《材料力學(xué)》第6章簡單超靜定問題習(xí)題解.

1、第六章簡單超靜定問題習(xí)題解 習(xí)題 6-1試作圖示等直桿的軸力圖解：把 B 支座去掉，代之以約束反力RB （）。設(shè)2F 作用點(diǎn)為C，F(xiàn) 作用點(diǎn)為D，則：NBDRBN CDRBFN ACRB3F變形諧調(diào)條件為：l0N ACa N CD 2aN BDaEAEAEA0N AC2N CDN BD0RB2( RBF) RB3F 0RB5F（實(shí)際方向與假設(shè)方向相反，即：）4故： NBD5F4NCD5FFF44N AC5F3F7F44軸力圖如圖所示。4x(a)321N(F/4)0-5-4-3-2-101234567軸力圖 習(xí)題6-2圖示支架承受荷載F10kN ，1，2，3 各桿由同一種材料制成，其橫截面面積分

2、別為A1100mm 2 ，A2150mm2 ，A3200mm2 。試求各桿的軸力。解：以節(jié)點(diǎn)A 為研究對象，其受力圖如圖所示。X0N 2N 3cos300N 1cos30002N23N33N102N 23N33N10(1)Y0N 3 sin 300N 1 sin 30 0F 0N 3N120(2)變形諧調(diào)條件：設(shè) A 節(jié)點(diǎn)的水平位移為x ，豎向位移為y ，則由變形協(xié)調(diào)圖（b）可知：l1y sin 300x cos300l 2xl 3y sin 300x cos30 0l1l 32 x cos30 0l1l 33l2設(shè) l 1l 3 l ，則 l 23 l2N1lN 3 lN 23 l32EA1

3、EA3EA2N1N33N 2A1A32 A2N 1N 33N 210020021502N 1N 32NN 32N 12N22(3)(1) 、 (2) 、 (3) 聯(lián)立解得： N18.45kN ； N 22.68kN ； N111.54kN （方向如圖所示，為壓力，故應(yīng)寫作： N 111.54kN ）。 習(xí)題6-3一剛性板由四根支柱支撐，四根支柱的長度和截面都相同，如圖所示。如果荷載 F 作用在 A 點(diǎn)，試求這四根支柱各受多少力。解：以剛性板為研究對象，則四根柱子對它對作用力均鉛垂向上。分別用N1,N2 ,N3,N4 表示。由其平衡條件可列三個(gè)方程：Z0N 1N 2N 3N 4F0N 1N 2N

4、 3N 4F(1)M x0N 22 a N 42 a022N 2N4(2)M y0N12 a F e N 32 a 022N1N2Fe(3)3a由變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程N(yùn) 1lN 3l2 N 2EAEAEAN1N 32N 2 。 （4）(1) 、（ 2）、（ 3）、（ 4）聯(lián)立，解得：N 2N 4F4N1( 1e)F42aN 3(1e)F42a 習(xí)題 6-4剛性桿 AB 的左端鉸支， 兩根長度相等、橫截面面積相同的鋼桿性桿處于水平位置，如所示。如已知F 50kN ，兩根鋼桿的橫截面面積試求兩桿的軸力和應(yīng)力。解：以 AB桿為研究對象，則：M A0N 1aN 22a 50 3a 0N 12N 2

5、150(1)變形協(xié)調(diào)條件：l 22 l1N 2 l2N 1lEAEAN 22N1(2)(1) 、 (2) 聯(lián)立，解得：N 130kNN 260kN1N 130000 N30MPaA1000mm22N 260000 N60MPaA1000mm2CD和 EF使該剛A1000mm2 ， 習(xí)題 6-5 圖示剛性梁受均布荷載作用，梁在 A 端鉸支， 在 B 點(diǎn)和 C點(diǎn)由兩根鋼桿 BD和 CE支承。已知鋼桿 BD和 CE的橫截面面積A2 200mm2 和 A1 400mm2 ，鋼桿的許用應(yīng)力 170MPa ，試校核該鋼桿的強(qiáng)度。解：以 AB桿為研究對象，則：M A0N 11N 2303 (30 3)2N

