《概率論與數(shù)理統(tǒng)計的》第二章的習地的題目解答

1、實用標準文檔第二章隨機變量及其分布1、解：X ，則 X 的可能值為；設(shè)公司賠付金額為投保一年內(nèi)因意外死亡：20 萬，概率為 0.0002投保一年內(nèi)因其他原因死亡：5 萬，概率為 0.0010投保一年內(nèi)沒有死亡：0，概率為 1-0.0002-0.0010=0.9988所以 X 的分布律為：0250P000.0002.0010.99882、一袋中有5 只乒乓球，編號為1、 2、 3、4、5，在其中同時取三只，以X 表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量X 的分布律解： X 可以取值3， 4， 5，分布律為P( X3)P(一球為 號兩球為1,2號)1 C2213,C5310P( X4)P(一球為

2、 號再在中任取兩球1 C3234 ,1,2,3)C5310P( X5)P(一球為5號再在中任取兩球1C426,1,2,3,4)10C53也可列為下表X：3，4， 5P：1,3,61010103、設(shè)在 15 只同類型零件中有2 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X 表示取出次品的只數(shù)， （ 1）求 X 的分布律，（ 2）畫出分布律的圖形。解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X 可能為0，1， 2 個。P( X0)C13322C15335P( XC21C13212P1)C15335P( X2)C22C1311C15335再列為下表O12xX：0，1，2P：22,12,13535354

3、、進行重復獨立實驗，設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為q =1 p(0<p<1)（1）將實驗進行到出現(xiàn)一次成功為止，以 X 表示所需的試驗次數(shù)， 求 X 的分布律。（此時稱 X 服從以 p 為參數(shù)的幾何分布。 ）（2）將實驗進行到出現(xiàn)r 次成功為止， 以 Y 表示所需的試驗次數(shù)， 求 Y 的分布律。精彩文案實用標準文檔（此時稱 Y 服從以 r, p 為參數(shù)的巴斯卡分布。 ）（3）一籃球運動員的投籃命中率為45%，以 X 表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù)，寫出 X 的分布律，并計算X 取偶數(shù)的概率。解：（ 1） P (X=k )=qk 1pk= 1,2,（ 2） Y=r+n= 最后一

4、次實驗前r+n 1 次有 n 次失敗，且最后一次成功 P(Y r n) Crnn 1 qn p r 1 pCrn n1 qn p r ,n0,1,2, 其中 q= 1 p，或記 r+n=k ，則 P Y=k= Ckr11 pr (1p) kr ,kr , r1,（ 3） P (X=k ) = (0.55)k 10.45k=1,2P (X 取偶數(shù) )=P( X 2k )(0.55)2k10.451131k1k 15、 一房間有 3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是

5、隨機的。（1）以 X 表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X 的分布律。（2）戶主聲稱， 他養(yǎng)的一只鳥， 是有記憶的， 它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以 Y 表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實的， 試求 Y 的分布律。（3）求試飛次數(shù)X 小于 Y 的概率；求試飛次數(shù)Y 小于 X 的概率。解：（ 1） X 的可能取值為1，2， 3， ， n， P X=n = P 前 n1 次飛向了另2 扇窗子，第 n 次飛了出去 = ( 2 ) n 1 1 ， n= 1， 2， 33（ 2） Y 的可能取值為 1， 2，31P Y=1= P 第 1 次飛了出去 =3P Y=2= P 第 1

6、次飛向 另 2 扇窗子中的一扇，第2 次飛了出去 = 211323P Y= 3= P 第 1，2 次飛向了另2 扇窗子，第3 次飛了出去 2!1=33!3(3) P X YP Yk P XY | Yk全概率公式并注意到k 13P XY|Y 1 0P Yk P XY | Ykk 23P Yk P Xkk2注意到X,Y獨立即P XY | Yk1111218P X k333333273同上， P X YPYk P XY |Ykk 1精彩文案實用標準文檔311121419P Y k P X k333932781k 1故 PY X1 PX Y PX Y)38816、一大樓裝有5 個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查

7、表明在任一時刻t 每個設(shè)備使用的概率為 0.1，問在同一時刻（1）恰有2 個設(shè)備被使用的概率是多少？P( X2)C52 p2 q5 2C52(0.1)2(0.9)30.0729（2）至少有3 個設(shè)備被使用的概率是多少？P( X3)C53(0.1)3(0.9)2C54(0.1)4(0.9) C55(0.1)50.00856（3）至多有3 個設(shè)備被使用的概率是多少？P( X3)C50 (0.9)5C510.1(0.9)4C52(0.1)2(0.9)3C53(0.1)3(0.9)20.99954（4）至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少？P( X1)1P( X0)10.59049 0.409517、設(shè)事

