【KS5U解析】廣東省深圳市2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、深圳高中聯(lián)考聯(lián)盟2019-2020學(xué)年第一學(xué)期期末考試試題高二數(shù)學(xué)本試卷4頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.用2b鉛筆將試卷類型（b）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2b鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和

2、涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第i卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線過點(diǎn)，則此直線的傾斜角是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】利用兩點(diǎn)斜率公式求出斜率，進(jìn)而可得傾斜角.【詳解】解：設(shè)直線的傾斜角為，則，故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，考查兩點(diǎn)斜率公式，是基礎(chǔ)題.2.橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則（ ）a. 4b. c. 2d. 【答案】a【解析】【分析】確定，利用長軸長是短軸長的兩倍列式求出.【詳

3、解】解：由已知，因?yàn)?，則，即，故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓簡單幾何性質(zhì)，要先定位，再定量，是基礎(chǔ)題.3.設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析：根據(jù)題意可求得a和b的關(guān)系式，進(jìn)而利用c=求得c和b的關(guān)系，最后求得a和c的關(guān)系即雙曲線的離心率解答：解：依題意可知=，求得a=2bc=be=故選c4.若向量，且，則實(shí)數(shù)的值是（ ）a. b. 0c. d. 1【答案】c【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，利用可得，代入坐標(biāo)計(jì)算即可.【詳解】解：由已知，由得：，故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，其中是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.5.與

4、圓外切，又與軸相切圓的圓心的軌跡方程是（ ）a. b. （）和c. （）d. （）和（）【答案】d【解析】圓化為，圓心，半徑，設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，則根據(jù)題意，且，即，當(dāng)時(shí)，化簡有，即，當(dāng)時(shí)，化簡有，即，故選擇d.點(diǎn)睛：對(duì)拋物線定義的考查有兩個(gè)層次，一是當(dāng)已知曲線是拋物線時(shí)，拋物線上的點(diǎn)滿足定義，它到準(zhǔn)線的距離為，則，有關(guān)距離、最值、弦長等是考查的重點(diǎn)；二是利用動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件符合拋物線的定義，從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線.另外在對(duì)方程化簡的過程中注意分類討論思想方法的應(yīng)用，考查學(xué)生劃歸轉(zhuǎn)化能力.6.已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切，則圓的方程為( )a. b. c. d.

5、 【答案】d【解析】【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)圓與直線相切可求出，進(jìn)而得到圓心和半徑，于是可得圓的方程【詳解】由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，圓與直線相切，解得a=2圓心為，半徑為，圓c的方程為（x2）2+y2=4，即故選d【點(diǎn)睛】求圓的方程時(shí)要把握兩點(diǎn)：一是求出圓心的坐標(biāo)；二是求出圓的半徑，然后再根據(jù)要求寫出圓的方程即可，求圓心坐標(biāo)時(shí)注意圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，這樣可以簡化運(yùn)算，提高解題的速度7.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）a. -6b. -4c. -2d. 2【答案】a【解析】【詳解】由已知得解得故選a考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式8.設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（ ）a. 若

6、，則b. 若，則c. 若，則d. 若，則【答案】c【解析】對(duì)于a、b、d均可能出現(xiàn)，而對(duì)于c是正確的9.設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),是雙曲線上的一點(diǎn),且,則的面積等于（ ）a. b. c. 24d. 48【答案】c【解析】【詳解】雙曲線的實(shí)軸長為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,所以,所以.所以.故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查了焦點(diǎn)三角形以及橢圓的定義運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題型.10.如圖是拋物線拱形橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂高于水面，水面寬為，當(dāng)水面寬為時(shí)，水位下降了（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拱橋所在拋物線

7、為，根據(jù)題意得出點(diǎn)在拋物線上，可求出的值，并設(shè)拱頂高于水面，可知點(diǎn)在拋物線上，代入拋物線方程可解出的值，由此可得出水面下降的高度.【詳解】建系如圖，設(shè)拱橋所在拋物線為，點(diǎn)在拋物線上，得，拋物線方程為，當(dāng)水面寬為時(shí)，設(shè)拱頂高于水面，由點(diǎn)在拋物線上，得，故水面下降了.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的應(yīng)用，建立平面直角坐標(biāo)，將問題轉(zhuǎn)化為拋物線方程來求解是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.11.數(shù)列中，已知對(duì)任意正整數(shù)，有，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】首先根據(jù)，得出，兩式相減即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)等比數(shù)列求和公式進(jìn)行解答.【詳解

8、】解：，（）-得，（）當(dāng)時(shí)，滿足，所以（），數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，故選b【點(diǎn)睛】本題主要考查了賦值法求數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，還考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題12.已知拋物線，直線過的焦點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，且在軸上方，是的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，平行于軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的斜率為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算直線和的斜率得知，三點(diǎn)共線，再由已知條件得出，代入韋達(dá)定理可得出的值，從而求出直線的斜率.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，如下圖所示，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程

