空間中的直線與平面

1、第二章 空間中的直線與平面-空間概念平面與空間：平面：“前後”與“左右”。 空間：“前後”、“左右”與“上下”。相異二點決定一直線，不共線相異三點決定一平面?？臻g中兩直線的位置關(guān)係：相交於一點 平行 重合 歪斜 直線與平面關(guān)係：直線在平面上 直線交平面於一點 直線與平面平行 決定平面的條件：不共線相異三點 一線與線外一點 交於一點的兩線 二平行線 直線的垂直線與垂直平面：定義：設(shè)平面E與直線L交於A點，若平面E上過A點的任一直線均與L垂直，則稱平面E與直線L垂直。直線與平面垂直性質(zhì)：設(shè)平面E與直線L交於A點，若平面E上有兩條通過A 點的相異直線與L垂直，則平面E與直線L垂直。過一直線L外一點A

2、，恰有一直線垂直於L。過一直線L上一點A，有無限多條直線垂直於L。過一直線L外一點A，恰有一平面E垂直於L。過一直線L上一點A，恰有一平面垂直於L。平面的垂直線與垂直平面：給定一平面E及其上一點A，恰有一直線L過A點且與平面E垂直。給定一平面E及其外一點A，恰有一直線L過A點且與平面E垂直。. 範(fàn)例1設(shè)四面體ABCD中，令平面ACD與平面BCD所決定之二面角的度量為q（銳角），求cosq 之值？解：取中點M ，又 ，故AMB為平面ACD與平面BCD之二面角。在DABM中，。則DABM為正D，AMB = 60，故cosq =。. 範(fàn)例2長方體之長、寬、高各為a, b, c，求對角線之長為何？外接

3、球之直徑為何？解：連, EFG = 90， 則。AEG = 90，則 =。長方體之外接球直徑即其對角線之長=。. 範(fàn)例3四角錐體P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，垂直於底面，設(shè), CPD = q，求sinq 之值？解：連, ABCD為正方形，= 1，又，則，= 2，底面，則sinq =。. 範(fàn)例4如圖，直線ABCD為四面體，已知垂直平面BCD，(1)? (2)若，則。解：(1)由平面BCD及，根據(jù)三垂線定理，得 另一方面，由平面BCD (2) 精 選 類 題 下列敘述，何者正確？(A)相異三點，決定一平面。(B)空間中若兩直線不相交，則兩直線平行。(C)給定一平面E及其上一點A，恰有一直線

4、L通過A點且與平面E垂直。(D)若直線L與平面E垂直，則空間中包含直線L的每個平面都與平面E垂直。(E)若兩相異平面相交，則交集為一直線。答：(C)(D)(E)下列敘述，何者正確？(A)在空間中一線段的垂直平分線只有一條。(B)在空間中給予任意兩相異點可決定一直線。(C)給定一平面E及任意一點P，則恰有一平面過P點且與E垂直。(D)直線L1 , L2分別在平面E1 , E2上，若E1 / E2，則L1 / L2。(E)兩歪斜線在一平面上之正射影有可能為二平行線。答：(B)(E)如右圖，與平面交於B，在E平面上，= 1，求之長為_。 答：三射線,兩兩成30角，P為上，自P作垂直平面OBC，垂足為

5、Q，若於R，交於S，求=_。答：2-空間坐標(biāo)A(a1 , b1 , c1)，B(a2 , b2 , c2)，則。A(a1 , b1 , c1)，B(a2 , b2 , c2)，則之中點為。如右圖，設(shè)P(a, b, c)為空間一點，P對x軸、y軸、z軸、xy面、yz面、zx面的正射影及對稱點坐標(biāo)：正射影坐標(biāo)對稱點坐標(biāo)正射影坐標(biāo)對稱點坐標(biāo)x軸(a, 0, 0)(a, -b, -c)xy面(a, b, 0)(a, b, -c)y軸(0, b, 0)(-a, b, -c)yz面(0, b, c)(-a, b, c)z軸(0, 0, c)(-a, -b, c)zx面(a, 0, c)(a, -b, c)