6、13N 2135(1)變形協(xié)調(diào)條件：l11l23l 23l1N 21.8lN1lEA23EA1N 21.83N 1200400N 11.2N 2(2)(1) 、（ 2）聯(lián)立，解得：N 138.571kN（壓）； N 2 32.143kN （拉）故可記作： N 138.571kN ； N 232.143kN強(qiáng)度校核：| 1|N1|38571 N96.4275MPa170MPa ，符合強(qiáng)度條件。A1400mm2N 232143N160.715MPa170MPa ，符合強(qiáng)度條件。2A1200mm2 習(xí)題 6-6 試求圖示結(jié)構(gòu)的許可荷載 F 。已知桿 AD，CE，BF 的橫截面面積均為 A，桿材料的許

7、用應(yīng)力為 ，梁 AB可視為剛體。解：以 AB桿為研究對象，則：Y0N 1N 2N 3F0N 1N 2N 3F(1)M A0N 22aN 3 aFa 02N 2N 3F(2)變形協(xié)調(diào)條件：2 l 3l1l 22N 32lN1lN 2 lEAEAEA4N 3N 1N 2.(3)(1)(2)(3)聯(lián)立，解得：N 1N 22FF5；N 35強(qiáng)度條件：122F5AF5A A22.53F 5AF5 A故： F2.5A 習(xí)題 6-7 橫截面積為250mm250mm的短木柱，用四根40mm 40mm 5mm的等邊角鋼加固，并承受壓力F，如圖所示。已知角鋼的許用應(yīng)力 s160MPa ，彈性模量Es 200GPa

8、 ；木材的許用應(yīng)力 w 12MPa ，彈性模量 Ew10GPa 。試求短木柱的許可荷載 F 。解：（ 1）木柱與角鋼的軸力由蓋板的靜力平衡條件：（ 1）由木柱與角鋼間的變形相容條件，有（2）由物理關(guān)系：（ 3）式（ 3）代入式（ 2），得（ 4）解得：代入式（ 1），得：（2）許可載荷由角鋼強(qiáng)度條件由木柱強(qiáng)度條件：故許可載荷為： 習(xí)題 6-8水平剛性橫梁AB上部由于某 1 桿和 2 桿懸掛，下部由鉸支座C支承，如圖所示。由于制造誤差，桿1 和長度短了1.5mm 。已知兩桿的材料和橫截面面積均相同，且E1 E2200GPa ， A1A2A 。試求裝配后兩桿的應(yīng)力。解：以 AB梁為研究對象，則：M

9、 C0N1 2N 2 sin 450102N2(1)N 14變形協(xié)調(diào)條件：l1AA1l 22 BB12AA12l1BB112 l 2l 122 l2N 1l2N 2 2lEA2EAN 1l4N 2l.(2)EAEA(1)、 (2) 聯(lián)立，解得：2EA4EAN1； N 2( 2 16)l( 2 16)l122E2200103 MPa 1.5mmMPa(216)l(216) 1500mm16.2424E4 200103 MPa 1.5mmMPa(216)l(216) 1500mm45.939 習(xí)題 6-9圖示階梯狀桿，其上端固定，下端與支座距離1mm。已知上、下兩段桿的橫截面面積分別為 600mm

10、2 和 300mm2 ，材料的彈性模量 E 210GPa 。試作圖示荷載作用下桿的軸力圖。解：設(shè)裝配后，支座B 的反力為RB （），則：NBCRBNCDRB40N ADRB100（ D 為 60kN 集中力的作用點(diǎn)）變形協(xié)調(diào)條件：nl ii1RB kN 1.2m(RB40) 2.4( RB100) 1.21 10 3 m210 106 kN / m2300 10 6 m 2210 10 6600 10 6210 106600 10 62.4RB2.4RB961.2RB1201266RB90RB15(kN ) 。故：N BC15kN；N CD25kN；N AD85kN 。軸力圖如下圖所示。4.8

11、x(m)43.22.41.60.8N(kN)0-1 -1-5 0 5 10152025303540455055606570758085 5 0軸力圖 習(xí)題 6-10兩端固定的階梯狀桿如圖所示。已知AC段和 BD段的橫截面面積為A，CD段的橫截面面積為 2A；桿的彈性模量為 E 210GPa ，線膨脹系數(shù) l 12 10 6 ( 0 C ) 1 。試求當(dāng)溫度升高 30 0 C 后，該桿各部分產(chǎn)生的應(yīng)力。解：變形協(xié)調(diào)條件：l0l Nl t 02NaN 2aEAl t 4a 0E(2 A)3NalEA3NlEA4N3lACBDt 4a0t 40tEA4 12 10 6 (c 0 ) 1 300 C

