高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)專題

1、運(yùn)動(dòng)學(xué)第一講基本知識(shí)介紹一. 基本概念1 質(zhì)點(diǎn)2. 參照物3. 參照系一一固連于參照物上的坐標(biāo)系(解題時(shí)要記住所選的是參照系， 而不僅是一個(gè)點(diǎn))4 .絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)：v絕二v相+v牽二. 運(yùn)動(dòng)的描述1. 位置：r=r(t)2 .位移： r=r(t+ t) r(t)3.速度：v=lim AtA r/ t.在大學(xué)教材中表述為：v=dr/dt, 表示r對(duì)t求 導(dǎo)數(shù)、” 24 .加速度a=an+a an：法向加速度，速度方向的改變率，且 an=v / p , p叫 做曲率半徑，(這是中學(xué)物理競(jìng)賽求曲率半徑的唯一方法) aT:切向加速度，速 度大小的改變率。a=dv/dt5. 以上是運(yùn)動(dòng)學(xué)

2、中的基本物理量，也就是位移、位移的一階導(dǎo)數(shù)、位移的 二階導(dǎo)數(shù)?？墒侨A導(dǎo)數(shù)為什么不是呢？因?yàn)榕ｎD第二定律是 F=ma即直接和加速度相聯(lián)系。(a對(duì)t的導(dǎo)數(shù)叫“急動(dòng)度”。)6. 由于以上三個(gè)量均為矢量，所以在運(yùn)算中用分量表示一般比較 好三. 等加速運(yùn)動(dòng)2 v(t)=v o+atr(t)=r o+vot+1/2 atu一道經(jīng)典的物理問題：二次世界大戰(zhàn)中物理學(xué)家曾經(jīng) 研究，當(dāng)大炮的位置固定，以同一速度 V。沿各種角度發(fā)射， 問：當(dāng)飛機(jī)在哪一區(qū)域飛行之外時(shí)， 不會(huì)有危險(xiǎn)？(注：結(jié) 論是這一區(qū)域?yàn)橐粧佄锞€，此拋物線是所有炮彈拋物線的包 絡(luò)線。此拋物線為在大炮上方h=v2/2g處，以V。平拋物體的 軌跡。)

3、練習(xí)題：一盞燈掛在離地板高l 2,天花板下面l 1處。燈泡爆裂，所有碎片以同樣大小 的速度V朝各個(gè)方向飛去。求碎片落到地板上的半徑(認(rèn)為碎片和天花板的碰 撞是完全彈性的，即切向速度不變，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非 彈性的，即碰后靜止。四. 剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1. 我們講過(guò)的圓周運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)而不是轉(zhuǎn)動(dòng)2 . 角位移 = ( t),角速度3 =d /dt , 角加速度 =d 3 /dt 3.有限的角位移是標(biāo)量，而極小的角位移是矢量4. 同一剛體上兩點(diǎn)的相對(duì)速度和相對(duì)加速度兩點(diǎn)的相對(duì)距離不變，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，VA=VB+Ab, 在AB連線上A投影：VA AB=Vb AE,a A=aB

4、+aAB,aAB=, aAB+, AB, , a AB垂直于 AB, 3aB=Vab/AB例：A, B, C三質(zhì)點(diǎn)速度分別 VA, VB , VC求G的速度。五課后習(xí)題：一只木筏離開河岸，初速度為 V,方向垂直于岸邊，航行路線如圖。經(jīng)過(guò)時(shí)間T木筏劃到路線上標(biāo)有符號(hào)處。河水速度恒定U用作圖法找到在2T，3T, 4T時(shí)刻木筏在航線上的確切位置。五、處理問題的一般方法(Va=V)1 +cosot(1) 用微元法求解相關(guān)速度問題例1:如圖所示，物體A置于水平面上，A前固定一滑輪B,高 臺(tái)上有一定滑輪D, 根輕繩一端固定在 C點(diǎn)，再繞過(guò)B D, BC段 水平，當(dāng)以恒定水平速度v拉繩上的自由端時(shí)，A沿水平