6、原點(0, 0, 0)(-a, -b, -c)P(a, b, c)到x軸之距離y軸之距離z軸之距離。P(a, b, c)到y(tǒng)z平面之距離為 | a |zx平面之距離為 | b |xy平面之距離為| c |。. 範(fàn)例1長方體OABC DEFG，若= 2，= 3，= 4，求此長方體各頂點的坐標(biāo)？解：O(0, 0, 0)，A(0, -2, 0)，B(3, -2, 0)，C(3, 0, 0)，D(0, 0, -4)，E(0, -2, -4)，F(xiàn)(3, -2, -4)，G(3, 0, -4)。設(shè)A(1, 1, 1)，B(1, 2, 3)，C(3, 3, 0)，DABC在xy平面上之正射影為DABC，判別

7、：DABC之形狀？DABC之形狀？. 範(fàn)例2解：A(1, 1, 1)，B(1, 2, 3)，C(3, 3, 0)，在xy平面上之正射影分別為A(1, 1, 0)，B(1, 2, 0)，C(3, 3, 0)，, , DABC為直角D。= 1， = 1 + 5 = 6，= 8， DABC為鈍角D。. 範(fàn)例3空間中第一卦限內(nèi)一點P(a, b, c)到x, y, z軸距離分別為5,，求P點坐標(biāo)。解：已知= 5，得故a = 5，b = 4，c = 3。 精 選 類 題 設(shè)P點在第一卦限，又點P到x, y, z軸之距離順序為5,，則點P之坐標(biāo)為_。答：(1, 3, 4)已知一正四面體，其中三頂點坐標(biāo)分別為

8、(0, 0, 0)，(2, 0, 0)及(1, 1,)，則另一頂點之坐標(biāo)為_。答：(1, -1,) (1,)-空間中的向量（坐標(biāo)）設(shè)P(x1 , y1 , z1)，Q(x2 , y2 , z2)，則：= (x2 - x1 , y2 y1 , z2 z1)。| =。方向餘弦：定義：設(shè)= (a, b, c)為一向量，從x軸、y軸、z軸 正向到的有向角分別以a, b 與g 表示，其中 0 a, b, g p，則a, b, g 稱為之方向角。若= (a, b, c)，之方向角為a, b, g， | = r，cosa =，cosb =，cosg =，即= (r cosa, r cosb, r cosg

9、)。cosa、cosb、cosg 為之方向餘弦。cos2a + cos2b + cos2g = 1（0 a, b, g p）?？臻g向量的加減法與數(shù)積：設(shè)= (a1 , a2 , a3)，= (b1 , b2 , b3)，r R，則 r= (ra1 , ra2 , ra3)。 += (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3)。 -= (a1 - b1 , a2 - b2 , a3 - b3)。中點公式：P(a1 , b1 , c1)，Q(a2 , b2 , c2)，則之中點為。分點公式：P(a1 , b1 , c1)，Q(a2 , b2 , c2)，R為之內(nèi)分點，:= m : n

10、，則，即R之坐標(biāo)為。設(shè)DABC之重心為G，則=(+)若O為原點，由左式得重心坐標(biāo)。取O = G得重心定理：+=?？臻g向量的內(nèi)積：= | | cosq，q 為,之夾角（0 q p）。= (a1 , a2 , a3)，= (b1 , b2 , b3)，則= a1b1 + a2b2 + a3b3。=。= |2。(g) = (g) = g ()，g R。 (+) =+。均非零向量，則/ 存在t R，使得= t。,均非零向量，則 = 0。A, B, C共線= a+ b。（a + b = 1） r+ s+ t=。（r + s + t = 0）柯西不等式：設(shè)= (a1 , a2 , a3)，= (b1 ,

11、b2 , b3)，則 | | | ()2 |2 |2 (a1b1 + a2b2 + a3b3)2 (a12 + a22 + a32)(b12 + b22 + b32)。等號成立的條件是/或,有一為。a. 範(fàn)例1, b, g 為之方向角，求cos2a + cos2b + cos2gsin2a + sin2b + sin2g 之值？解：cos2a + cos2b + cos2g = (2cos2a - 1) + (2cos2b - 1) + (2cos2g - 1) = 2(cos2a + cos2b + cos2g ) 3 = 2 1 3 = -1。sin2a + sin2b + sin2g =