9、為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理得，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，三點(diǎn)共線，則，所以，則，得，結(jié)合圖形可知，直線的斜率為正數(shù)，所以，因此，直線的斜率為.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合問題，考查韋達(dá)定理設(shè)而不求法在拋物線綜合問題中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.第ii卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，則_.【答案】5【解析】【分析】利用可得結(jié)果.【詳解】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)，所以（負(fù)值舍去），故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.14.在長方體中，則異面直線與所成角的余弦值為_.【答案】【解析】【分

10、析】以d為原點(diǎn)，da為x軸，dc為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】解答：解：以d為原點(diǎn)，da為x軸，dc為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在長方體中，設(shè)異面直線與所成角為，則，異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.15.已知數(shù)列滿足，則_.【答案】【解析】【分析】由得為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而可得.【詳解】解：由已知得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查遞推式求通項(xiàng)公式，考查觀察能力，是基礎(chǔ)題.16.直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等

11、于 【答案】20【解析】【詳解】三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列（）是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，代入等差數(shù)列的基本量列方程求解即可；（2）用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】解：（1）設(shè)的公差為.因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，化簡得，又，且，解得，所以有；（2）由（1）得：，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量計(jì)算以及裂項(xiàng)相消法求和，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.18.已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直

12、線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)的中點(diǎn)為，求出的坐標(biāo)，求出直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程分析可得答案，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓心的位置分析可得的值，進(jìn)而計(jì)算可得的值，據(jù)此分析可得答案；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分直線的斜率是否存在兩種情況討論，綜合即可得答案.【詳解】解：（1）設(shè)的中點(diǎn)為，則，由圓的性質(zhì)得，所以，得，所以線段垂直平分線方程是，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，由圓的性質(zhì)，圓心在直線上，化簡得，所以圓心，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）設(shè)為中點(diǎn)，則，得，圓心到直線的距離，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程，此時(shí)，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在

13、時(shí)，設(shè)的方程，即，由題意得，解得；故直線的方程為，即；綜上直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及直線與圓方程的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19.在三棱錐中，是正三角形，面面，、分別是、的中點(diǎn)（1）證明：；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出且，利用直線與平面垂直的判定定理可證明出面，從而得出；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明出平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量法計(jì)算出二面角的余弦值【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，且又，面，又面，；（2）由面面，平面

14、平面，平面，可得面.故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則， ，.，設(shè)為平面efc的一個(gè)法向量由，取，則， .又為面的一個(gè)法向量，由如圖知二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直，同時(shí)也考查了利用空間向量法計(jì)算二面角的余弦值，考查推理論證能力與計(jì)算能力，屬于中等題.20.某企業(yè)年的純利潤為萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降，若不進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從今年（年）起每年比上一年純利潤減少萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)計(jì)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第年（今年為第一年）的利潤為萬元（為正整數(shù)）（1）設(shè)從今

15、年起的前年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤為萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤為萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求，的表達(dá)式；（2）以上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年后，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤？【答案】（1）， ；（2）4年【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得的表達(dá)式，利用分組求和與等比數(shù)列前項(xiàng)和相結(jié)合可得的表達(dá)式；（2）作差，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論詳解】（1）依題設(shè)，；（2），因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，僅當(dāng)時(shí)，。至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤【點(diǎn)睛】本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)

16、列求和、不等式的等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題.21.在梯形中，為的中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)（如圖1）.將沿折起到的位置，使得二面角為直二面角（如圖2）.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）線段上存在點(diǎn)，且【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出，從而四邊形為平行四邊形，推導(dǎo)出，由此能證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法能求出線段上存在點(diǎn)，且時(shí)，使得cq與平面bcd所成角的正弦值為.【詳解】（1）證明：因?yàn)樵谔菪沃?，為的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)榫€段與交

17、于點(diǎn)，所以為線段的中點(diǎn)，所以中，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）解：平行四邊形中，所以四邊形是菱形，垂足為，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以是二面角的平面角，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，所以，?可以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，其中，因?yàn)樵趫D1菱形中，所以，所以，所以，設(shè)為平面的法向量，因?yàn)?，所以，即，取，得到，所以；線段上存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為，設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以線段上存在點(diǎn)，且，使得與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查滿足線面角的正弦值的點(diǎn)的位置的確定，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.22.已知是橢圓上的兩點(diǎn).（1）求橢圓的離心率；（2）已知直線過點(diǎn)，且與橢圓交于另一點(diǎn)（不同于點(diǎn)），若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將a和b點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓g的方程，列出方程組求出的值，再求出和離心率；（2）由（1）求出橢圓g的方程，對(duì)直線的斜率進(jìn)行討論，不妨設(shè)直線的方程，與橢圓g的方