5、面前進(jìn)，求 當(dāng)跨過(guò)B的兩段繩子的夾角為a時(shí)，A的運(yùn)動(dòng)速度。(2) 拋體運(yùn)動(dòng)問題的一般處理方法1. 平拋運(yùn)動(dòng)2. 斜拋運(yùn)動(dòng)3. 常見的處理方法(1) 將斜上拋運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋 運(yùn)動(dòng)(2) 將沿斜面和垂直于斜面方向作為 x、y軸，分別分解初速度和加速度后 用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解題(3) 將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的斜向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和自由落體 運(yùn)動(dòng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，用矢量合成法則求解例2：在擲鉛球時(shí)，鉛球出手時(shí)距地面的高度為 h,若出手時(shí)的速度為 必， 求以何角度擲球時(shí)，水平射程最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)射程為多少？(a = sin一V。一、x=“V2gh )、丿2応 +2ghg丫車對(duì)地

6、第二講運(yùn)動(dòng)的合成與分解、相對(duì)運(yùn)動(dòng)(2) 動(dòng)規(guī)律(3) 角形等A.力的獨(dú)立性原理：各分力作用互不影響，單獨(dú)起作用。運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理：分運(yùn)動(dòng)之1可互不影響，彼此之間滿足自己的運(yùn) 力的合成分解：遵循平行四邊形定則，方法有正交分解，解直角三 運(yùn)動(dòng)的合成分解：矢量合成分解的規(guī)律方法適用位移的合成分解B.速度的合成分解C.加速度的合成分解(一)知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)撥參考系的轉(zhuǎn)換：動(dòng)參考系，靜參考系相對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于靜參考系統(tǒng)(通常指固定于地面的參考系）的運(yùn)動(dòng) 牽連運(yùn)動(dòng)：動(dòng)參考系相對(duì)于靜參考系的運(yùn)動(dòng)（5）位移合成定理：SA對(duì)地=Sa對(duì)b+Sb對(duì)地 速度合成定理：=V加速度合成定理：

7、a絕對(duì)=a相對(duì)+a牽連（二）典型例題（1）火車在雨中以30m/s的速度向南行駛，雨滴被風(fēng)吹向南方，在地球上靜止的觀察者測(cè)得雨滴的徑跡與豎直方向成21。角，而坐在火車?yán)锍丝涂吹接甑蔚膹桔E恰好豎直方向。求解雨滴相對(duì)于地的運(yùn)動(dòng)。提示：矢量關(guān)系入圖答案：83.7m/s（2）某人手拿一只停表，上了一次固定樓梯，又以不同方式上了兩趟自動(dòng) 扶梯，為什么他可以根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算自動(dòng)扶梯的臺(tái)階數(shù)？梯對(duì)地=n/t2 人對(duì)地=n/t3提示：V人對(duì)梯=n1/t1VVV人對(duì)地=V人對(duì)梯+ V梯對(duì)地 答案：n=t2t 3ni/ （ 12-t 3）11并在距船s=150m（3）某人駕船從河岸A處出發(fā)橫渡，如果使船頭保持跟

8、河 岸垂直的方向航行，則經(jīng)10min后到達(dá)正對(duì)岸下游120m的C 處，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成a角的方向航行，則經(jīng)過(guò)12.5min恰好到達(dá)正對(duì)岸的B處，求河的寬度。提示：120=V* *600 D=V 船 *600答案：200m（4）一船在河的正中航行，河寬l=100m，流速u=5m/s， 的下游形成瀑布，為了使小船靠岸時(shí)，不至于被沖進(jìn)瀑布中，船對(duì)水的最小速度 為多少？提示：如圖船航行答案：1.58m/s（三）同步練習(xí)1. 一輛汽車的正面玻璃一次安裝成與水平方向傾斜角為B 1=30，另一次安裝成傾角為B 2=15。問汽車兩次速度之比 上為多少時(shí)，司機(jī)都是看見冰雹都V2是以豎直方向從車的

9、正面玻璃上彈開？（冰雹相對(duì)地面是豎直下落的）2、模型飛機(jī)以相對(duì)空氣v=39km/h的速度繞一個(gè)邊長(zhǎng)2km的等邊三角形飛行, 設(shè)風(fēng)速u = 21km/h ，方向與三角形的一邊平行并與飛機(jī)起飛方向相同，試求： 飛機(jī)繞三角形一周需多少時(shí)間？3、圖為從兩列蒸汽機(jī)車上冒出的兩股長(zhǎng)幅氣霧拖尾的照 片（俯視）。兩列車沿直軌道分別以速度V1=50km/h和 V2=70km/h行駛，行駛方向如箭頭所示，求風(fēng)速。4、細(xì)桿AB長(zhǎng)L ，兩端分別約束在x、y軸上運(yùn)動(dòng)，（1）試求桿上與A點(diǎn)相距aL （0v a v 1）的P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡；（2）V1如果Va為已知，試求P點(diǎn)的x、y向分速度Vpx和vpy對(duì)桿方 位角9的函數(shù)。A