12、 (1 cos2a) + (1 cos2b ) + (1 cos2g ) = 3 (cos2a + cos2b + cos2g ) = 3 1 = 2。. 範(fàn)例2| = 8，之終點為(2, -1, 0)，方向角為60, b, 45，且cosb 0，求之始點坐標(biāo)？解：設(shè)之始點坐標(biāo)為(x, y, z)，則= (2 x , -1 y , -z)，又cos260 + cos2b + cos245 = 1 cos2b = cosb 0 cosb =。= cos60，= cos45 x = -2，y = 3，z = -4，即之始點坐標(biāo)為(-2, 3, -4)。. 範(fàn)例3空間中兩點A(5, 2, 4)與B(

13、2, -1, 7)，今在直線AB上找一點P，使= 1 : 2，求P的坐標(biāo)？解：P介於A、B之間（P為內(nèi)分點），=+=(5, 2, 4) +(2, -1, 7) = (4, 1, 5)，即P(4, 1, 5)。A介於P、B之間（P為外分點），= 1 : 2=設(shè)P(x, y, z)，則(x 5 , y 2 , z 4) = (3, 3, -3) x = 8，y = 5，z = 1，即P(8, 5, 1)。由,P(4, 1, 5)或(8, 5, 1)。. 範(fàn)例4設(shè)A(4, 1, 3)，B(6, 3, 4)，C(4, 5, 6)，求=？若,之夾角為q，求cosq =？解：= (2, 2, 1)，= (

14、0, 4, 3)，則| = 3，| = 5，= 2 0 + 2 4 + 1 3 = 11。= | | cosq 11 = 3 5 cosq cosq =。. 範(fàn)例5設(shè)x, y, z R，且x2 + y2 + z2 = 9，求2x y + 3z之最大值？x + 2y z之最小值？並求此時之(x, y, z) =？解：(x2 + y2 + z2)22 + (-1)2 + 32 (2x y + 3z)2 9 14 (2x y + 3z)2 -3 2x y + 3z 3 2x y + 3z之最大值為3。(x2 + y2 + z2)12 + 22 + (-1)2 (x + 2y - z)2 9 6 (x

15、 + 2y - z)2 -3 x + 2y - z 3 x + 2y z之最小值為-3?！?= ”成立時，/，則= t x = t，y = 2t，z = -t，代入x + 2y z = -3中，t + 4t + t = -3 t = - (x, y, z) = (。. 範(fàn)例6P(3, 1, 4)，Q(1, 0, 2)，R(-1, 2, 3)，求在上之正射影？在上之正射影長？解：= (-4, 1, -1)，= (-2, -1, -2)，= 8 - 1 + 2 = 9，| = 3，在上之正射影= = (-2, -1, -2) = (-2, -1, -2)。在上之正射影長= = 3。 精 選 類 題

16、 若 | = 6，的方向角為45, 60, 120，若A(1, 2, 3)，求B之坐標(biāo)為_。答：(1 + 3, 5, 0)= (2, 1, 1)，= (k, 2, -4)的夾角為120，求k =_。答：-2= (1, 2, k 1 )，= (4, 1, -k)，= (-1, 2, k + 3)兩兩互相垂直，求k =_。答：-2設(shè)= (1, 2, 3)，= (x, y, z)，若x2 + y2 + z2 = 56，求之最小值為_。答：-28設(shè)x, y, z為實數(shù)，若已知2x y + z =，求x2 + y2 + z2之最小值為_。答：7x, y, z為正數(shù)，且x + y + z = 1，則當(dāng)(x

17、, y, z) =_時，有最小值為_。答：，36設(shè)A(4, -4, 6)，B(2, 0, 2)，C(4, -1, 3)，求在上的正射影為_。在上的正射影長為_。B在直線AC上之正射影坐標(biāo)為_。答：(0, 4, -4)4(4, 0, 2)P(2, 1, 2)，Q(6, -4, 4)，R(3, -1, 4)，求DPQR的面積為_ P點到直線QR的最短距離為_。答：-平面方程式平面方程式：以向量(a, b, c)為法線向量，且過點A(x0, y0, z0)之平面方程式為a(x x0) + b(y - y0) + c(z z0) = 0。平面方程式可表為ax + by + cz + d = 0，其中向

