【KS5U解析】山東省青島市第十七中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求解即可.【詳解】故選d【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的商的運(yùn)算，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取運(yùn)算法則法，利用方程思想解題2.已知向量，則“”是“”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】【詳解】分析：先根據(jù)向量數(shù)量積得成立的充要條件，再根據(jù)與“”包含關(guān)系確定結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所以因此“”是“”的充分不必要條件，選a.點(diǎn)睛：充分、必要條件的三種判斷方法1定

2、義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假并注意和圖示相結(jié)合，例如“”為真，則是的充分條件2等價(jià)法：利用與非非，與非非，與非非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法3集合法：若，則是的充分條件或是的必要條件；若，則是的充要條件3.如圖是一平面圖形的直觀圖，斜邊，則這個(gè)平面圖形的面積是（ ）a. b. 1c. d. 【答案】d【解析】試題分析：根據(jù)直觀圖可知,根據(jù)直觀圖與平面圖的關(guān)系可知,平面圖中,在軸上,且,所以.考點(diǎn)：直觀圖與平面圖的關(guān)系4.已知是虛數(shù)單位，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為( )a. b. c. d. 1 【答案】c【解析】【分析】首先化簡(jiǎn)，再根據(jù)的周期計(jì)算即可.【詳解】因，所以

3、.故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，同時(shí)考查了的周期，屬于簡(jiǎn)單題.5.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長(zhǎng)度、夾角與垂直問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角【詳解】因?yàn)?，所?0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選b【點(diǎn)睛】對(duì)向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為6.一海輪從a處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行

4、，30分鐘后到達(dá)b處在c處有一座燈塔，海輪在a處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在b處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么b，c兩點(diǎn)間的距離是()a. 10海里b. 10海里c. 20海里d. 20海里【答案】b【解析】根據(jù)已知條件可知abc中，ab20，bac30°，abc105°，所以c45°，由正弦定理，有，所以10.故選b.7.在正四棱錐中，直線與平面所成的角為，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角為（ ）a b. c. d. 【答案】c【解析】試題分析：連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以即為異面直線與所成的角因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以，

5、所以為在面內(nèi)的射影，所以即為與面所成的角，即，因?yàn)椋运栽谥苯侨切沃?，即面直線與所成的角為故選c考點(diǎn)：直線與平面所成的角，異面直線所成的角【名師點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角，直線與平面所成的角，考查線面垂直，比較基礎(chǔ)連接ac，bd交于點(diǎn)o，連接oe，op，先證明pao即為pa與面abcd所成的角，即可得出結(jié)論8.已知是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則的面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由可得，設(shè)為的中點(diǎn)，則，可得，從而可得為的中點(diǎn)，進(jìn)而可得，由可得，再由即可求出.【詳解】在中，由，得，所以，設(shè)為的中點(diǎn)，則，所以，所以為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故選：a.【點(diǎn)

6、睛】本題主要考查向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積及三角形的面積公式，屬于中檔題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分9.有下列說(shuō)法，其中錯(cuò)誤的說(shuō)法為（ ）a. 若，則b. 若，則是三角形的垂心c. 兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向d. 若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得【答案】ad【解析】【分析】分別對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)a，當(dāng)時(shí)，與不一定共線，故a錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)b，由，得，所以，同理，故是三角形的垂心，所以b正確；對(duì)于選項(xiàng)c，兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向，故c正確；對(duì)于選

7、項(xiàng)d，當(dāng)，時(shí)，顯然有，但此時(shí)不存在，故d錯(cuò)誤.故選：ad【點(diǎn)睛】本題考查與向量有關(guān)的命題的真假的判斷，考查學(xué)生對(duì)基本概念、定理的掌握，是一道容易題.10.設(shè)是三條不同的直線，是兩個(gè)不重合的平面，給定下列命題：；.其中為假命題的是( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用畫圖舉反例和面面垂直，線面垂直的判定定理，即可得到答案.【詳解】對(duì)，因?yàn)榇怪庇谕粭l直線的兩個(gè)平面互相平行，所以正確.對(duì)，如圖所示：此時(shí)，但，所以錯(cuò)誤對(duì)，根據(jù)線面垂直的判定知，缺少，故錯(cuò)誤.對(duì)，如圖所示：，此時(shí)，為異面直線，故錯(cuò)誤.對(duì)，如圖所示：，此時(shí)，故錯(cuò)誤.對(duì)，根據(jù)面面垂直的判定可知正確.綜上假命題為：故選

