上存在一點 P使得四邊形ACPD是正方形，則AP、CD互相垂直平分且相等， 于是P與點B重 合，但AP=6, CD=4, APCD,故拋物線上不存在一點 P使得四邊形ACPD是正方形. （I）設(shè)直線CD向右平移n個單位（n 0）可使得 C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，則直線CD的解析式為x=3 n ,直線CD與直線y=x1交于點M （3 n, 2 n）,又二 D的坐標為（3, 2） , C

18、坐標 為（3, -2） ,D通過向下平移4個單位得到C.C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，四邊形CDMN是平行四邊形或四邊形 CDNM是平行四邊形.（i）當四邊形 CDMN是平行四邊形，M向下平移4個單位得N,N 坐標為（3 n , n 2）,125125又 N 在拋物線 y x 3x上，n2 3n 33 n , 2222解得ni 0 （不合題意，舍去），n2 2,（ii）當四邊形 CDNM是平行四邊形，M向上平移4個單位得N,1 N 坐標為（3 n , n 6）,1 25125又 N 在拋物線 y x 3x上，n6 3n 3 3 n , 2222解得n1 1屈（不合題意，舍去），n2

19、 1 Vi7,（n ）設(shè)直線CD向左平移n個單位（n0）可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，則直線 CD的 解析式為x=3 n ,直線CD與直線y=x1交于點M （3 n , 2 n ）,又; D的坐標為（3, 2） , C坐標為（3, 2） ,D通過向下平移 4個單位得到C.C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，四邊形CDMN是平行四邊形或四邊形 CDNM是平行四邊形.（i）當四邊形 CDMN是平行四邊形，M向下平移4個單位得N,N 坐標為（3 n ,2 n ）,125125又 N在拋物線 y 1x2 3x 5, . - 2 n 1 3 n 3 3 n -,2222解得n1

20、0 （不合題意，舍去），12（不合題意，舍去），(ii)當四邊形 CDNM是平行四邊形，M向上平移4個單位得N,1 N 坐標為(3 n , 6 n),125125又 N在拋物線 yx 3x 上，6n 3 n 3 3 n 一， 2222解得ni1 717, n21 府(不合題意，舍去)，綜上所述，直線 CD向右平移2或(1 )個單位或向左平移(1 J17)個單位，可使得 C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形.10. (2011湖北襄陽，26, 13分)如圖10,在平面直角坐標系 xOy中，AB在x軸上，AB=10,以AB為直徑的。與y軸正半軸交于點 C,連接12BC, AC.CD 是。的切線

21、，ADLCD 于點 D, tan/CAD= a ,拋物線 V ax bx c過 A, B, C 二點.(1)求證：/ CAD = / CAB;(2)求拋物線的解析式；判定拋物線的頂點 E是否在直線 CD上，并說明理由；(3)在拋物線上是否存在一點 P,使四邊形PBCA是直角梯形.若存在，直接寫出點P的坐標(不寫求解過程)； 若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明：連接OC.CD 是。0的切線，. OCXCD 1分 ADXCD, . O C/ AD, O CA= Z CAD 2分 O C= O A, / O CA= / CAB ./ CAD = Z CAB. 3分 2) .AB 是。O的直徑，

22、/ ACB = 90r. OCAB, ./ CAB = /OCB, CAOs BCO, . OC OBOA OC即 OC2 OA OB . tanZCAO=tanZCAD= 1, ，OA=2OC2又 AB = 10, , oc 2 2OC(10 2OC).OO0OC = 4, OA=8, OB=2.A ( 8, 0) , B (2, 0),C (0, 4).,拋物線y ax2 bxc過A,由題意得4a 2b64a 8b14, 32(3)設(shè)直線DC 交 x 軸于點 F,易證AOCADC,，AD = AO = 8.1. OC/AD,設(shè)直線OFOCAFAD16F(,0).3,m416,即kk m03

