14.2.1平方差公式.2.1平方差公式-

1、142 1 平方差公式教學(xué)目標(biāo)(一) 教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1 經(jīng)歷探索平方差公式的過程2 會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算(二) 能力訓(xùn)練要求1 在探索平方差公式的過程中，培養(yǎng)符號(hào)感和推理能力2 培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括的能力(三) 情感與價(jià)值觀要求 在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號(hào)表示，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷美教學(xué)重點(diǎn) 平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn) 理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用平方差公式教學(xué)方法 探究與講練相結(jié)合 通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)一步探索公式的結(jié)構(gòu)特征，在老師的講解和學(xué)生的練習(xí)中讓學(xué)生 體會(huì)公式實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用教具準(zhǔn)備投影片教學(xué)過程I提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 師 你能用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列

2、各題嗎？(1) 2001X 1999(2) 998X 1002 生甲 直接乘比較復(fù)雜，我考慮把它化成整百，整千的運(yùn)算，從而使運(yùn)算簡(jiǎn)單， 2001 可 以寫成2000+1, 1999可以寫成2000-1，那么2001 X 1999可以看成是多項(xiàng)式的積，根據(jù)多項(xiàng) 式乘法法則可以很快算出. 生乙那么 998X 1002=( 1000-2)( 1000+2) 了.師很好，請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手運(yùn)算一下. 生 (1) 2001 X1999= (2000+1) (2000-1 )=20002-1 X 2000+1 X 2000+1 X( -1 )=2000 2-1=4000000-1 =3999999(2) 9

3、98X1002=(1000-2)(1000+2)2=10002+1000X 2+(-2)X 1000+(-2)X 222 =10002-22=1000000-4=199999622師2001 X 1999=2000 -122998X 1002=10002-22 它們積的結(jié)果都是兩個(gè)數(shù)的平方差，那么其他滿足這個(gè)特點(diǎn)的運(yùn)算是否也有這個(gè)規(guī)律呢？我們繼續(xù)進(jìn)行探索n.導(dǎo)入新課 師 出示投影片計(jì)算下列多項(xiàng)式的積.（1）（x+1）（x-1 ）（2）（ m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1 ）（4）（ x+5y）（ x-5y ） 觀察上述算式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運(yùn)算出結(jié)果后，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩例

4、驗(yàn)證你 的發(fā)現(xiàn).（學(xué)生討論，教師引導(dǎo)） 生甲 上面四個(gè)算式中每個(gè)因式都是兩項(xiàng).生乙我認(rèn)為更重要的是它們都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積.例如算式（1 ）是x與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式（2）是m與2這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式（ 3）是2x與1?這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式（4）是x與5y這兩個(gè)數(shù)的和與差的積. 師 這個(gè)發(fā)現(xiàn)很重要，請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)筆算一下，相信你還會(huì)有更大的發(fā)現(xiàn).生 解：（ 1 ）（ x+1 ）（ x-1 ）22=x +x-x-1=x -12）（ m+2）（ m-2）2 2 2 =m +2m-2m-2X 2=m -23）（2x+1）（2x-1 ）2 2 2=（ 2x） 2+2x-2x-1= （

5、 2x） 2-124）（ x+5y）（ x-5y ）2=x +5y x-x 5y- （5y）22=x -（ 5y） 生 從剛才的運(yùn)算我發(fā)現(xiàn)：(1)(3)(2x+l)(2jc-1)-(2 *12也就是說，兩個(gè)數(shù)的和與差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，這和我們前面的簡(jiǎn)便運(yùn)算得出 的是同一結(jié)果.M8X 1002=(1000*2 (1000+2)lOOO11師能不能再舉例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)？ 生能.例如：2 2 251 X 49= ( 50+I) (50-1) =50 +50-50-仁50 -1 即彎勺)怦-嚴(yán)2 2即(50+1) (50-1) =50 -1 (-a+b ) (-a-b ) = (-a ) (-a

6、 ) + (-a ) (-b ) +b (-a) +b (-b)=(-a ) -b =a -bKn (ti+6) (na-)=(as即 1i I這同樣可以驗(yàn)證：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.師為什么會(huì)是這樣的呢？生因?yàn)槔枚囗?xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則展開后，中間兩項(xiàng)是同類項(xiàng)，且系數(shù)互為相反 所以和為零，只剩下這兩個(gè)數(shù)的平方差了.師很好請(qǐng)用一般形式表示上述規(guī)律，并對(duì)此規(guī)律進(jìn)行證明.生這個(gè)規(guī)律用符號(hào)表示為：(a+b) (a-b) =a2-b2其中a、b表示任意數(shù)，也可以表示任意的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則可以做如下證明：2 2 2 2(a+b) (a-b) =a