10、（四）同步練習(xí)提示與答案1、提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角 形。答案為：3。2、提示：三角形各邊的方向?yàn)轱w機(jī)合速度的方向 （而非機(jī)頭的指向）；第二段和第三段V合大小相同。參見右圖，顯然：v2 = v合 + u 2 2v 合ucos120可解出v合=24km/h 。 答案：0.2hour （或 12min.）3、提示：方法與練習(xí)一類似。4、提示：（1）寫成參數(shù)方程答案為：3x aL sin Hi-、/、力、“/.d、后消參數(shù)y =(1 a)L cos 6（2）解法有講究：以A端為參照，則桿上各點(diǎn)只繞 實(shí)際運(yùn)動(dòng)情形如右圖，應(yīng)有V牽=V ACOS 0， v轉(zhuǎn)=v aC0S日，可知B端相對(duì)A

11、的轉(zhuǎn)動(dòng)線速sin vA轉(zhuǎn)動(dòng)。但鑒于桿子的度為：v 轉(zhuǎn) + v Asin 0 =VA。si n日匹=vsi n r所以 V Px = V 相 cos 0 + V Ax ，v 相sin 0P點(diǎn)的線速度必為VPy = V Ayvb答案:橢圓；（2）2 2(1)亠+(aL)2(1 -a)2L2VPx = av ACtg 0， VPy =1 ，為(1 a)VA第四部分 曲線運(yùn)動(dòng) 萬(wàn)有引力第一講基本知識(shí)介紹一、曲線運(yùn)動(dòng)1概念、性質(zhì)2、參量特征二、曲線運(yùn)動(dòng)的研究方法一一運(yùn)動(dòng)的分解與合成1法則與對(duì)象2、兩種分解的思路a固定坐標(biāo)分解（適用于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)）建立坐標(biāo)的一般模式一一沿加速度方向和垂直加速度方向建直角

12、坐標(biāo)；提 高思想一一根據(jù)解題需要建直角坐標(biāo)或非直角坐標(biāo)。b、自然坐標(biāo)分解（適用于變加速曲線運(yùn)動(dòng)）基本常識(shí)：在考查點(diǎn)沿軌跡建立切向t、法向 n坐標(biāo)，所有運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量均 沿這兩個(gè)方向分解。廠送F = ma動(dòng)力學(xué)方程T_ I,其中改變速度的大?。ㄋ俾剩琣n改變速度的 gFn =man方向。且an= mv2其中P表示軌跡在考查點(diǎn)的曲率半徑。定量解題一般只涉及法向動(dòng)力學(xué)方程。三、兩種典型的曲線運(yùn)動(dòng)1拋體運(yùn)動(dòng)（類拋體運(yùn)動(dòng)）關(guān)于拋體運(yùn)動(dòng)的分析，和新課教材“平跑運(yùn)動(dòng)”的分析基本相同。在坐標(biāo) 的選擇方面，有靈活處理的余地。2、圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的處理：運(yùn)動(dòng)學(xué)參量 v、3、n、a、f、T之間的關(guān)系，向心 力的尋

13、求于合成；臨界問題的理解。變速圓周運(yùn)動(dòng)：使用自然坐標(biāo)分析法，一般只考查法向方程。四、萬(wàn)有引力定律1定律內(nèi)容2、條件a、基本條件b、拓展條件：球體（密度呈球?qū)ΨQ分布） 外部空間的拓展-對(duì)球體外一點(diǎn)A的吸引等 效于位于球心的質(zhì)量為球的質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn) A的吸引；球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）內(nèi)部空間的拓展“剝皮法則”-對(duì)球內(nèi)任一 距球心為r的一質(zhì)點(diǎn)A的吸引力等效于質(zhì)量與半徑為r的球的質(zhì)量相等且位于 球心的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)A的吸引；球殼（密度呈球?qū)ΨQ分布） 外部空間的拓展-對(duì)球殼外一點(diǎn)A的吸引等 效于位于球心的質(zhì)量為球殼的質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn) A的吸引；球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）內(nèi)部空間的拓展-對(duì)球殼內(nèi)任一位置上任一

