【KS5U解析】上海市金山區(qū)2020屆高三二模考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、上海市金山區(qū)2020屆高三二模數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果1.集合，則_【答案】【解析】【分析】計(jì)算出，由交集概念即可得解.【詳解】由題意，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.函數(shù)的定義域?yàn)開.【答案】【解析】【分析】將函數(shù)化簡為,即可求得答案.【詳解】化簡可得:,定義域?yàn)?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求函數(shù)的定義域,解題關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)定義域的求法,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.是虛數(shù)單位，則的值為_【答案】【解析】【分析】由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算即可得解.【詳

2、解】由題意，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及模的求解，屬于基礎(chǔ)題.4.已知線性方程組的增廣矩陣為，若該線性方程組的解為，則實(shí)數(shù)_【答案】2【解析】【分析】由題意可得，是方程的解，即可得解.【詳解】由題意可得，是方程的解，代入可得.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了線性方程組增廣矩陣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù)，則_【答案】0【解析】【分析】由題意可得，由反函數(shù)的概念可得，代入即可得解.【詳解】由題意，則，所以.故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查了行列式的計(jì)算與反函數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.6.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則實(shí)數(shù)_【答案】【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)結(jié)合題意可得，即

3、可得解.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)，若，則_【答案】【解析】【分析】令，可得為奇函數(shù)，求得后，即可得，即可得解.【詳解】令，則，為奇函數(shù)，又，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性及對數(shù)運(yùn)算、三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了構(gòu)造新函數(shù)的能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.8.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前n項(xiàng)和為，則_.【答案】【解析】【分析】先對數(shù)列求和得到，再求極限.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的求和問題，考查了等比數(shù)列的求和公式，考查了極限的求法，屬于基礎(chǔ)題.9.

4、甲、乙、丙三個(gè)不同單位的醫(yī)療隊(duì)里各有3人，職業(yè)分別為醫(yī)生、護(hù)士與化驗(yàn)師，現(xiàn)在要從中抽取3人組建一支志愿者隊(duì)伍，則他們的單位與職業(yè)都不相同的概率是_（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）【答案】【解析】【分析】由題意求出所有選法的個(gè)數(shù)及符合要求的選法個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式即可得解.【詳解】由題意，從9人中隨機(jī)抽取3人，共有種選法；要求從中抽取3人中的單位與職業(yè)都不相同，共有種選法；則所求概率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了計(jì)算原理的應(yīng)用及古典概型概率的求解，屬于基礎(chǔ)題.10.若點(diǎn)集，則點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積是_【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件為，進(jìn)而可得點(diǎn)表示以集合b表示的矩形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)為圓心，1為

5、半徑的圓面，畫出點(diǎn)集表示的區(qū)域后，即可得解.【詳解】由，可得，又，所以點(diǎn)表示以集合b表示的矩形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓面，如圖所示，點(diǎn)集表示的是由4段圓弧及連接它們的四條切線圍成的區(qū)域，其面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了由不等式表示的平面區(qū)域的相關(guān)問題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.11.我們把一系列向量按次序排成一列，稱之為向量列，記作，已知向量列滿足，設(shè)表示向量與的夾角，若對任意正整數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積可得，即可得，進(jìn)而可得，求出的最小值后，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)

6、，等號成立，由可得，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量、數(shù)列及對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力和恒成立問題的解決，屬于中檔題.12.設(shè)為的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，（表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)），則的最小值為_【答案】【解析】【分析】令可得，則，構(gòu)造函數(shù)可得，進(jìn)而可得，轉(zhuǎn)化原條件可得所求即為點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方的最小值，再由點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)直線上，聯(lián)立方程后，求出交點(diǎn)后即可得解.【詳解】令，則，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的最大值為或，又，即，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)直線上，由解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，的

7、最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下二項(xiàng)式定理、數(shù)列及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑13.已知直角坐標(biāo)平面上兩條直線方程分別為，那么“”是“兩直線、平行”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分又不必要條件【答案】b【解析】【分析】根據(jù)兩條直線平行的條件，以及行列式運(yùn)算，可判斷必要不充分條件.【詳解】由題意，兩條直線平行，則且而，故“兩直線、平行”能推出“”，而反向不可推出，那么“”是“兩直線、平行”的

8、必要不充分條件故選：b【點(diǎn)睛】判斷充分必要條件：條件推結(jié)論，則充分條件；結(jié)論推條件，則是必要條件.14.如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底面為，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】如圖所示建立坐標(biāo)系，計(jì)算面積得到答案.【詳解】如圖所示建立坐標(biāo)系，根據(jù)題意：圖2中為直角梯形，.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了斜二測畫法求面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15.在正方體中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）a. b c. 向量與的夾角是d. 正方體的體積為【答案】d【解析】【分析】由空間向量線性運(yùn)算法則可得，即可判斷a；由、即可判斷b；由

9、、為等邊三角形即可判斷c；由可得，即可判斷d；即可得解.【詳解】正方體如圖，由正方體的性質(zhì)得,，故a正確；，由，可得平面，則，所以即，故b正確；由正方體性質(zhì)可得，易知為等邊三角形，所以，所以向量與的夾角是，故c正確；因?yàn)?，所以，故d錯(cuò)誤.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的幾何特征與空間向量的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由題意，畫出函數(shù)圖象的草圖，利用數(shù)形結(jié)合的方法找出當(dāng)函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍，即可得解.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函