8、：c【點(diǎn)睛】本題主要考查平面與平面，直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，同時(shí)考查了線面垂直和面面垂直的判定，屬于簡(jiǎn)單題.11.下列說(shuō)法正確的有（ ）a. 在abc中，abc=sin asin bsin cb. 在abc中，若sin 2a=sin 2b，則abc為等腰三角形c. abc中，sin asin b是a b的充要條件d. 在abc中，若sin a=，則a=【答案】ac【解析】【分析】由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由正弦定理可得：即成立，故選項(xiàng)a正確；由可得或，即或，則是等腰三角形或直角三角形，故選項(xiàng)b錯(cuò)誤；在中，由正弦定理可得，則是的充要條件，故選項(xiàng)c

9、正確；在abc中，若sin a=，則或，故選項(xiàng)d錯(cuò)誤.故選：ac.【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假性的判斷，正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12.若長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，是的中點(diǎn)，則（ ）a. b. 平面平面c. 三棱錐的體積為d. 三棱錐的外接球的表面積為【答案】cd【解析】【分析】以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算值即可判斷a；分別求出平面，平面的法向量，判斷它們的法向量是否共線，即可判斷b；利用等體積法，求出三棱錐的體積即可判斷c；三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，故求出長(zhǎng)方體的外接球的表面積即可判斷d.【詳解】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，

10、因?yàn)椋耘c不垂直，故a錯(cuò)誤；，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，所以，不妨取，則，所以，同理可得設(shè)平面的一個(gè)法向量為，故不存在實(shí)數(shù)使得，故平面與平面不平行，故b錯(cuò)誤；在長(zhǎng)方體中，平面，故是三棱錐的高，所以，故c正確；三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，故外接球的半徑，所以三棱錐的外接球的表面積，故d正確.故選：cd.【點(diǎn)睛】本題主要考查用向量法判斷線線垂直、面面平行，等體積法的應(yīng)用及幾何體外接球的表面積.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則該圓柱的體積是_【答案】【解析】【分析】求出圓柱的底面圓半徑和高，利用柱體的體積公式可求得該圓柱

11、的體積.【詳解】依題意可得，圓柱的高為1，底面周長(zhǎng)為1，則底面半徑為，所以圓柱體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱體積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)【答案】1【解析】【分析】先求出模，然后由復(fù)數(shù)除法求出，可得其虛部【詳解】，所以虛部為1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題15.設(shè)四邊形為平行四邊形，.若點(diǎn)滿足，則=_.【答案】9【解析】【分析】利用向量的加減運(yùn)算法則，對(duì)進(jìn)行變形，最后用向量表示，再將代入可得答案.【詳解】由題， 故答案為9【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量的加減運(yùn)

12、算法則，屬于中檔題目.16.在鈍角中，角所對(duì)的邊分別為，已知，外接圓半徑為，則_，若的周長(zhǎng)為，則的面積為_(kāi).【答案】 (1). 60°或120° (2). 或.【解析】【分析】由正弦定理求得，由周長(zhǎng)求出，再由余弦定理可得，從而得三角形面積【詳解】由正弦定理得即，或，又，若，則，即，由，不妨設(shè)，則，則，為鈍角，滿足題意，若，則，即，.故答案為：60°或120°；或.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，解題時(shí)要注意不能因?yàn)槿切问氢g角三角形，只得出，而遺漏，題中并沒(méi)有確定哪個(gè)角是鈍角.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證