23、m. F。CA FAD, DC的解析式為y kx m,則34410 .8(BF+5)=5(BF+10), BF 3225.3) 了得頂點25的坐標為E( 3,)410將( 3,25)代入直線DC4的解析式3) +-x 4 中，4 .3右邊(3)4左邊.，拋物線的頂點E在直線CD上.1113(3)存在.P( 10, 6) , P2(10, 36)11(2011山東東營，24, 12分)(本題滿分12分)如圖所示，四邊形 OABC是矩形，點A、C的坐標分別為(-3,0) , ( 0,1),點1 1、D是線段BC上的動點(與端點 B、C不重合)，過點 D做直線y -x b交折現(xiàn)OAB與點E。2(1)

24、記A ODE的面積為S,求S與b的函數(shù)關(guān)系式；(2)當點E在線段OA上時，且tanZ DEO= - o若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形 QAB1C12試探究四邊形O1AB1G與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，如不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由?！敬鸢浮?解(1)由題意得B (-3,1).若直線經(jīng)過點 A(-3,0)時，則b=一;2 5右直線經(jīng)過點 B(-3,1)時，則b= 一 ；2若直線經(jīng)過點 C(0,1)時，則b=1;311若直線與折線 OAB的交點在 OA上時，即1 vbw,如圖(1),此時E (-2b, 0) ,S=-OEgCO - 2b 1222若直

25、線與折線35OAB的交點在BA上時，即_ vbv _ ,如圖（222),此時點 E (-3, b-3) , D (-2b+2,1 )2SS矩-(SVOCD +SVDBE+SVOAE)1153-2b-21 + -5-2bb2222bb2u /3、b (1b -)22 35b(2pbP2)（2）如圖3,設(shè)O1A1與CB相交與點M , OA與C1B1相交與點N,則矩形 O1A1 B1 C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形 DNEM的面積。由題意知,DM / NE, DN / ME , 二.四邊形 DNEM為平行四邊形，根據(jù)軸對稱知，/ MED=/NED,又/ MDE=/NED,MD=ME ,

26、二.四邊形 DNEM 為菱形。垂足為 H,依題意知，tan/DEH=，DH=1 ,2HE=2 ,設(shè)菱形 DNEM的邊長為 a,則在RtA DHN中，由勾股定理知：a25-S矩dneM=NE gDH=4，矩形O1A1 B1 C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為1 2、一 ，、13. 2011湖北鄂州，24, 14分 如圖所不，過點 F 0, 1的直線y=kx+b與拋物線y - X交于M X1, y14和 N（X2, y2）兩點（其中 X1V0, X2V0）.求b的值.求X1?X2的值 -22 -分別過M、N作直線l: y=1的垂線，垂足分別是 Mi、Ni,判斷MiFNi的形狀

27、，并證明你的結(jié)論.對于過點F的任意直線 MN ,是否存在一條定直線 m,使m與以MN為直徑的圓相切.如果有，請法度出這條直線m的解析式；如果沒有，請說明理由.-41 -【答案】解：b=1xx -x x2 一、顯然 1和 2是方程組y yiyy2kx ii 2的兩組解，解方程組消元得 x4i 2一一，-x2 kx i 0 ,依據(jù)根與系數(shù)關(guān)4由題知Mi的橫坐標為xi, Ni的橫坐標為x2,設(shè)MiNi交y軸于Fi,則FiMi?FiNi = xi?x2=4,而FFi=2,所以FiMi?FiNi=FiF2,另有/ MiFiF=/FFiNi=90,易證 RtA MiFFi RtA NiFFi,得/ MiF

28、Fi= Z FNiFi,故Z MiFNi=Z MiFFi+Z FiFNi = Z FNiFi+Z FiFNi=90,所以 MiFNi 是直角三角形.存在，該直線為 y= - i.理由如下：直線y=- i即為直線M iNi2/ i 22m （一 m i）-m2 i,4i oi o如圖，設(shè)N點橫坐標為 m,則N點縱坐標為一m2,計算知NN i = - m2 i , NF= 44得 NNi=NF同理 MM i=MF .那么MN=MM 1+NN1,作梯形MMiNiN的中位線PQ,由中位線性質(zhì)知 PQ=1 (MM1+NN1) =- MN ,即圓心22到直線y= 1的距離等于圓的半徑，所以y=1總與該圓相