14、 質(zhì)點(diǎn)A的吸引力都為零；并且根據(jù)以為所述，由牛頓第三定律，也可求得一質(zhì)點(diǎn)對(duì)球或?qū)η驓さ奈、不規(guī)則物體間的萬(wàn)有引力計(jì)算分割與矢量疊加3、萬(wàn)有引力做功也具有只與初末位置有關(guān)而與路徑無(wú)關(guān)的特征。因而相互作用的物體間有引力勢(shì)能。在任一慣性系中，若規(guī)定相距無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)系統(tǒng)的萬(wàn)有引 力勢(shì)能為零，可以證明，當(dāng)兩物體相距為 r時(shí)系統(tǒng)的萬(wàn)有引力勢(shì)能為 Ep =-Gmmir五、開普勒三定律天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式與近似模式的差距，近似處理的依據(jù)。六、宇宙速度、天體運(yùn)動(dòng)1、第一宇宙速度的常規(guī)求法2、從能量角度求第二、第三宇宙速度萬(wàn)有引力勢(shì)能莊=Gmmr3、解天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式時(shí)，應(yīng)了解橢圓的數(shù)學(xué)常識(shí)第二講重要模型與專題

15、圖1一、小船渡河物理情形：在寬度為d的河中，水流速度V2恒定。岸邊有一艘小船，保持相 對(duì)河水恒定的速率Vi渡河，但船頭的方向可以選擇。試求小船渡河的最短時(shí)間 和最小位移。模型分析：小船渡河的實(shí)際運(yùn)動(dòng)（相對(duì)河岸的運(yùn)動(dòng)）由船相對(duì)水流速度和水相對(duì)河岸的速度V2合成?？梢栽O(shè)船頭與河岸上游夾角為B （即 Vi的方向）， 速度矢量合成如圖1（學(xué)生活動(dòng)）用余弦定理可求 v合的大小v 合=.V： v2 - 2v1v2 cos（學(xué)生活動(dòng)）用正弦定理可求 V合的方向。令V合與河岸下游夾角為a,則v1 sin 日a = arcs in v； v2 -2v1v2 cos二1、求渡河的時(shí)間與最短時(shí)間由于合運(yùn)動(dòng)合分運(yùn)動(dòng)具

16、有等時(shí)性，故渡河時(shí)間既可以根據(jù)合運(yùn)動(dòng)求，也可以 根據(jù)分運(yùn)動(dòng)去求。針對(duì)這一思想，有以下兩種解法s合t = S Vid/sin 0 = dv1v1 sin v此外，結(jié)合靜力學(xué)正交分解 的思想，我們也可以建立沿河岸 合垂直河岸的坐標(biāo)x、y，然后 先將Vi分解（V2無(wú)需分解），再 合成，如圖2所示。而且不難看 出，合運(yùn)動(dòng)在 具有以下關(guān)系Vy = V 1yVx = V 2 - V 1x由于合運(yùn)動(dòng)沿Vx和Vy與Vi在X、y方向的分量Vix、Viy以及V2X、y方向的分量解法三：t =y方向的分量Sy = Q .VyViydV! sin v解法一：t =其中V合可用正弦定理表達(dá)，故有t =d/si not

17、=dvi sin jVi sin vsin :-t（ 9）函數(shù)既已得出，我們不難得出結(jié)論當(dāng)B = 90。時(shí)，渡河時(shí)間的最小值t min =Vi（從“解法三”我們最容易理解t為什么與V2無(wú)關(guān)，故tmin也與V2無(wú)關(guān)。這 個(gè)結(jié)論是意味深長(zhǎng)的。）d -. v2v2 - 2viv2convi sin J2、求渡河的位移和最小位移 在上面的討論中，小船的位移事實(shí)上已經(jīng)得出，即d _d _S 合=sin a Vi .sin 二 v合但S合（9）函數(shù)比較復(fù)雜，尋求 S合的極小值并非易事。因此，我們可以從 其它方面作一些努力。將S合沿x、y方向分解成Sx和Sy，因?yàn)镾y三d，要S合極小，只要Sx極小 就行了。

