專(zhuān)題一阿基米德三角形地性質(zhì)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)阿基米德三角形的性質(zhì)阿基米德三角形：拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形。阿基米德最早利用逼近的思想證明了：拋物線(xiàn)的弦與拋物線(xiàn)所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的。阿基米德三角形的性質(zhì)：設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2=2py，稱(chēng)弦 AB為阿基米德三角形的底邊，M為底邊 AB的中點(diǎn)， Q為兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)。性質(zhì) 1阿基米德三角形底邊上的中線(xiàn)與拋物線(xiàn)的軸。性質(zhì) 2阿基米德三角形的底邊即弦AB過(guò)拋物線(xiàn)內(nèi)定點(diǎn)C，則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為。性質(zhì) 3拋物線(xiàn)以 C為中點(diǎn)的弦與 Q點(diǎn)的軌跡。性質(zhì) 4若直線(xiàn) l 與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn)。性質(zhì) 5底邊長(zhǎng)為 a 的

2、阿基米德三角形的面積的最大值為。性質(zhì) 6若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為拋物線(xiàn)的，且阿基米德三角形的面積的最小值為。性質(zhì) 7在阿基米德三角形中， QFA=QFB。性質(zhì) 8在拋物線(xiàn)上任取一點(diǎn)I（不與、B重合），過(guò)I作拋物線(xiàn)切線(xiàn)交、于、 ，則AQA QBS TQST的垂心在上。性質(zhì)9|2AF| · | BF|=| QF| .性質(zhì) 10的中點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，且P處的切線(xiàn)與AB。QM性質(zhì) 11在性質(zhì) 8 中，連接 AI 、 BI ，則 ABI 的面積是 QST面積的倍。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)高考題中的阿基米德三角形例 1（ 2005 江西卷，理 22 題）如圖，設(shè)拋物線(xiàn) C : y =

3、 x2 的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn) P在直線(xiàn) l : x - y - 2 = 0上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P 作拋物線(xiàn) C的兩條切線(xiàn) PA、 PB，且與拋物線(xiàn)C分別相切于 A、B 兩點(diǎn) .（ 1）求的重心G的軌跡方程 .APB（ 2）證明 PFA= PFB.y解：（ 1）設(shè)切點(diǎn) A、B 坐標(biāo)分別為22x0 ) ，F(xiàn)B(x, x0 )和(x1, x1 )( x1 1Alxx02切線(xiàn) AP的方程為：2x0 x - y -= 0;O切線(xiàn) BP的方程為： 2x1 x - y -x12=0;P解得 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為： xP=x0 + x1 , yP= x0x12所以的重心 的坐標(biāo)為，APBGyG =y+ y+ yP =x2+ x

4、2 + xx1 =(x+ x)2- xx1 =4xP 2 - yp,010100103333所以 yp = - 3yG + 4xG2，由點(diǎn) P 在直線(xiàn) l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為：x - (- 3y +4x 2 ) -2 =0,即 y =1 (4x 2 - x + 2).uur3uuuruuur1x0+ x111（ 2）方法 1：因?yàn)?FA= (x, x2-, xx-= (x , x2).00), FP= (1), FB1-420414uuur由于 P 點(diǎn)在拋物線(xiàn)外，則 | FP |10.uuuruuurx0+ x1 ?x 0(x0x1 -1)( x02-1)x 0x1 +1 cos

5、 ? A FPFP ×FA=244=uuur4 ,uuuruuuruuur1| FP| FA|22-)2| FP| FP | x0+ ( x04uuuruuurx0+ x1?x1(x0x1 -1)( x12-1x0x1 +1)同理有 cos? BFPFP ×FB=244=uuur4 ,uuuruuuruuur1|FP |FB |222| FP|FP |x-1 + (x1)4=.AFPPFB方法 2：當(dāng) x1x0= 0時(shí)由,于 x1?x0 , 不妨設(shè) x00,則 y0= 0,所以 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( x1,0) ，則 P點(diǎn)到直2精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn) AF的距離為： d=| x1

