數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法DEA模型

1、一、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評(píng)價(jià)同類型組織（或項(xiàng)目）工作績(jī)效相對(duì)有效性的特殊工具手段。這類組織例如學(xué)校、醫(yī)院、銀行的分支機(jī)構(gòu)、超市的各個(gè)營(yíng)業(yè)部等，各 自具有相同（或相近）的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類組織之間的績(jī)效高低，通常采用投入產(chǎn)出比這個(gè)指標(biāo)，當(dāng)各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計(jì)量時(shí)，容易計(jì)算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進(jìn)行績(jī)效排序。但當(dāng)被衡量的同類型組織有多項(xiàng)投入和多項(xiàng)產(chǎn)出，且不能折算成統(tǒng)一單位時(shí)，就無法算出投入產(chǎn)出比的數(shù)值。例如，大部分機(jī)構(gòu)的運(yùn)營(yíng)單位有多種投入要素，如員工規(guī)模、工資數(shù)目、運(yùn)作時(shí)間和廣告投入，同時(shí)也有多種產(chǎn)出要素，如利潤(rùn)、市 場(chǎng)份額和成長(zhǎng)率。在這些

2、情況下，很難讓經(jīng)理或董事會(huì)知道，當(dāng)輸入量轉(zhuǎn)換為輸出量時(shí)，哪個(gè)運(yùn)營(yíng)單位效率高，哪個(gè)單位效率低。1.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法的主要思想一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)或者一個(gè)生產(chǎn)過程可以看成一個(gè)單元在一定可能范圍內(nèi)，通過投入一定數(shù)量的生產(chǎn)要素并產(chǎn)出一定數(shù)量的“產(chǎn)品”的活動(dòng)。雖然這些活動(dòng)的具體內(nèi)容各不相同，但其目的都是盡可能地使這一活動(dòng)取得最大的“效益”。由于從“投入”到“產(chǎn)出”需要經(jīng)過一努力實(shí)現(xiàn)自身的決策系列決策才能實(shí)現(xiàn)，或者說，由于“產(chǎn)出”是決策的結(jié)果，所以這樣的單元被稱為“決策單 元”（Decision Maki ng Units ， DMU ）?？梢哉J(rèn)為每個(gè) DMU都代表一定的經(jīng)濟(jì)含義，它的基 本特點(diǎn)是具有一定的輸入和

3、輸出，并且在將輸入轉(zhuǎn)換成輸出的過程中，目標(biāo)。1.2數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法的基本模型我們主要介紹DEA中最基本的一個(gè)模型一一 C2R模型。m項(xiàng)投入（輸入），設(shè)有n個(gè)決策單元（j = 1 , 2,，n ）,每個(gè)決策單元有相同的輸入向量為III, nTX j = （X1j,X2jHI,Xmj）:> 0, j = 1 , Z每個(gè)決策單元有相同的 s項(xiàng)產(chǎn)出（輸出），輸出向量為Ty j =（yij, y 211, y J > 0, j =1,2, ih, n即每個(gè)決策單元有 m種類型的“輸入”及 s種類型的“輸出”。Xij表示第j個(gè)決策單元對(duì)第i種類型輸入的投入量； yij表示第j個(gè)決策單元對(duì)第i種類

4、型輸出的產(chǎn)出量； 為了將所有的投入和所有的產(chǎn)出進(jìn)行綜合統(tǒng)一，投入量和一個(gè)產(chǎn)出量的簡(jiǎn)單生產(chǎn)過程，我們需要對(duì)每一個(gè)輸入和輸出進(jìn)行賦權(quán),出的權(quán)向量分別為：V = （ V1 , V2 , M L Vm ） 型輸入的權(quán)重，ur為第r類型輸出的權(quán)重。這時(shí)，則第j個(gè)決策單元投入的綜合值為即將這個(gè)生產(chǎn)過程看作是一個(gè)只有一個(gè)設(shè)輸入和輸。vi為第i類,U = (U1,U2,Hi,Us)TmS ViXij，產(chǎn)出的綜合值為=1sZ Ur yrj ，我r=1們定義每個(gè)決策單元 DMU j的效率評(píng)價(jià)指數(shù):hj =sluym無 ViXijI丄模型中Xjj，yij為已知數(shù)(可由歷史資料或預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)得到)，于是問題實(shí)際上是確定一

5、組最佳的權(quán)向量 V和U,使第j個(gè)決策單元的效率值 hj最大。這個(gè)最大的效率評(píng)價(jià)值是該決 策單元相對(duì)于其他決策單元來說不可能更高的相對(duì)效率評(píng)價(jià)值。我們限定所有的h.值j (j=1,2,n)不超過1,即max h.1。這意味著，若第 k個(gè)決策單兀h =1，則該決策單元相 j k對(duì)于其他決策單元來說生產(chǎn)率最高，或者說這一系統(tǒng)是相對(duì)而言有效的；若hk<1，那么該決策單元相對(duì)于其他決策單元來說，生產(chǎn)率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。根據(jù)上述分析，第j0個(gè)決策單元的相對(duì)效率優(yōu)化評(píng)價(jià)模型為: s h 一沁maxhj。- m無 ViXij。s.ts號(hào)<1,j =1,2,.,n三 Vi