18、而Sx （9 ）函數(shù)可以這樣求一一解法Sx = V xt =Sy(V2 - V ix)Vy(V2v icos 9)dvi sin為求極值，令cos 9 = p，則sin 9 = J - p2，再將上式兩邊平方、整理, 得到v2（S： +d2）p2 ZvMdl+dv； S：v2 =0這是一個(gè)關(guān)于p的一元二次方程，要p有解，須滿足0，即4v：v2d4 4v2 （SX d2）（d2v； S：v：）整理得 SM d2（v2-v2）所以，Smin=2 Jv； -v：，代入S （9 ）函數(shù)可知，此時(shí)cos 9 =出v 1v 2最后，Smin= Js；min +S：=仝 dvi此過(guò)程仍然比較繁復(fù)，且數(shù)學(xué)味太

19、濃。結(jié)論得出后，我們還不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)問 題：當(dāng)v；vvi時(shí)，Sin d，這顯然與事實(shí)不符。（造成這個(gè)局面的原因是：在以 上的運(yùn)算過(guò)程中，方程兩邊的平方和開方過(guò)程中必然出現(xiàn)了增根或遺根的現(xiàn)象） 所以，此法給人一種玄乎的感覺。解法二：純物理解一一矢量三角形的動(dòng)態(tài)分析從圖2可知，Sy恒定，Sx越小，必有S合矢量與下游河岸的夾角越大，亦即 v 合矢量與下游河岸的夾角越大（但不得大于 90） o我們可以通過(guò)vi與v；合成v合矢量圖探討v合與下游河岸夾角的最大可能。先進(jìn)行平行四邊形到三角形的變換，如圖 3所示。當(dāng)9變化時(shí)，v合矢量的大小和方向隨之變化，具體情況如圖 4所示。從圖4不難看出，只有當(dāng)v合和虛線半

20、圓周相切時(shí)，v合與v；（下游）的夾角才會(huì)最大。此時(shí),v合丄vi，vi、v；和v合構(gòu)成一個(gè)直角三角形，amax= arcsin 也v；圖4v；v；viv；v；viarccos有了 a max的值，結(jié)合圖i可以求出:S 合 minv；v；vi最后解決V2V V1時(shí)結(jié)果不切實(shí)際的問題。從圖4可以看出，當(dāng)V2V V1時(shí)，v合不可能和虛線半圓周相切（或a max = arcsin二無(wú)解），結(jié)合實(shí)際情況，a max取V290即：V2 Vi 時(shí)，S 合 min = d，此時(shí),0 = arccosV2Vi結(jié)論：若 Vi V2 ， 0 = arccos 時(shí),S合 min =V2V1若 V2 Vi。故“船速增大”

21、才是正確結(jié)論。故只能引入瞬時(shí)方位角0，看 Vi和V2的瞬時(shí)關(guān)系。（學(xué)生活動(dòng)）VI和V2定量關(guān)系若何？是否可以考慮用運(yùn)動(dòng)的分解與合成的知 識(shí)解答？針對(duì)如圖6所示的兩種典型方案，初步評(píng)說(shuō)甲圖中 V2 = v icos 0，船越靠岸，0越大，V2越小，和前面的定性結(jié)論沖突，必然是錯(cuò)誤的。錯(cuò)誤的根源分析：和試驗(yàn)修訂本教材中“飛機(jī)起飛”的運(yùn)動(dòng)分析進(jìn)行了不恰當(dāng)?shù)芈?lián)系。仔細(xì)比較這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的差別，并聯(lián)系“小船渡河”的運(yùn)動(dòng)合成等事例,總結(jié)出這樣的規(guī)律一一合運(yùn)動(dòng)是顯性的、軌跡 實(shí)在的運(yùn)動(dòng)，分運(yùn)動(dòng)是隱性 的、需要分析而具有人為特 征（無(wú)唯一性）的運(yùn)動(dòng)。甲Vs?乙解法一：在圖6 （乙）中，當(dāng)我們挖掘、分析了滑輪繩子端