12、210 106 kN / m 2 Am2 100800A( kN) 3N100800( kPa)100.8MPaANCD50400 (kPa)50.4MPa2 A 習(xí)題 6-11 圖示為一兩端固定的階梯狀圓軸，在截面突變處承受外力偶矩M e 。若d1 2d2 ，試求固定端的支反力偶矩M A 和 M B ，并作扭矩圖。解：把 B 支座去掉，代之以約束反力偶，其矩為 M B ，轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，則：TBCM BTCAM BM e變形協(xié)調(diào)條件：A、 B 為兩固定端支座，不允許其發(fā)生轉(zhuǎn)動，故：ABACCB0(M BM e )aM B 2aGI P10GI P2M BM e2M B0I P1I P2式中

13、， I P11d141( 2d1 ) 416 1d1416I P2 ，故：323232M BM e2M B016I P2I P2M BM e2M B016M BM e33M AM eM e32M e（順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動）3333TBCM BM e33TCAM BM e32M e33AB軸的軸力圖如下：2x(a)10-1-32 00.511.522.53-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30T(Me/33)-31-32-33扭矩圖 習(xí)題 6-12圖示一兩端固定的鋼圓軸，其直徑 d60mm。

14、軸在截面 C 處承受一外力偶矩M e3.8kNm 。已知鋼的切變模量G80GPa 。試求截面 C 兩側(cè)橫截面上的最大切應(yīng)力和截面 C 的扭轉(zhuǎn)角。解：把 B 支座去掉，代之以約束反力力偶，其矩為M B ，逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動。，則：TCBMBTCAM B M e變形協(xié)調(diào)條件：A、 B 為兩固定端支座，不允許其發(fā)生轉(zhuǎn)動，故：ABACCB0(M B M e ) 0.5M B1GI PGI P0MMBM e2M B0BM e ，故：3TCBM e3.8M B1.267( kN m)33TCAM B M e2M e2 3.832.533( kN m)3C 截面左側(cè)的最大切應(yīng)力：TCAmax,CAWP式中，抗扭

15、截面模量WP1d 313.14 60342390(mm3 )1616max, CA|TCA |2.533106 N mm59.8MPaWP42390mm3C截面右側(cè)的最大切應(yīng)力：max,CBTCBWPmax, CB|TCB |1.26710 6 N mm29.9MPaWP42390mm3C截面的轉(zhuǎn)角：CBCTCB lCBGI P式中， IP1d 413.14604 mm41271700mm43232CBCTCB lCB1.267106 N mm1000mm0.01245(rad ) 0.7140GI P80103N / mm21271700mm4 習(xí)題 6-13一空心圓管套在實(shí)心圓桿B 的一端

16、， 如圖所示。兩桿在同一截面處各有一直徑相同的貫穿孔，但兩孔的中心線構(gòu)成一角?，F(xiàn)在桿 B 上施加外力偶使桿 B 扭轉(zhuǎn)，以使兩孔對準(zhǔn)，并穿過孔裝上銷釘。在裝上銷釘后卸除施加在桿B 上的外力偶。試問管A和桿 B橫截面上的扭矩為多大？已知桿A 和桿 B 的極慣性矩分別 I PA 和 I PB ；兩桿的材料相同，其切變模量為 G。解：解除端約束 M 2 （逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動），則由于B桿錨固時(shí)處于彈性變形階段，所以解除約束 II 之后，端相對于截面C轉(zhuǎn)了角。因?yàn)槭孪葘U B 的 C端扭了一個(gè)角，故變形協(xié)調(diào)條件為2M02TA TBGI PAIPBM 2l A I PB l B I PA 習(xí)題 6-14圖示圓

17、截面桿 AC的直徑 d1100mm ， A 端固定，在截面 B 處承受外力偶矩M e 7kNm ，截面 C的上、下兩點(diǎn)處與直徑均為d2 20mm 的圓桿 EF、GH鉸接。已知各桿材料相同，彈性常數(shù)間的關(guān)系為G0.4E 。試求桿 AC中的最大切應(yīng)力。解：把 EF 桿與 GH桿切斷，代之以約束反力。由軸AC的受力特點(diǎn)可知，這兩個(gè)約束反力構(gòu)成一力偶，設(shè)它的力偶矩為M C （順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動）。M CN EF( d1d2 )0.12N EF ( kNm)TBCM C0.12N EFTABM eM C70.12N EF桿 EF、 GH的作用是阻止C 截面轉(zhuǎn)動，但因這這兩根桿件是可變形固體，故C 截面仍有轉(zhuǎn)