7、 -ab+ab-b =a -b 起一個(gè)名字呢?師同學(xué)們真不簡(jiǎn)單.老師為你們感到驕傲.能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律 (a+b) (a-b ) =a2-b 2 生 最終結(jié)果是兩個(gè)數(shù)的平方差，叫它“平方差公式”怎樣樣？ 師 有道理這就是我們探究得到的“平方差公式”，?請(qǐng)同學(xué)們分別用文字語言和符號(hào)語言敘述這個(gè)公式(出示投影) 兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差22即：( a+b)( a-b) =a2-b2 平方差公式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式，用它直接運(yùn)算會(huì)很簡(jiǎn)便，但必須注意 符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能應(yīng)用在應(yīng)用中體會(huì)公式特征，感受平方差公式給運(yùn)算帶來的方便，從而靈活運(yùn)用平方差公式 進(jìn)行計(jì)

8、算(出示投影片)例 1： 運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(1) (3x+2)(3x-2)(2) (b+2a)(2a-b)(3) (-x+2y )(-x-2y )例 2：計(jì)算：(1) 102X 98(2) (y+2)(y-2 ) - (y-1 )(y+5) 師生共析 運(yùn)用平方差公式時(shí)要注意公式的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會(huì)對(duì)號(hào)入座在例 1 的( 1 )中可以把 3x 看作 a，2 看作 b22即： ( 3x+2 ) ( 3x-2 ) =(3x) 2-2222 ( a+b)( a-b) =a2-b2同樣的方法可以完成 ( 2)、( 3 ) 如果形式上不符合公式特征， 可以做一些簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化工 作，使它符合平方差公式的特征比

9、如( 2)應(yīng)先作如下轉(zhuǎn)化：(b+2a) (2a-b ) =(2a+b)(2a-b) 如果轉(zhuǎn)化后還不能符合公式特征，則應(yīng)考慮多項(xiàng)式的乘法法則(作如上分析后， 學(xué)生可以自己完成兩個(gè)例題 ?也可以通過學(xué)生的板演進(jìn)行評(píng)析達(dá)到鞏 固和深化的目的)2 2 2例 1解：(1) (3x+2) (3x-2) =(3x) 2-22=9x2-42 2 2 2( 2)( b+2a)( 2a-b) =( 2a+b)( 2a-b) =( 2a) -b =4a -b 2 2 2 2(3) (-x+2y)(-x-2y ) =(-x) 2-(2y) 2=x 2-4y2 例 2解：(1) 102 X 98= (100+2) (1

10、00-2 )22=1002-22=10000-4=99962)( y+2)( y-2 ) - ( y-1 )( y+5)=y2-22-( y2 +5y-y-5 )22=y -4-y -4y+5 師 我們能不能總結(jié)一下利用平方差公式應(yīng)注意什么？ 生 我覺得應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1) 公式中的字母 a、b 可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式即整式(2) 要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式( 3)有些多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，?但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式 生 運(yùn)算的最后結(jié)果應(yīng)該是最簡(jiǎn)才行 師 同學(xué)們總結(jié)得很好下面請(qǐng)同學(xué)們完成一組闖關(guān)練習(xí)優(yōu)勝組選派一

11、名代表做總結(jié) 發(fā)言川隨堂練習(xí)出示投影片：計(jì)算：( 1)( a+b)( -b+a )( 2)( -a-b )(a-b )(3) (3a+2b)(3a-2b)(4) (a5-b2)(a5+b2)(5) (a+2b+2c)(a+2b-2c )22(6) ( a-b)( a+b)( a2+b 2)22解：( 1)( a+b)( -b+a) = ( a+b)(a-b) =a2-b2 2 2 2 2(2) (-a-b) (a-b) = (-b-a) (-b+a) = (-b) -a =b -a 2 2 2 2(3) (3a+ b)(3a- b) =(3a)-( b)=9a -4b 5 5 5 10 4(4