22、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)后，不 難得出：船的沿水面運(yùn)動(dòng)是 V2合運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)參與繩子的縮短運(yùn)動(dòng) Vi和隨繩子的 轉(zhuǎn)動(dòng)V轉(zhuǎn)，從而肯定乙方案是正確的。即：V2 = V 1 / cos 0解法二：微元法。從考查位置開始取一個(gè)極短過(guò)程，將繩的運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)&D在圖7 （甲） 中標(biāo)示出 來(lái)，AB是繩 的初識(shí)位 置，AC是繩 的末位置， 在AB上取AD =AC 得 甲乙D點(diǎn)，并連接CD顯然，圖中BC是船的位移大小，DB是繩子的縮短長(zhǎng)度。由于過(guò)程極短，等腰三角形 ACD的頂角/A -0,則底角/ ACD90， CDB趨于直角三角形。將此三角放大成圖 7 （乙）， 得出：S2 = S i / cos 0 。鑒于過(guò)程極短，繩的縮

23、短運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)都可以認(rèn)為是勻速的，即：S2 = V2t ，Si = v i t 。所以：V2 = V 1 / cos 0三、斜拋運(yùn)動(dòng)的最大射程物理情形：不計(jì)空氣阻力，將小球斜向上拋出，初速度大小恒為V0，方向可以選擇，試求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。模型分析：斜拋運(yùn)動(dòng)的常規(guī)分析和平拋運(yùn)動(dòng)完全相同。設(shè)初速度方向與水平面夾0角，建立水平、豎直的x、y軸，將運(yùn)動(dòng)學(xué)參量沿x、y分解。針對(duì)拋出到落回原高度的過(guò)程結(jié)論：當(dāng)拋射角0=45 時(shí)，最大射程SXmax =0 = S y = V 0y t +1 2 (-g ) t2S = V 0x t解以上兩式易得：V2Sx 一0 sin2 0g（學(xué)生活

24、動(dòng)）若V。、0確定，試用兩種方法求小球到達(dá)的最大高度。 運(yùn)動(dòng)學(xué)求解一一考查豎直分運(yùn)動(dòng)即可；能量求解一一注意小球在最高點(diǎn)應(yīng)具 備的速度Vox ,然后對(duì)拋出到最高點(diǎn)的過(guò)程用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒。結(jié)論：Hn =v2 sin2 二。四、物體脫離圓弧的討論物理情形：如圖8所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩一端固定，另一端系一小球。當(dāng)小球 在最低點(diǎn)時(shí)，給球一個(gè)V。= 2 ,gL的水平初速，試 求所能到達(dá)的最大高度。模型分析：用自然坐標(biāo)分析變速圓周運(yùn)動(dòng)的典 型事例。能量關(guān)系的運(yùn)用，也是對(duì)常規(guī)知識(shí)的復(fù)習(xí)。（學(xué)生活動(dòng)）小球能否形成的往復(fù)的擺動(dòng)？小 球能否到達(dá)圓弧的最高點(diǎn)C ?通過(guò)能量關(guān)系和圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)， 得出：小球

25、運(yùn)動(dòng)超過(guò)B點(diǎn)、但不能到達(dá)C點(diǎn)（vc vgL），即小球必然在BC之間的某點(diǎn)脫離圓弧。（學(xué)生活動(dòng)）小球會(huì)不會(huì)在BC之間的某點(diǎn)脫離 圓弧后作自由落體運(yùn)動(dòng)？盡管對(duì)于本問題，能量分析是可行的（BC之間 不可能出現(xiàn)動(dòng)能為零的點(diǎn)，貝U小球脫離圓弧的初速 度Vd不可能為零），但用動(dòng)力學(xué)的工具分析，是本模型的重點(diǎn)在BC階段，只要小球還在圓弧上，其受力分析必如圖9所示。沿軌跡的切向、法向分別建t、 n坐標(biāo)，然后將重力G沿t、n分解為G和G分量，T為繩子張力。法向動(dòng)力學(xué)方程為2v 藝 Fn = man = mr由于T0，G0，故v工0。（學(xué)生活動(dòng)：若換一個(gè)Vo值, 在AB階段，v = 0是可能出現(xiàn)的；若將繩子換成輕