18、角 C。C1l EF2N EF l EF21N EF2d1d2EA0.12 2.5G10 3)2(d1d 2 )3.14(202442462.845N EFG變形協(xié)調(diào)條件為：ACABBCCTAB l ABTBC l BCCGI PGI P(70.12N EF )10.12NGIPGIEF142462.845 N EFPG70.12N EF0.12N EF42462.845N EFI PI P170.24N EF42462.845N EF I P式中，I P1d413.14(0.1)49.8125 106 (m4 )，故：3232m70.24N EF42462.845N EF 9.8125 10

19、 60.42N EFNEF 7/ 0.6610.61(kN ) 。 故：TBC0.12N EF0.1210.611.273(kNm)TABM eM C 70.12N EF71.2735.727(kNm)桿 AC的最大切應(yīng)力出現(xiàn)在AB段的圓軸表面：maxTmax16Tmax16 5.727 106 N mm29.182MPaWPd 33.14 1003 mm3 習(xí)題 6-15試求圖示各超靜定梁的支反力。6-15 （ a） 解：把 B 支座去掉， 代之以約束反力RB ，則變形協(xié)調(diào)方程為：wB0wBRBwBF0查附錄 IV ，得： w BRBRB (3a) 39RB a 33EIEIwBFF (2a

20、) 2(314Fa 36EI3a 2a)3EIwBRBw BF9RB a 314 Fa 3故，EI03EI14F9RB03RB14F27（）Y0得： RA14F13F由F（）2727由M A0得： MAF 2a14 F 3a4Fa （逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動）2796-15(b)解：把 B 支座去掉，代之以約束反力RB ，則變形協(xié)調(diào)方程為：wB0wBM ewRB0查附錄 IV ，得：M e (2a)22M e a 2wBM e2EIEIwRRB (2a) 2 (3 2a 2a)8RB a3B6EI3EIwBM ew RB2M e a28RB a3故，EI3EI0M e4RB a03RB3M e（負(fù)號表示

21、方向向下，即）4a由Y0得： RA3M e （）4a由M A0得： MA3M e2a M e ， M AM e （逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動）4a2a6-15(c)解：把 B 支座去掉，代之以約束反力M B 和 FB ，方向如圖所示。則變形協(xié)調(diào)條件為：wB0 ； B0wBqwBFswM B0查附錄 IV ，得：wBqql 48EIwBFBFB l 33EIwBM BM B l 22EIwBqwBF swM Bql 4FB l 3M B l 2故，8EI3EI02EIql 2FB lM B08323ql 28FB l12M B 0(1)B0BqBF BBM B0查附錄 IV ，得：ql 3Bq6EIBFBF

22、B l 22EIBM BM B lEI故，ql 3FBl 2M B lBqBF BBM B6EI2EI0EIql 2FB lM B062ql 23FB l6M B0(2)(1) 、（ 2）聯(lián)立，解得：FBql （）； M Bql 2（順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動）。212根據(jù)對稱結(jié)構(gòu)在對物荷載作用下的性質(zhì)可知，F(xiàn)AqlM Aql 2（）；（逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動）212 習(xí)題 6-16荷載 F 作用在梁 AB 及 CD的連接處， 試求每根梁在連接處所受的力。已知其跨長比和剛度比分別為：l1 3和EI 14。l 22EI 25解：把連接梁 AB 與梁 CD的墊塊去掉，代之以約束反力 RB （）和 RC （）。顯然，它

23、們是一對作用力反作用力。 RB RC 。查附錄 IV 得： AB在 B 處的撓度：( FRB ) l13wB3EI 1CD在 C 處的撓度為：RC l23wC3EI2變形協(xié)調(diào)方程：wBwC(F RB ) l1 3RC l 233EI 13EI 2(F RC ) l13RCl 2 3I 1I 2F RCI1 ( l 2 ) 34(2)332RCI 2l153135135FCD在 C處所受的力。RC（）。即，梁167梁 AB 在 B 處所受的合力為：F135F32F（）。167167 習(xí)題 6-17梁 AB 因強(qiáng)度和剛度不足，用同一材料和同樣截面的短梁AC加固，如圖所示。試求：（ 1）二梁接觸處的