29、切.214. (2011廣東湛江28,14分)如圖，拋物線 y x bx c的頂點為D( 1, 4),與y軸相交點C(0, 3),與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊)(1)求拋物線的解析式;(2)連接AC, CD, AD,試證明 ACD為直角三角形;(3)若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F,使以A,B,E,F四點為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在，求出滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由.1)1)2,所以拋物線的解析式為x2 2x 3 ；(2)因為2x3,可得A(3,0),所以有AC2 (0AD2 ( 1DC2 (03)23)2 1)23)218,(4)2(3 4)220

30、,2.所以AD2DC2 AC2,所以ACD為直角三角形;2(3)可知AB 4,假設(shè)存在這樣的點 F,設(shè)F(x0,x0 2x0 3),所以E(1,Xo22x0 3),要使以A,B,E,F四點為頂點的四邊形為平行四邊形，只需要AB EF 4,即|x0 1| 4,所以Xo 3或x05,因此點F的坐標為(3,12)或(5,12)。215. (2011山東棗莊，25, 10分)如圖，在平面直角坐標系xoy中，把拋物線y x向左平移1個單位，再向下于點C ,頂點為D .(1)寫出h、k的值；(2)判斷4ACD的形狀，并說明理由；(3)在線段AC上是否存在點M，使AAOM s A ABC ?若存在，求出點

31、M的坐標；若不存在，說明 理由.解： y (x h)2 k的頂點坐標為D (1, 4),h 1, k=-4 . 2 分, /2 (2)由(1)得 y (x 1)4.2當 y 0時，(x 1)4 0 .解之，得x13, x2 1 . A( 3,0), B(1,0).又當 x 0 時，y (x 1)2 4 (0 1)2 43,.C點坐標為0,-3 .又拋物線頂點坐標D 1, 4,作拋物線的對稱軸 x 1交x軸于點E, DFy軸于點F .易知在 RtAAED 中,AD220;在 RtAAOC 中,AC23318;在 RtACFD 中,CD21212;AC2 CDAAACD是直角三角形.(3)存在.作

32、OM/ BC交AC于M, M點即為所求點.由(2)知， AOC為等腰直角三角形，BAC 45 , AC 壓 32r1吩16.（2011湖南湘1M市，26,10分）（本題滿分10分）已知，AB是。的直徑,AB=8，點C在OO的半徑OA上運動，PC LAB ,垂足為 C, PC=5, PT為。O的切由蟲OM zABC,得公0 AMAB AC即4篝人乂苧呼過M點作MG AB于點G ,則8 9：81 99AG MG 1 J OG AO AG 3 -2.16 44又點M在第三象限，所以3 9、 M (,).4 4線，切點為T.如圖，當C點運動到O點時，求PT的長;如圖，當C點運動到A點時，連結(jié) PO、B

33、T,求證：PO/BT;y , AC x,求y與x的函數(shù)關(guān)系式及 y的最小值.如圖，設(shè)PT2【答案】解：（1）連接OT,圖當C點運動到。點時，: PT為。的切線，. OT PT,.在 RtaPTO 中，PT JPO2 OT2 POO2 (-AB)2 J52 42 3.(2)連接AT,當C點運動到A點時，: PCXAB, PA是。O的切線. PT 為。O 的切線，PA=PT、PO 平分/ APT , POXAT. . AB 是。的直徑，ATB 是直角，即 BT AT ,.PO/BT.連接 OP、OT。 AC x, CO OA AC 4 x.222 .在 Rt PCO 中，po2 pc2 co2在 RSPOT 中，PO2PT2 OT2PT242, PT2 42