26、桿，在 BC階 段v = 0也是可能出現(xiàn)的。）下面先解脫離點(diǎn)的具體位置。設(shè)脫離點(diǎn)為D,對(duì)應(yīng)方位角為如圖8所示。由于在D點(diǎn)之后繩子就要彎曲，貝吐匕時(shí)繩子的 張力T為零，而此時(shí)仍然在作圓周運(yùn)動(dòng)，故動(dòng)力學(xué)方程仍滿足Gsin02v m在再針對(duì)A D過(guò)程，小球機(jī)械能守恒，即（選A所在的平面為參考平面）r0) + 丄 mvD2小球1 2mv0 + 0 = mg ( L + Lsi n 29代入v值解、兩式得：0 = arcsin ，（同時(shí)得到:3脫離D點(diǎn)后將以vd為初速度作斜向上拋運(yùn)動(dòng)。它所能到達(dá)的最高點(diǎn)（相對(duì) A）可 以用兩種方法求得。先求小球斜拋的最大高度,h = WdCOST)2 hm =vD(1

27、sin2 巧2g2g解法一：運(yùn)動(dòng)學(xué)途徑。5代入B和VD的值得：hm= L2750 小球相對(duì)A的總高度：Hn = L + Lsin 9 + hm= 50 L27解法二：能量途徑小球在斜拋的最高點(diǎn)仍具有 vd的水平分量，即VDSin 9 = - j-gL。對(duì) 233最高點(diǎn)的過(guò)程用機(jī)械能守恒定律（設(shè) A所在的平面為參考平面），有+ mg H m12 12mv0 + 0 = m （ vd sin 巧2 2 容易得到：FL = 50 L 27五、萬(wàn)有引力的計(jì)算 物理情形：如圖9所示， 半徑為R的均質(zhì)球質(zhì)量為 M球心在0點(diǎn)，現(xiàn)在被內(nèi) 切的挖去了一個(gè)半徑為R/2 的球形空腔（球心在0）。在O 0的連線上距離

28、 0 點(diǎn)為d的地方放有一個(gè)很小 的、質(zhì)量為m的物體，試求 這兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引 力。本模型除了照應(yīng)萬(wàn)有引力的拓展條件之外， 著模型分析：無(wú)論是“基 本條件”還是“拓展條件”， 本模型都很難直接符合，因 此必須使用一些特殊的處理方法。 重介紹“填補(bǔ)法”的應(yīng)用空腔里現(xiàn)在雖然空無(wú)一物，但可以看成是兩個(gè)半徑為R/2的球的疊加：一個(gè)的質(zhì)量為+M/8，一個(gè)的質(zhì)量為一M/8。然后，前者正好填補(bǔ)空腔一一和被挖除 后剩下的部分構(gòu)成一個(gè)完整的均質(zhì)球 A ;注意后者，雖然是一個(gè)比較特殊的物 體（質(zhì)量為負(fù)值），但仍然是一個(gè)均質(zhì)的球體，命名為 B。既然A、B兩物均為均質(zhì)球體，他們各自和右邊小物體之間的萬(wàn)有引力，就 可

29、以使用“拓展條件”中的定勢(shì)來(lái)計(jì)算了。只是有一點(diǎn)需要說(shuō)明，B物的質(zhì)量既然負(fù)值，它和m之間的萬(wàn)有“引力”在方向上不再表現(xiàn)為吸引，而應(yīng)為排斥一一 成了“萬(wàn)有斥力”了。具體過(guò)程如下MmFAm = G2d2FBm = GMmG2、28（d 一 號(hào)）$MmMm最后，兩物之間的萬(wàn)有引力 F = F Am+ F Bm= G Gd28（d）22需要指出的是，在一部分同學(xué)的心目中，可能還會(huì)存在另一種解題思路，那就是先通過(guò)力矩平衡求被挖除物體的重心（仍然要用到“填補(bǔ)法”、負(fù)質(zhì)量物體的重力反向等），它將在O O的連線上距離O點(diǎn)左側(cè)R/14處，然后“一步到 位”地求被挖除物與m的萬(wàn)有引力MmF = G R 2（d ）214然而，這種求法違背了萬(wàn)有引力定律適用的條件，是一種錯(cuò)誤的思路。六、天體運(yùn)動(dòng)的計(jì)算物理情形：地球和太陽(yáng)的質(zhì)量分別為 m和M，地球繞太