18、量(a, b, c)為此平面之一法線向 量。過點(a, 0, 0)，(0, b, 0)，(0, 0, c)，abc 0之平面方程式為。其中a為x軸的截距，b為y軸的截距，c為z軸的截距。兩平面的夾角：設(shè)平面E1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0；平面E2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0，若E1 , E2一夾角為q，則cosq = 。E1 E2 a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0。點到平面的距離：點A(x0 , y0 , z0)到平面E : ax + by + cx + d = 0之距離為。平行平面：平面E1 : a1x + b1y + c1z

19、 + d1 = 0；平面E2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0，E1 = E2 a1 : a2 = b1 : b2 = c1 : c2 = d1 : d2。E1 / E2 a1 : a2 = b1 : b2 = c1 : c2 d1 : d2。兩平面E : ax + by + cz + e = 0與F : ax + by + cz + f = 0之距離為。與平面E : ax + by + cz + d = 0平行且距離為k之平面方程式為 ax + by + cz + d k= 0。. 範(fàn)例1在空間中，E為通過A(2, 1, -1)，B(1, 2, -1)及C(1, 1, 3

20、)三點之平面，E為通過P(1, 0, 1)及Q(0, -2, 1)而垂直E之平面，求E與E之方程式？解：設(shè)平面E、E的法線向量分別為,= (1, 0, -4)，= (0, 1, -4) = (,) = (4, 4, 1)，故E : 4(x 2) + 4(y 1) + 1(z + 1) = 0 4x + 4y + z 11 = 0。= (4, 4, 1)，= (-1, -2, 0) = (,) = (2, -1, -4)，故E : 2(x 1) - 1(y 0) - 4(z - 1) = 0 2x - y - 4z + 2 = 0。. 範(fàn)例2求過點(1, 2, 3)，與二平面x + y z +

21、3 = 0，2x y + 3z 1 = 0均垂直之平面方程式？解： = (1, 1, -1)， = (2, -1, 3) = (,) = (2, -5, -3)，故方程式為2(x 1) 5(y 2) 3(z 3) = 0 2x 5y 3z + 17 = 0。. 範(fàn)例3求過兩平面E1 : x + y + z 5 = 0與E2 : 2x y + z 2 = 0之交線且過點(2, 1, 1)之平面方程式？解：設(shè)所求平面方程式為(2x y + z 2) + t(x + y + z 5) = 0 (2 + t)x + (-1 + t)y + (1 + t)z 2 5t = 0，(2, 1, 1)代入得t

22、 = 2，故所求平面方程式為(2x y + z 2) + 2(x + y + z 5) = 0，即4x + y + 3z 12 = 0. 範(fàn)例4求二平面2x y + z = 6，x + y + 2z = 3的交角？解： = (2, -1, 1)， = (1, 1, 2)，| cosq | = q =或p -。. 範(fàn)例5求點A(5, 0, 8)到平面E : 2x y + 2z + 1 = 0之距離？解：d(A, E) = 9。. 範(fàn)例6求二平面E1 : 2x + y z = 15，E2 : x y 2z = 8之交角平分面方程式？解：設(shè)P(x, y, z)為交角平分面上任一點，則d(P, E1)

23、 = d(P, E2) x + 2y + z 7 = 0或3x 3z 23 = 0。設(shè)平面E1 : 3x - 2y + 2z 10 = 0，E2 : 3x 2y + 2z + 7 = 0，F(xiàn)1 : x 2y + 2z 6 = 0，F(xiàn)2 : 2x 4y + 4z + 3 = 0，求E1 , E2之距離？F1 , F2之距離？. 範(fàn)例7解：。F2 : x 2y + 2z += 0 。 精 選 類 題 求經(jīng)過三點P(-1, 1, 2)，Q(2, 0, -3)與R(5, 1, -2)的平面方程式_。答：2x 9y + 3z + 5 = 0設(shè)一平面之法線向量為(3, -2, 1)，且三個截距和為13，則