13、明過(guò)程或演算步驟17.已知復(fù)數(shù).（1）求z的共軛復(fù)數(shù)；（2）若，求實(shí)數(shù)a，b的值.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算z，即可求出；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件計(jì)算即可求值.【詳解】（1）（2），即，解得，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)相等，屬于中檔題.18.的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知，.（1）求角；（2）若點(diǎn)滿足，求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解法一：對(duì)條件中的式子利用正弦定理進(jìn)行邊化角，得到的值，從而得到角的大??；解法二：對(duì)對(duì)條件中的式子利用余弦定理進(jìn)行角化邊，得到的值，從而得到角的大??；解法三：利用射

14、影定理相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行求解.（2）解法一：在中把邊和角都解出來(lái)，然后在中利用余弦定理求解；解法二：在中把邊和角都解出來(lái)，然后在中利用余弦定理求解；解法三：將用表示，平方后求出的模長(zhǎng).【詳解】（1）【解法一】由題設(shè)及正弦定理得，又，所以.由于，則.又因?yàn)?，所?【解法二】由題設(shè)及余弦定理可得，化簡(jiǎn)得.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所?【解法三】由題設(shè)，結(jié)合射影定理，化簡(jiǎn)可得.因?yàn)?所以.又因?yàn)?，所?（2）【解法1】由正弦定理易知，解得.又因?yàn)?，所以，?在中，因?yàn)?，所以，所以在中，由余弦定理得，所?【解法2】在中，因?yàn)?，所以?由余弦定理得.因?yàn)?，所?在中，由余弦定理得所以.【解法3】在中，因?yàn)?，所?/p>

15、，.因?yàn)?，所?則所以.【點(diǎn)睛】本題主要考察利用正余弦定理解三角形問(wèn)題，方法較多，難度不大，屬于簡(jiǎn)單題.19.已知向量，且，（1）求與；（2）若，求向量，的夾角的大小【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量平行和向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出答案；（2）進(jìn)行向量加法和數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出，然后再根據(jù)向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)表示即可求出答案【詳解】解：（1）由得，解得，由得，解得，；（2）由（1）知，向量，夾角為【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量平行與垂直的坐標(biāo)表示，考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題20.如圖，在四棱錐oabcd中，oa底面abcd，且底面abcd是邊長(zhǎng)為

16、2的正方形，且oa2，m，n分別為oa，bc的中點(diǎn).（1）求證：直線mn平面ocd；（2）求點(diǎn)b到平面dmn的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）【解析】【分析】（1）構(gòu)造平面，使之與平面平行，再通過(guò)面面平行證明線面平行即可；（2）通過(guò)變換頂點(diǎn)，利用等體積法求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）取中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：在中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，故/；在正方形中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，故/；又因?yàn)椋矫?，平面，故平?平面，又因?yàn)槠矫妫?平面，即證.（2）連接，如下圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，故又因?yàn)槠矫?，且?又在中，容易知，故邊上的高為，故.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則解得.故點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本

17、題考查由面面平行推證線面平行，以及用等體積法求解點(diǎn)到面的距離，屬基礎(chǔ)題.21.在中，分別為角，的對(duì)邊，且滿足(1)求角；(2)若為銳角三角形，求面積的最大值.【答案】(1)；（2）【解析】【分析】(1)對(duì)，利用正弦定理得，進(jìn)而可得，再利用二倍角公式即可求出角；(2)由已知可得，故要求面積的最大值，只需求出的最大值即可，利用余弦定理可得，再利用基本不等式即可求出的最大值.【詳解】(1)因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻茫?，因?yàn)椋?，所以，即，所以或，即或，若，則，若，則，因?yàn)?，所以，即，綜上，或.（2）因?yàn)闉殇J角三角形，所以，因?yàn)?，即（?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立），所以，即面積的最大值是.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，二倍角公式，基本不等式及三角形的面積公式，同時(shí)考查三角形中面積的最大值求法，屬于基礎(chǔ)題.22.如圖，在三棱柱中，平面，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，若二面角為45°.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）由已知二面角得出的邊上的高