6、| ; 而直線(xiàn) BF 的方程 : y -1=x12 -14 x,124x1即211-4)x - x1y +4 x1 = 0.(x1| (x12 -所以 P 點(diǎn)到直線(xiàn) BF的距離為： d2 =(x12 -1)x1+x1|(x2+1| x1 |42414)| x1 |2=1 )2 + (x1 )2x12 + 1244所以 d1=d2，即得 AFP= PFB.21當(dāng) x1x0 1 0 時(shí)，直線(xiàn) AF的方程：y -1=x 0 -4(x - 0),即(x211x0 = 0,4x0 -00- )x - x0y +442-1直線(xiàn) BF的方程： y -1x14 ( x - 0), 即(x12 -11=)x -

7、x1y +x1= 0,4x1 -044所以 P 點(diǎn)到直線(xiàn) AF的距離為：21x+ x21x- x21d1 =| (x0 -4 )(0 21 ) - x0x1+4 x 0 | =|021 )( x 0+4) =| x0 - x1 | ，(x 02 -1 )2 + x02x 02 + 1244同理可得到P點(diǎn)到直線(xiàn)BF的距離d2| x1-x 0 |1=2，可得到=PFB=2，因此由 ddAFP例 2(2006 全國(guó)卷，理21 題 ) 已知拋物線(xiàn)x2 4y 的焦點(diǎn)為 F，A、B 是拋物線(xiàn)上的兩動(dòng)點(diǎn)，且AF FB（ 0）過(guò) A、 B 兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，設(shè)其交點(diǎn)為（）證明 FM· AB為定

8、值；（）設(shè) ABM的面積為 S，寫(xiě)出 Sf ( ) 的表達(dá)式，并求S 的最小值解： ( ) 由已知條件，得F(0 ， 1) ， 0設(shè) A( x1， y1) ， B( x2， y2) 由 AF FB，即得( x1， 1y) ( x2， y2 1) ， x1 x21 y1 (y 21)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)11將式兩邊平方并把y1 4x12， y24x22 代入得y1 2y21解、式得y1 ， y2 ，且有 x1x2 x22 4 y2 4，11拋物線(xiàn)方程為y4x2，求導(dǎo)得 y 2x所以過(guò)拋物線(xiàn)上A、B 兩點(diǎn)的切線(xiàn)方程分別是11y 2x1( xx1) y1，y 2x2( x x2) y2，1111即 y

9、2x1x 4x12，y 2x2x4x22M的坐標(biāo)為 (x1 x2x1x2x1 x2解出兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)2， 4) (2，1)4 分x1 x2111所以 FM· AB (2， 2) · ( x2 x1， y2 y1) 2( x22x12) 2( 4x22 4x12) 07 分所以 FM· AB為定值，其值為 01( ) 由 ( ) 知在 ABM中， FMAB，因而 S 2| AB|FM| x1x2111| | (2) 2( 2) 24x2 x 2xx 4FM142212111y1 y22× ( 4) 4 2 因?yàn)閨 |、| 分別等于 、到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn) 1 的距

10、離，所以AFBFA By11| AB| | AF| | BF| y1 y2 2 2 ( )2 11于是S 2| AB|FM| ( )3 ，1由 2 知 S 4，且當(dāng) 1 時(shí)， S 取得最小值 4例 3（ 2007 江蘇卷， 理 19 題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，過(guò) y 軸正方向上一點(diǎn) C (0,c) 任作一直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)y = x 2 相交于 AB 兩點(diǎn)，一條垂直于x 軸的直線(xiàn)，分別與線(xiàn)段 AB 和直線(xiàn) l : y = - c 交于 P,Q ，uuur uuur2 ，求 c 的值；（ 5 分）（ 1）若 OA ?OB精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（ 2）若 P 為線(xiàn)段 AB 的中點(diǎn)，求證： QA