12、) (a -b ) (a +b ) = (a )- (b ) =a -b 2 2(5) (a+2b+2c) ( a+2b-2c) = (a+2b) - ( 2c)2= (a+2b) (a+2b) -4c2=a2+a 2b+2b a+ (2b) 2-4c22 2 2=a +4ab+4b -4c22( 6)( a-b)(a+b)( a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=(a2) 2- (b2) 2=a4-b4 優(yōu)勝組總結(jié)發(fā)言：這些運(yùn)算都可以通過變形后利用平方差公式.其中變形的形式有：位置變形；？符號(hào)變形;系數(shù)變形；指數(shù)變形；項(xiàng)數(shù)變形；連用公式關(guān)鍵還是在于理解公式特征，學(xué)會(huì)對(duì)號(hào)入座， 有整體思

13、想.W.課時(shí)小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)我們掌握了如下知識(shí).( 1)平方差公式兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.？這個(gè)公式叫做乘法的平方差公式.即(a+b) (a-b) =a2-b2 公式的字母a、b可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式； 要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式； 有些式子表面上不能應(yīng)用公式，但通過適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式.？如：(x+y-z )22(x-y-z ) = (x-z ) +y(x-z ) -y=(x-z ) -y .V.課后作業(yè)1 .課本 P156 1、2 題.W.活動(dòng)與探究21 .計(jì)算：123456789 -123456788 X 123456790112

14、.解方程：5x+6(3x+2) (-2+3x )-54(x-)(x+)=2.33過程：1 看似數(shù)字很大，但觀察到： 123456788=123456789-1,123456790=123456789+1，所以可以用平方差公式去化簡(jiǎn)計(jì)算.2 方程中含有多項(xiàng)式的乘法，而且符合平方差公式特征，可以用平方差公式去化簡(jiǎn).結(jié)果：21. 123456789 -123456788X 1234567902=123456789 - ( 123456789-1 ) (123456789+1 )2 2=123456789 - ( 123456789 -1)2 2=123456789 -123456789 +1=1 .

15、2 .原方程可化為：2 1X25x+6 (3x+2) ( 3x-2) -54x - ( )=232 2 5x+6 ( 9x2-4) -54x2+6=22 2即 5x+54x -24-54x +6=2移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得 5x=20§ 15. 2. 1 平方差公式x=4板書設(shè)計(jì)一、1 .用簡(jiǎn)便方法計(jì)算(1) 2001 X1999(2) 998X 10022 .計(jì)算：(1) ( x+1) (x-1 )(2) ( m+2 (m-2)(3) ( 2x+1) ( 2x-1 )(4) ( x+5y) ( x-5y )二、探究、歸納規(guī)律一一平方差公式；文字語言：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差符

16、號(hào)語言：(a+b) (a-b ) =a2-b2三、 應(yīng)用、升華：廠-6 -1 .例1 : 例2：2 .闖關(guān)練習(xí)四、小結(jié)備課資料例1利用平方差公式計(jì)算：(1) (a+3) (a-3) (a2+9);2(2) (2x-1) ( 4x +1) (2x+1 ).分析：(1) (a+3) (a-3 )適合平方差公式的形式，應(yīng)先計(jì)算(a+3) (a-3 ); (2)中(?2x-1 )(2x+1 )適合平方差公式的形式，應(yīng)先計(jì)算(2x-1 )X( 2x+1)2 2解答：(1)原式=(a-9) (a+9)4 一=(a ) -9 =a -81;2(2)原式=(2x-1 ) ( 2x+1) ( 4x +1)2 2

17、 2=(2x)-1 (4x +1)2 2=(4x -1) (4x +1)4=(4x )-1=16x -1 .方法總結(jié)：觀察、發(fā)現(xiàn)哪兩個(gè)多項(xiàng)式符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，？符合公式結(jié)構(gòu)特征的先算這是這類試題的計(jì)算原則.例2計(jì)算：2 2 2 2 2 2100 -99 +98 -97 +96 -95 +,1 、一 1、一 1 、(1)2 2+2 -1 ；(2)(1- 2 ) (1- 2 ) (1- 2 ) , ( 1-丄)(1-丄).921022 r 4直接計(jì)算顯然太復(fù)雜，不難發(fā)現(xiàn)每?jī)蓚€(gè)項(xiàng)正好是平方相減的形式.于是便考慮能分析：否逆用平方差公式 a2-b2= ( a+b) (a-b)去計(jì)算.事實(shí)上，這是可行的.解答：(1) ( 1002-992) + ( 982-972) + (962-952) +, + (22-12) =(100+99) (100-99 ) + ( 98+97) (98-97 ) + ( 2+1) (2-1 )=100+99+98+