8、件 A 在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3 ，當 A 發(fā)生不少于3 次時，指示燈發(fā)出信號。（ 1）進行了 5 次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率。（ 2）進行了 7 次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率解： 設(shè) X 為 A 發(fā)生的次數(shù)。則 XB 0.3,n . n=5 ， 7B:“指示等發(fā)出信號“P BPX35C5k 0.3k0.75 k0.163k 3PB PX 372PXK1P X Kk 3010.77G10.30.76G20.32 0.750.3538、甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6, 0.7，令各投三次。求（ 1）二人投中次數(shù)相等的概率。記 X 表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y 表乙三次投

9、籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨立，且彼此投籃也獨立。P (X=Y)=P (X=0, Y= 0)+P (X=2, Y= 2)+P (X= 3, Y= 3)= P (X=0) P (Y= 0)+ P ( X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y= 2)+ P (X=3) P (Y=3)3310.6210.72= (0.4)×(0.3) + C3(0.4) C3(0.3) C32(0.6) 20.4C32(0.7) 2.3(0.6)3(0.7)30.321（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率。P (X>Y )=P (X=1, Y= 0)+P (X=2, Y= 0)+ P (X

10、= 2, Y= 1)+P (X=3) P (Y= 0)+ P (X=3) P (Y= 1)+ P (X=3) P (Y= 2)=P (X=1) P (Y= 0) + P (X=2, Y= 0)+ P (X= 2, Y= 1)+P (X=3) P (Y= 0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y= 2)精彩文案實用標準文檔= C310.6(0.4) 2 (0.3)3C32(0.6)20.4(0.3)8C32(0.6) 20.4C310.7(0.3)2(0.6) 3(0.3) 3(0.6)3C310.7 (0.3)2 (0.6)3C32(0.7)20.30.2439、有一

11、大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10 件，經(jīng)驗收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2 拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當 5 件中無次品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10% ，求（ 1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率（ 2）需作第二次檢驗的概率（ 3）這批產(chǎn)品按第 2 次檢驗的標準被接受的概率（ 4）這批產(chǎn)品在第 1 次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率（ 5）這批產(chǎn)品被接受的概率解： X 表示 10 件中次品的個數(shù)，Y 表示 5 件中次品的個數(shù)，由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故XB（ 10， 0.1）， YB （ 5， 0.1）（近似服從）（ 1） P X=0

12、=0.9 10 0.349（2） P X 2= P X=2+ P X=1= C102 0.12 0.98C101 0.10.990.581（ 3） P Y=0=0.9 5 0.590（ 4）P 0< X2，Y=0 (0< X2與 Y=2 獨立 )= P 0< X 2P Y= 0 =0.581 ×0.590 0.343（ 5） P X=0+ P 0< X 2，Y= 0 0.349+0.343=0.69210、有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各 4 杯。如果從中挑 4 杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。（1）某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多

13、少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗10 次，成功3 次。試問他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗是相互獨立的。）解：（ 1） P (一次成功 )=11C8470（2）P (連續(xù)試驗 10 次，成功 3 次 )=C103 (1 )3( 69)73。此概率太小， 按707010000實際推斷原理，就認為他確有區(qū)分能力。11. 盡管在幾何教科書中已經(jīng)講過用圓規(guī)和直尺三等分一個任意角是不可能的。但每年總有一些“發(fā)明者”撰寫關(guān)于用圓規(guī)和直尺將角三等分的文章。設(shè)某地區(qū)每年撰寫此類文章的篇數(shù) X 服從參數(shù)為6 的泊松分布。求明年沒有此類文章的概率。解：X 6.6P X0e 610.

14、0025e612. 一電話交換臺每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為4 的泊松分布。求（1）每分鐘恰有 8 次呼喚的概率。 （2）某一分鐘的呼喚次數(shù)大于3 的概率。精彩文案實用標準文檔X 44（1）P X8e 48e 49r !r!r 8r 90.0511340.0213630.029771（2） P X3P X40.56653013.某一公安局在長度為t 的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X 服從參數(shù)為（ 1/2 ）t的泊松分布，而與時間間隔的起點無關(guān)（時間以小時計）。（1）求某一天中午12 時至下午3 時沒有收到緊急呼救的概率。（2）求某一天中午12 時至下午5 時至少收到1 次緊急呼救的概率。解