11、 為此拋物線(xiàn)的切線(xiàn)； （ 5 分）（ 3）試問(wèn)（ 2）的逆命題是否成立？說(shuō)明理由。（4 分）解：（ 1 ）設(shè)過(guò)C 點(diǎn)的直線(xiàn)為y = kx + c ，所以 x2 = kx + c( c>0) ，即 x2 - kx -c = 0 ，設(shè)A(x1, y1 ), B (x2 , yuuuruuuruuuruuur2 ) ， OA =(x1, y1 )， OB = (x2 ,y2 )，因?yàn)?OA?OB 2，所以x1x2 + y1y2 = 2 ，即 x1x2 + (kx1 + c)(kx2 + c) = 2 ， x1x2 + k2 x1x2 - kc (x1 + x2 )+ c 2 = 2所以 - c

12、 -k 2c + kcgk + c 2= 2 ，即 c2 - c - 2 =0, 所以 c = 2 (舍去 c = -1)（ 2 ） 設(shè) 過(guò) Q 的 切 線(xiàn) 為 y - y1 = k1 (x - x1 ) ， y / = 2x ， 所 以 k1 = 2x1， 即驏c÷22y = - cM?x1y = 2x1 x - 2x1+ y1 = 2x1 x - x1， 它 與的交點(diǎn)為?-÷， 又?,- c÷?2x1÷桫2驏驏2驏cx1 + x2 y +÷k1y ÷ 2 k k÷= x?÷?÷?,-P?,= ? ,c

13、，所以 Q?- c÷= - c2，所以， 因 為 x x, 所 以?÷?÷?÷1 2÷÷x?÷ ?22桫21桫 2桫2驏x2÷驏x1k÷?÷?M?+÷所以點(diǎn) M和點(diǎn) Q重合，也就是QA為此拋物線(xiàn)的切線(xiàn)。, - c = ? ,- c ,?÷?÷÷÷?2桫桫22驏÷k,?÷（ 3）（ 2）的逆命題是成立， 由（ 2）可知 Q- c ，因?yàn)?PQ x 軸，?÷?÷桫2驏所以 P ?k , y ÷

14、7;?桫2P ÷÷因?yàn)?x1 + x2 = k ，所以 P為 AB的中點(diǎn)。22例 4（ 2008 山東卷，理22 題）如圖，設(shè)拋物線(xiàn)方程為x 2= 2py( p > 0) ， M 為直線(xiàn) y = - 2p 上任意一點(diǎn)，過(guò) M 引拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B （）求證： A， M ，B 三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（）已知當(dāng) M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (2，- 2p) 時(shí)， A B = 410 求此時(shí)拋物線(xiàn)的方程；（）是否存在點(diǎn)M ，使得點(diǎn) C 關(guān)于直線(xiàn) AB 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)2D 在拋物線(xiàn) x = 2py( p > 0) 上，其中，uuuruuuruuur點(diǎn)C 滿(mǎn)足OC =OA +

15、 OB （ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)） 若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M 的坐標(biāo)；若不精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)存在，請(qǐng)說(shuō)明理由驏2鼢驏2瓏x1x2瓏，鼢，解：（）證明：由題意設(shè)A x，B xx< x鼢M (x - 2p ) 瓏鼢2120瓏12p鼢2p桫桫由 x 2 = 2py 得 y = x2 ，得 y = x ，2pp所以 kMA=x1， kMB=x2pp因此直線(xiàn) MA 的方程為 y +2p=x1 (x -x0 ) ，直線(xiàn) MB 的方程為 y + 2p =x2 (x - x0 ) pp所以 x12+ 2p =x1 (x1 - x0 ) ，x22+ 2 p =x 2 (x2 - x0 ) 2pp2pp由、得