10、數(shù)，的對稱軸為且周期為4，又時(shí)，可作出函數(shù)圖象的草圖，如下：若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則方程有3個(gè)實(shí)根，函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，解得，即當(dāng)直線與的圖象相切時(shí)切點(diǎn)為，此時(shí)，由圖象的對稱性可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，再由周期性可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn).故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性綜合應(yīng)用，考查了函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸思想與數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，下列必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)城內(nèi)寫出必要的步驟.17.已知四棱錐，底面，底面是正方形，是的中點(diǎn)，與底面所成角的大小為.（1）求四棱錐

11、的體積（2）求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由題意可得，由即可得解；（2）取的中點(diǎn)，連接、，由題意可得即為異面直線與所成角，分別計(jì)算出、后，利用余弦定理即可得解.【詳解】（1）底面，即為與底面所成的角，又，；（2）取的中點(diǎn)，連接、，如圖，是的中點(diǎn)，（或該角的補(bǔ)角）為異面直線與所成角，由（1）知，正方形的邊長為，在中，由余弦定理得，異面直線與所成角為.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐體積及異面直線夾角的求解，屬于基礎(chǔ)題.18.已知函數(shù)（1）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間：（2）當(dāng)，且，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意

12、結(jié)合三角恒等變換可得，令可得，即可得解；（2）由題意可得，進(jìn)而可得，根據(jù)二倍角的正弦公式即可得解.【詳解】（1）由題意，令，解得，令可得，故函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間為；（2）由可得解得，又，.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)與三角恒等變換的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19.隨著疫情的有效控制，人們的生產(chǎn)生活逐漸向正常秩序恢復(fù)，位于我區(qū)的某著名賞花園區(qū)重新開放.據(jù)統(tǒng)計(jì)硏究，近期每天賞花的人數(shù)大致符合以下數(shù)學(xué)模型.以表示第個(gè)時(shí)刻進(jìn)入園區(qū)的人數(shù)，以表示第個(gè)時(shí)刻離開園區(qū)的人數(shù)，設(shè)定每15分鐘為一個(gè)計(jì)算單位，上午8點(diǎn)15分作為第1個(gè)計(jì)算人數(shù)單位，即點(diǎn)30分作為第2個(gè)計(jì)算單位，即：依次類推，

13、把一天內(nèi)從上午8點(diǎn)到下午5點(diǎn)分成36個(gè)計(jì)算單位（最后結(jié)果四舍五入，精確到整數(shù)）（1）試分別計(jì)算當(dāng)天12：30至13：30這一小時(shí)內(nèi)，進(jìn)入園區(qū)的人數(shù)和離開園區(qū)的游客人數(shù).（2）請問，從12點(diǎn)（即）開始，園區(qū)內(nèi)總?cè)藬?shù)何時(shí)達(dá)到最多？并說明理由【答案】（1）14738，12800；（2）13點(diǎn)30分，詳見解析【解析】分析】（1）由分段函數(shù)的性質(zhì)，直接代入計(jì)算即可得解；（2）由題意可得，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究時(shí)，n的最大值即可得解.【詳解】（1）由題意進(jìn)入園區(qū)的人數(shù)，離開園區(qū)的人數(shù)；（2）由題意，當(dāng)，園區(qū)內(nèi)人數(shù)增多，園區(qū)內(nèi)人數(shù)減少，當(dāng)時(shí)，園區(qū)內(nèi)人數(shù)減少；令，則，易知單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

14、又，所以當(dāng)即13點(diǎn)30分時(shí)，園區(qū)內(nèi)總?cè)藬?shù)最多.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性及轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.20.已知?jiǎng)又本€與與橢圓交于、兩不同點(diǎn)，且的面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）若動(dòng)直線垂直于軸.求直線的方程；（2）證明：和均為定值；（3）橢圓上是否存在點(diǎn)，使得三角形面積若存在，判斷的形狀；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）不存在，詳見解析【解析】【分析】（1）由題意設(shè)直線，表示出點(diǎn)，后，利用即可求得m，即可得解；（2）分直線斜率是否存在分類討論；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立方程組可得，由弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式可得，化簡后可得，即可得

15、解；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，滿足題目要求，由（2）可得，進(jìn)而可得點(diǎn)、只能從四個(gè)點(diǎn)中選取三個(gè)不同的點(diǎn)，由這三點(diǎn)的連線中必有一條經(jīng)過原點(diǎn)，與題設(shè)矛盾，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，設(shè)直線，則點(diǎn)，所以，解得，所以，故所求直線方程為；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由（1）知，；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，則，消去得，所以，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以，整理可得，滿足，所以，；綜上，為定值1，,為定值2；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，滿足題目要求，由（2）得，解得，所以、只能從中選取，、只能從中選取，故點(diǎn)、只能從四個(gè)點(diǎn)中選取三個(gè)不同的點(diǎn)，而這三點(diǎn)連線中必有一條經(jīng)過原點(diǎn)，與矛盾，所以橢圓上不存在點(diǎn)、，使得三角形面積.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.21.若無窮數(shù)列滿足：存在，對任意的，都有（為常數(shù)），則稱具有性質(zhì)（1）若無窮數(shù)列具有性質(zhì)，且，求的值（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由.（3）設(shè)無窮數(shù)列既具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)，其中互質(zhì)，求證：數(shù)列具有性質(zhì)【答案】（1）6；（2）不具有；詳見解析（3）證明見解析；【解析】【分析】（1）由題意可得任意的，都有，可得，即可得解；（2）由題意可得，若