15、：tX233PX0e 20.223122.5k e 2.55P X10.9182k !k114、解： X (2t )（ 1）、 t10 分鐘時 t1小時，611kee3PX130.2388k!102t（2）、 P X050.故2te0.5t0.34657（小時）1所以 t0.34657*6020.79 （分鐘）15、解：PX101050000.0015k10.00155000kkk 0PX100.8622n 1000, p0.0001,np0.116、解： P X2 1P X0PX110e1e10.99530.00470!1!17、解：1k設(shè)X服從 01PXkpk1分布，其分布率為p, k 0

16、,1 ，求 X 的分布函數(shù)，并作出其圖形。解一：X01精彩文案實用標準文檔pk1ppX0,1X 的分布函數(shù)為：0x0F x1 p0x 11x118 在區(qū)間0,a 上任意投擲一個質(zhì)點，以X 表示這個質(zhì)點的坐標。設(shè)這個質(zhì)點落在0,a 中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求X 的分布函數(shù)。解： 當X0 時。Xx是不可能事件，F(xiàn)XP Xx0當 0xa 時， P 0Xxkx而0Xa 是必然事件P0Xxka1k1aP0Xxkxxax則 F x P X x P X0P 0X xa當 xa 時，Xx是必然事件，有FxPXx10x0Fxx0xaa1xa19、以 X 表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第

17、一顧客到達的等待時間（以分計），X 的分布函數(shù)是FX( x)1 e 0 .4 x ,x00x0精彩文案實用標準文檔求下述概率：（ 1）P至多 3 分鐘 ；（2）P 至少 4 分鐘 ；（ 3）P3 分鐘至 4 分鐘之間 ；（ 4） P 至多 3 分鐘或至少 4 分鐘 ；（ 5）P 恰好 2.5 分鐘 解：（ 1） P 至多 3 分鐘 = P X3 = FX (3)1e 1.2（2）P 至少 4分鐘 P (X 4) =1 FX (4)e 1.6（3） P3 分鐘至 4 分鐘之間 = P 3< X 4= FX (4)FX (3) e 1.2e 1.6（4）P 至多 3分鐘或至少 4 分鐘 =

18、P至多 3 分鐘 + P至少 4 分鐘 = 1e 1.2e 1.6（5） P 恰好 2.5 分鐘 = P (X=2.5)=00, x1,20、設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù)為 FX ( x)lnx,1xe, ，1, xe.求（ 1） P (X< 2), P 0< X 3, P (2<X< 52 )；（ 2）求概率密度 f X (x).解：（ 1） P (X 2)= FX (2)= ln2 ， P (0< X 3)= F X (3) F X (0)=1，P(2 X5FX( 5 ) FX ( 2) ln 5ln 2 ln 52224（2） f ( x)F ' (

19、x)1 ,1 xe,x0,其它21、設(shè)隨機變量 X 的概率密度f (x) 為（1） f ( x)21x21 x10其它x0x1（2） f ( x)2x1x20 其他求 X 的分布函數(shù) F (x)，并作出（ 2）中的 f (x)與 F (x)的圖形。解：（ 1）當 1 x 1 時：1x 21x2dxF ( x)0 dx1 1 x 1 x 21 arcsin x當 1<x 時： F ( x)10 dx121 21x 1x21 arcsin x22121x2 dxx10 dx1X1故分布函數(shù)為：0x1F ( x)1 x 1x 21 arcsin x11 x 12x11解：（ 2） F ( x)

20、P( Xx)xf (t)dt精彩文案實用標準文檔x當x時F ( x)0 dt 00 ,0x2當時x0 dtt dt0 x 1 , F ( x)20當時01xx20 dtt dt( 2 t)dt 2x11 x 2 , F ( x)201當2x時, F ( x)012x0 dtt dt(2 t) dt0 dt 1012故分布函數(shù)為0x0x20x1F ( x)2x 22x1x21122x（ 2）中的 f (x)與 F (x)的圖形如下 f (x)F (x)12x012x022、 由統(tǒng)計物理學知，分子運動速度的絕對值X 服從邁克斯韋爾(Maxwell) 分布，其概率密度為2x2x 0bf xAx e0

21、其它其中 bm 2kT ， k 為 Boltzmann 常數(shù)， T 為絕對溫度， m 是分子的質(zhì)量。試確定常數(shù) A。解 :x dx1x2Abx2x2即f x dxAx2e b dxxe b d020bAbx2Abx2Abx2xd (e b )xe b|0e b dx22200精彩文案實用標準文檔x212x2AbAb 2b1 e 2b d2 xe b dx202202bAbb11u212e 2du1022222A4bb當 t 0 時， FTtt0 dt0tt 1x當 t0 時，F(xiàn)Ttf xdtFTte 241dt0 241t1e 241FT t0,t01t,t0e 241P50 T100 PT1