16、 x1 + x2 = x1 + x2 -x0 ，2因此 x0=x1 + x2 ，即 2x0 = x1 + x2 2所以 A， M ， B 三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列（）解：由（）知，當(dāng)x0=2時(shí)，將其代入、并整理得：2222x1 - 4x1 - 4 p = 0 ，x2 - 4x 2 - 4p = 0 ，所以 x1， x22-20 的兩根，是方程 x4x - 4 p =因此 x1 + x2 = 4 ， x1x2 = - 4p 2 ，又 kAB =x22-x12x1+ x2x0 ，所以 kAB =22p2p =p x 2 -x12pp由弦長(zhǎng)公式得AB =1 + k22- 4x1x2 = 1 +42(

17、x1 + x2 )2 16 + 16pp又 A B= 410，所以 p =1或 p =2 ，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)因此所求拋物線(xiàn)方程為x2=2y或 x 2 =4y（）解：設(shè) D (x 3， y3 ) ，由題意得 C (x1 + x2， y1+ y2 ) ，驏+ x2 + x 3 y1 + y2 + y3 ÷x1則的中點(diǎn)坐標(biāo)為?，÷CDQ?，?÷÷?22÷桫設(shè)直線(xiàn) AB 的方程為 y - y1 =x0(x - x1 ) ，p驏+ x2 y1+ y2 ÷x0x1由點(diǎn) Q 在直線(xiàn)上，并注意到點(diǎn)?，÷上，代入得 y=xAB?也在直線(xiàn)AB3

18、3?÷?22÷p桫若 D ( x3，y3 ) 在拋物線(xiàn)上，則 x32= 2py 3=2x 0x3 ，驏2x2D (0，0)?0 ÷因此或 D?，÷x= 0 或 x= 2x即2x0330?÷÷?p÷桫（ 1）當(dāng) x0=0時(shí)，則 x1 + x 2 = 2x0 =0 ，此時(shí)，點(diǎn) M (0，-2p)適合題意驏22x12 + x2222D (0，0)?x1+ x2 ÷x1 + x2（ 2）當(dāng)，此時(shí)?，÷，x010，對(duì)于C ?2x0，2p =÷k=?2p÷4px 0桫÷CD2x0x0x

19、02222又 kAB=， AB CD ，所以 kAB gkCD =x1 + x2x1 + x2= - 1，ppg4px0=4p222= -2即 x1 + x24p，矛盾驏2÷驏22÷?2x0?x1+ x2平行于 y 軸，對(duì)于，÷，÷D?，因?yàn)镃?，此時(shí)直線(xiàn)CD?2x0÷?2x0÷?p÷?2p÷桫÷÷桫x又 kA B = 0 ? 0 ，所以直線(xiàn) AB 與直線(xiàn) CD 不垂直，與題設(shè)矛盾， p所以 x0 1 0 時(shí)，不存在符合題意的M 點(diǎn)綜上所述，僅存在一點(diǎn)M (0，- 2p) 適合題意精彩文檔實(shí)用標(biāo)

20、準(zhǔn)例5 （ 2008江 西 卷 ， 理 21 題 ） 設(shè) 點(diǎn) P (x 0, y0 ) 在 直 線(xiàn)x =m(y貢,m0<<m)1上，過(guò)點(diǎn) P 作雙曲線(xiàn) x 2 -y 2 = 1 的兩條切線(xiàn) PA、 PB ，切點(diǎn)為 A、 B ，定點(diǎn) M ( 1，0) m（ 1）過(guò)點(diǎn) A 作直線(xiàn) x -y = 0 的垂線(xiàn)， 垂足為 N ，試求 AMN的重心 G 所在的曲線(xiàn)方程；（ 2）求證： A、 M 、 B 三點(diǎn)共線(xiàn)證明：（ 1）設(shè) A(x1, y1 ), B (x2 ,y 2) ，由已知得到 y1 y210，且 x 2- y2= 1 ， x2- y2= 1 ，1122ì?= k(x - x1)設(shè)切線(xiàn) PA 的方程為： y -y1 = k(x -?y - y1得x1) 由 íx2-y2