6、 XijI =1V =(Vi,V2|,Vm j >0 u =(Ui,U2|,Us ) 3 0這是一個(gè)分式規(guī)劃模型，我們必須將它化為線性規(guī)劃模型才能求解。為此令t=vXj。則模型轉(zhuǎn)化為:smaxhj0=w 4 rYrwr z!"sm送卩rYrj 送WiXij蘭0 r rni三ms.t 任 WiXijo 二1i #j 二1,2,，n4 r，W*0, i =12.m；r =12., s寫成向量形式有：max% =丫0（Yj wTXj <0j =1,2,，ns.t JwTXo = 1>0線性規(guī)劃中一個(gè)十分重要， 也十分有效的理論是對(duì)偶理論，通過建立對(duì)偶模型更易于從理論及經(jīng)濟(jì)

7、意義上作深入分析，其對(duì)偶問題為：min 0nZ AjXj <£Xo j丄ns.t *送幾iVj= jyj= 1,2,lil,n幾 j - o,j3無約束進(jìn)一步引入松弛變量 s冷口剩余變量s-，將上面的不等式約束化為等式約束:min 9L n送幾 jXj +s+ = 9X0j 二ns.t 片/ jyj-s“0A j H0,j =1,2,111,n日無約束 s+ >0,s">0設(shè)上述問題的最優(yōu)解為幾，s-日，則有如下結(jié)論與經(jīng)濟(jì)含義：（1） 若8* =1，且s =0,S "=0,則決策單元DMU j0為DEA有效，即在原線性規(guī)劃 的解中存在w* >

8、;0,山>0，并且其最優(yōu)值h*0 =1。此時(shí)，決策單元 DMU j0的生產(chǎn)活動(dòng)同時(shí) 為技術(shù)有效和規(guī)模有效。j0（2） ，但至少有某個(gè)輸入或者輸出松弛變量大于零。則此時(shí)原線性規(guī)劃的最優(yōu)值h； =1，稱DMU j0為弱DEA有效，它不是同時(shí)技術(shù)有效和規(guī)模有效。（3）若日* <1，決策單元DMU j0不是DEA有效。其生產(chǎn)活動(dòng)既不是技術(shù)效率最佳，而 不是規(guī)模效率最佳。（4） 另外，我們可以用C2R模型中坷的最優(yōu)值來判別 DMU的規(guī)模收益情況。若存在 石（j =1,2，川,n），使無=1成立，則DMU為規(guī)模效益不變；若不存在 石（j =1 , 2,1 n,），使送石=1成立，則若送入；“，

9、那么DMU j0為規(guī)模效益遞增；若不 存在 jj =1,2,|ILn ），使2人=1成立，則若S >1，那么DMUj°為規(guī)模效益遞減。技術(shù)有效：輸出相對(duì)輸入而言已達(dá)最大，即該決策單元位于生產(chǎn)函數(shù)的曲線上。規(guī)模有效：指投入量既不偏大， 也不過小，是介于規(guī)模收入收益由遞增到遞減之間的狀 態(tài)，DMU1、DMU2、DMU3都處于技術(shù)有效狀態(tài)；DMU1不為規(guī)模有效，實(shí)際上它處于規(guī)模收益遞增狀態(tài)；DMU3不為規(guī)模有效，實(shí)際上它處于規(guī)模收益遞減狀態(tài)；DMU2是對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值 00= 1。可見,規(guī)模有效的。如果用DEA模型來判斷DEA有效性，只有DMU2 在C2R模型下的DEA有效，其經(jīng)濟(jì)含義

10、是：既為“技術(shù)有效”，也為“規(guī)模有效”。例題：下面是具有3個(gè)決策單元的單輸入數(shù)據(jù)和單輸出數(shù)據(jù)以A,B,C表示,其中點(diǎn)A、C在生產(chǎn)曲線上，點(diǎn)B在生產(chǎn)曲線下方。.相應(yīng)決策單元所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)由3個(gè)決策單元所確定的心），它所對(duì)應(yīng)的c2r模型為P B(4,1)Y=Y(X)C(3,5)生產(chǎn)可能集T也在圖中標(biāo)出來。min日P打+4）2 +5為蘭2日s.t<2）片 +爲(wèi) +3.5爲(wèi) 3 2eno其最優(yōu)解為：A =（1,O,O）T,護(hù)=1對(duì)于決策點(diǎn)B,它不是“技術(shù)有效”，因?yàn)辄c(diǎn)B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，也不是“規(guī)模有效”， 這是因?yàn)樗耐顿Y規(guī)模太大.其對(duì)應(yīng)的C2R模型如下：min 6刀口 +4兀2 +5兀3 <4日s.b 2再+ 打 +3.5 >1卩1,扎2,兀3"其最優(yōu)解為 A =(1/2,0,0)丁，00=1/4：3由于0 <1故B點(diǎn)不是DEA有效，由2 Zj04<1，知該部門的規(guī)模收益是遞增的對(duì)于決策點(diǎn)C,因?yàn)辄c(diǎn)C是在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，它是 太大，所以