24、此平面之方程式為_。答：15x 10y + 5z 78 = 0試求過點(-2, 1, 5)及平面x + 2y 3z + 3 = 0與3x 2y + z 5 = 0之交線的平面方程式為_。答：7x 10y + 9z 21 = 0求過點A(1, -2, 2)與B(6, 0, -1)且與平面2x + 2y z 1 = 0垂直的平面方程式為_。答：4x y + 6z 18 = 0若平面3x + ky + z 1 = 0與平面x y + z + 1 = 0垂直，求k的值為_。答：4試求點P(1, 2, 3)到平面x + 2y 2z + 7 = 0的距離為_。答：2P(x0, y0, z0)為2x y 4

25、z 1 = 0上一點，求之最小值為之最小之之之之=_。答：E1 : 2x + y 2z + 4 = 0，E2 : 2x + y 2z 5 = 0，求E1與E2間最矩距離為_。答：3-空間中的直線方程式直線方程式：設(shè)A(x1 , y1 , z1)，B(x2 , y2 , z2)為相異二點，則直線參數(shù)方程式為: x = x1 + t(x2 - x1)，y = y1 + t(y2 y1)，z = z1 + t(z2 z1)，t R。若(x2 - x1)(y2 y1)(z2 z1) 0，則直線對稱比例式為。向量(x2 - x1 , y2 y1 , z2 z1)稱為的一個方向向量。x2 x1，y2 y1

26、，z2 z1稱為的一組方向數(shù)。與向量(a, b, c)平行，且過點A(x0 , y0 , z0)之直線參數(shù)式為x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，t R。若abc 0，此直線可表為對稱比例式。二平面的交線： 設(shè)平面E1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0，E2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0為相交之二相異平面，則其交線可表為。直線L與平面E之關(guān)係：L在平面E上L與平面E交於一點L在平面E平行。二直線的關(guān)係：平行重合交於一點歪斜線。. 範(fàn)例1化直線為對稱比例式及參數(shù)式？解：設(shè)x = t，則。= t，則對稱比例式：；參數(shù)式

27、：（t R）。. 範(fàn)例2L1 :，L2 :是否相交？若相交，求其交點？解：L1 : x = 1 + 2t1，y = -1 t1，z = 3t1（t1 R），L2 : x = 1 + 3t2，y = 2 + 2t2，z = 3 + 4t2（t2 R），若相交，則 t1 =，t2 =。代入z得3t1 =，3 + 4t2 = 3 -L1 , L2不相交。L1 :，L2 :，L3 :，平面E : 3x y + 2z = 5，試討論平面E與三直線是否相交？若相交，求其交點？. 範(fàn)例3解：L1 : x = 1 + 2t，y = -2 + 4t，z = 2 t，代入平面E 3(1 + 2t) (-2 + 4

28、t) + 2(2 t) = 5 0t = -4 t無解，故與L1不相交。L2 : x = -6 + 3t，y = -1 + t，z = -7 + 2t，代入平面E 3(-6 + 3t) (-1 + t) + 2(-7 + 2t) = 5 12t = 36 t = 3， 代入L2 x = 3，y = 2，z = -1，故與L2交(3, 2, -1)。L3 : x = 2 + 3t，y = 5 + t，z = 2 - 4t，代入平面E 3(2 + 3t) (5 + t) + 2(2 - 4t) = 5 0t = 0，故L3在平面E上。. 範(fàn)例4一平面過(3, 0, -5)，且與直線垂直，求其方程式

29、？解： = (1, 2, -3)， = (3, -1, 5) 直線的方向向量 = (,) = (7, -14, -7) = 7(1, -2, -1)，所求平面方程式為(x 3) 2(y 0) (z + 5) = 0 x 2y z 8 = 0。. 範(fàn)例5求點A(1, -2, 3)關(guān)於直線L :的對稱點投影點。解：設(shè)點A之對稱點(a, b, c)，則= (a 1 , b + 2 , c 3)，又= (1, 2, 2)， (a 1 , b + 2 , c 3) (1, 2, 2) = 0 a + 2b + 2c 3 = 0中點P()在直線L上= t a = 2t + 3，b = 4t，c = 4t 9，代入(2t + 3) + 2(4t) + 2