22、00P T50F 100F 50e50241 e100241t501001001001或P 50T 100dte 241dte 241e 241f t505024123、某種型號的電子的壽命X（以小時計）具有以下的概率密度：f (x)1000x 1000x20其它現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨立）。任取 5 只，問其中至少有2 只壽命大于1500 小時的概率是多少？解：一個電子管壽命大于1500 小時的概率為P( X 1500)1P( X1500)15001000dx11000(1)15001x2x100010001(12 )233令 Y 表示“任取5 只此種電子管中壽命大于15

23、00 小時的個數(shù)” 。則 Y B( 5, 2 ) ，3P(Y 2) 1 P(Y 2) 1 P(Y 0) P(Y 1)1(1 )5C51 ( 2) (1)433311521112323524324324、設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X（以分計）服從指數(shù)分布，其概率精彩文案實用標準文檔密度為：1 exFX ( x)5 , x 050, 其它某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10 分鐘他就離開。他一個月要到銀行5次。以 Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y 的分布律。并求P（ Y1）。解：該顧客“一次等待服務(wù)未成而離去”的概率為1xxe 2P( X10)f X ( x) dx10e 5

24、 dxe510105因此Y B(5, e2).即P(Yk)5e2 k (1e2 )5 k, (k1,2,3,4,5kP(Y1)1P(Y1)1P(Y0)1(1e 2 ) 51(11) 51 (1 0.1353363) 57.38910.8677 510.48330.5167.25、設(shè) K 在（ 0，5）上服從均勻分布，求方程4x 24xKK2 0 有實根的概率 K 的分布密度為：f ( K )5100K50其他2要方程有根，就是要K 滿足 (4K) 4×4×(K+2) 0。P(K 2)f ( x)dx5 1dx0 dx32 552526、設(shè) XN（ 3.22）（ 1）求 P

25、(2< X 5)，P ( 4)<X 10)， P| X|>2 ， P (X> 3) 若 XN（ ， 2），則 P ( <X )= P (2< X 5) =5 3 2 3= (1) (0.5)22=0.8413 0.3085=0.5328P ( 4<X 10) = 1034 3= (3.5) ( 3.5)22=0.9998 0.0002=0.9996P (|X|>2)=1 P (|X|<2)= 1P ( 2< P<2 )= 1232322=1 ( 0.5) + ( 2.5)=1 0.3085+0.0062=0.697733P (X

26、>3)=1 P (X3)=1 =1 0.5=0.52（ 2）決定 C 使得 P (X > C )=P (XC)P (X > C )=1 P (XC )= P (XC)精彩文案實用標準文檔得P (X C )= 1 =0.52又P ( X C )= C30.5, 查表可得 C30 C=32227、某地區(qū)18 歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以mm-Hg 計）服從 N (110,122 ) 在該地區(qū)任選一18 歲女青年，測量她的血壓X。求（1） P (X105)， P (100< X 120).（ 2）確定最小的X 使 P (X>x ) 0.05.解 :(1) P( X 10

27、5)( 105 110 )( 0.4167)1( 0.4167)10.6616 0.338412P(100X120)( 120110 )( 100110 )( 5 )(5 )1212662 (5)12( 0.8333)120.797610.59526( x110 )( x110 )(2) P(Xx)1P( X x)10.050.95.1212查表得x1101.645.x11019.74129.74.故最小的 X129.74.1228、由某機器生產(chǎn)的螺栓長度（ cm）服從參數(shù)為 =10.05 ， =0.06 的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍 10.05± 0.12 內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合

28、格的概率是多少？設(shè)螺栓長度為XP X 不屬于 (10.05 0.12, 10.05+0.12)=1 P (10.05 0.12<X<10.05+0.12)(10.050.12)10.05(10.050.12)10.05=10.060.06=1 (2) ( 2)=1 0.9772 0.0228=0.045629、一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命 X（以小時計）服從參數(shù)為 =160，( 未知 )的正態(tài)分布，若要求 P (120 X 200 =0.80，允許 最大為多少？P(120X200)=20016012016040400.80又對標準正態(tài)分布有(x)=1 (x) 上式變?yōu)?01400.80解出40便得 :400.9再查表，得401.281 4031.251.28130、解：精彩文案實用標準文檔V N