24、壓力 FC ；（ 2）加固后梁 AB 的最大彎矩和 B 點(diǎn)的撓度減小的百分?jǐn)?shù)。解：（ 1）求二梁接觸處的壓力 FC以 AB為研對象， 把 C 處的圓柱墊去掉，代之以約束反力 FC （）；以AC 為研究對象，作用在C''處的力為 FC （）。 FC 與 FC 是一對作用與反作用AB梁在 C處的撓度：wC , ABwCF wCFC 。查附錄 IV 得：l2wCFF ( 2)(3ll)5Fl 36EI248EIFC (l)2llFC l 3wCFC2(36EI22)24EI故， wC ,ABwCFwCF5Fl 3FC l 348EI24EICAC梁在 C處的撓度：FC' (

25、l ) 3FC l3wC ,AC23EI24EI變形協(xié)調(diào)方程：wC , ABwC , AC5Fl 3FC l 3FC l 348EI24 EI24EI5FFCFC4824245F2FC2FC5FFC（）4（ 2）求加固后梁AB 的最大彎矩和B 點(diǎn)的撓度減小的百分?jǐn)?shù) 彎矩的變化情況加固前：lFlM CF22M AFlM max加固后：M C 'FlFlM max22M A 'Fl5Fl3Fl428Fl1Fl2顯然， AB 梁的最大彎矩減?。?0% （負(fù)彎矩只表示AB梁上側(cè)受拉）Fl B 點(diǎn)撓度的變化情況加固前：wBFl 33EI加固后： wB 'wCFwCFCFlCC2w

26、CFFl 33EIl25F3wCFCFC (2)(3llFC l 34l5Fl 36EI2)24EI24EI96EI2FCl lFC ( l ) 2FC l25F l 25Fl22224CFCEI2EI8EI32EI8EI故， wB 'wCFwCFCFlCC2Fl 35Fl 35Fl 2l3EI96EI32EI 239Fl 3192EIB 點(diǎn)撓度減小的百分?jǐn)?shù)為：Fl 339Fl 325 Fl 3253EI192EI192EIFl 364 Fl 339%643EI192EI 習(xí)題 6-18圖示結(jié)構(gòu)中梁AB 和梁 CD的尺寸及材料均相同，已知EI 為常量。試?yán)L出梁 CD的剪力圖和彎矩圖。解

27、：（ 1）求多余未知力把剛性桿 EF 去掉，代之以約束反力N EF （）和 N FE （）。它們是一對作用與反作用力。NEFNFE 。AB梁在 E 處的撓度為：wENl 348EICD梁在 F 處的撓度為：5ql 4Nl 3wF48EI384EI變形形協(xié)調(diào)方程：wEwF Nl 35ql 4Nl 348EI384EI48EIN5qlN48384488N5ql8NN5ql16RCql15ql11ql由對稱性可知，RD216（）232（2）作 CD梁的彎矩圖CF段的彎矩方程： M ( x)11qlxq x 2x 0, l 3222M (0)0M ( l )11qllq ( l ) 27ql 2432

28、424128M ( l )11qllq ( l )23ql 26ql 223222264128EI令dM (x) 11qlqx0 得：當(dāng) x11l時(shí)，彎矩取最大值。dx3232M maxM (11l )11ql11lq (11l )2121ql 23232322322048FD段的彎矩方程： M ( x)11ql (lx)q (lx) 2x l ,l 3222由對稱性可知： M ( 3l ) M ( l )7ql 244128M ( 21l ) M (11l )121ql 232322048CD梁的彎矩圖如下圖所示。048121620242832011x(L/32)22334455667788

29、99110 M(qL*L/2048)121CD梁的彎矩圖（3）作 CD梁的剪力圖11qlQCF3211qlql5qlQ FC2323211qlql5ql5qlQ FD216323211qlQ D32Q(qL/32)11109876543x(L)210-1-200.20.40.60.81-3-4-5-6-7-8-9-10-11CD梁的剪力圖 習(xí)6-19在一直線上打入n 個(gè)半徑為r的圓樁，樁間距均為l 。將厚度為題的平鋼板按圖示方式插入圓樁之間，鋼板的彈性模量為E ，試求鋼板內(nèi)產(chǎn)生的最大彎曲應(yīng)力。解：以 AC為研究對象。把AC彎成目前形狀時(shí)，在A、C 必須向上的力；B 樁相當(dāng)于向下的集中荷載F（）。變形協(xié)調(diào)條件為：w B2rF (2l )348 EI2r96 EIr12EIrFl 3(2l