整理反對稱張量在N維空間中的幾何意義

1、反對稱張量在N維空間中的幾何意義By wxy目錄推廣的猜想、通過平面構(gòu)造二階張量面量的基本性質(zhì)面量的模單位面量面量的“方向”、意義面量的“點(diǎn)乘”構(gòu)造四維二階張量四維空間中平面間的位置關(guān)系射影面積定理推廣四維空間中平面間的夾角位置術(shù)語高維空間“叉乘”推廣向量間的叉乘：求法平面標(biāo)量與面量間的叉乘：求平面的法平面叉乘與點(diǎn)乘的關(guān)系1標(biāo)量與標(biāo)量間的叉乘：得置換張量面量與面量間的叉乘：得標(biāo)量面量與面量間的叉乘的幾何意義叉乘與點(diǎn)乘的關(guān)系2面量與奇異面量面量之和有意義的條件面量與向量的叉積:得到向量推廣的猜想、通過平面構(gòu)造二階張量張量是向量的推廣。在N維空間中向量有N個(gè)分量，而張量則有N的階數(shù)次方個(gè)分量 因?yàn)?/p>

2、張量、向量在歐氏空間中具有平移不變性，所以我們干脆只討論已經(jīng)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)的張 量。標(biāo)量（0階張量）可以表示N維空間中有“大小”、“正負(fù)”的原點(diǎn)；向量（一階張量）可以表示N維空間中過原點(diǎn)的一條有方向有“大小”（長度）的直線；由前面的例子我們希望二階張量能代表有“大小”有“方向”的過原點(diǎn)的平面，但我們該 怎么來具體表示呢？讓我們先從我們已經(jīng)熟知的表示方法開始。已知兩個(gè)在平面內(nèi)的不共線（線性獨(dú)立）的基底a = （%, %,召乙,.）、b =區(qū)，丫2,222，.），我們怎樣表示這個(gè)平面？N維空間中最一般的平面表示方法是P= a。但這個(gè)式子實(shí)際上是個(gè)極其簡陋原始的方程組，用起來不方便，我們平時(shí)熟知的在

3、三維空間中表示平面的方法是表示它的法向量，即4 4 4n二a b,但這條路在四維空間中走不通。因?yàn)樗木S空間中與平面完全絕對垂直的也是平面?。ā敖^對垂直”即在兩平面中各取任意一條直線，它們都垂直，詳見后面“四維空間中平面間的位置關(guān)系”。）我們希望二階張量能表示“大小”，即a和b間圍成的平行四邊形的“面積”，II我們假定面積也能正交分解，投影。 考察任意一個(gè)坐標(biāo)面如xOy平面，a和b間圍成的平行四邊形的面積在這個(gè)坐標(biāo)面的投影為 為丫2-X2yi，我們可以構(gòu)造一個(gè)張量F，使R,j =aD - 0aj，即F =a：b -a：b。為了方便，我們記ab =a：b -a：b。（正反并矢積之差）面量的基本性質(zhì)

4、面量的模張量F即表示向量a和b所決定的平面，我們稱F為“面量”，記為“F”。三維空間中:這樣定義的所有面量都是反對稱張量，面量的模為基向量n =(x, y,z)，*xyexz-0 x2 %X2X1Z2乙X21_0z-y I0eyz=”X2X20yiZ2乙y2=-z0Xe0一Bx2xiZy&一羿0一y-xo一a和b間平行四邊形的面積，即=一0F = -exy我們匸=Jx?+y2+Z2。注意F既不等于det（F），也不是F中每項(xiàng)元素的平方和開方，而是F中每項(xiàng)元素的平方和除以2再開方，那是因?yàn)槎A反對稱張量有一半的項(xiàng)只相差了正負(fù)號，而本質(zhì)上是重復(fù)的，在計(jì)算時(shí)我們其實(shí)只需要一半的數(shù)據(jù)，故用2除

5、去面量的加法就是對應(yīng)項(xiàng)相加單位面量0 001，則任意一個(gè)面量都能寫成-10aExybExzcEyz的形式（三維空間中反對稱張量都能對應(yīng)平面,對稱張量都是面量，詳見后面高維空間叉乘推廣） 面量的“方向”、意義我們可以這樣理解Exy和Eyx間的關(guān)系：它們都表示 一個(gè)是逆時(shí)針。 即一個(gè)面量不僅表示了過原點(diǎn)的平面和它的大小 （面積） ，還表示了一種旋轉(zhuǎn)的 方向。易知：兩個(gè)非零面量A,B，A,B表示的過原點(diǎn)的平面相同=A二kB（匕R,k= 0）。雖然面量的大小代表面積，但它不儲存任何形狀信息，所以我們不能規(guī)定面量代表的具體形狀，它 代表一個(gè)面積大小為面量的模的大小的任意一個(gè)有旋轉(zhuǎn)方向的圖形。面量的“點(diǎn)乘

6、”規(guī)定兩面量間的點(diǎn)乘：F G = FjGj/ 2，即對應(yīng)項(xiàng)積之和除以二。除以二的原因也一樣：去的夾角（一面量在另一面量上投影的旋轉(zhuǎn)的方向與另一面量旋轉(zhuǎn)方向相同為銳角，相反為鈍角）點(diǎn)乘滿足乘法分配率。F（G H F GF H構(gòu)造四維二階張量010 0 100,Exz =0 0 0,Eyz=001.-1 0 0但在四維空間中并不是每個(gè)反設(shè)基底a =(1,0,0)、b =(0,1,0)，則ab = Exy =_0 1 01=f0 1 0-10 0，而ba = -10 00 0 0_i.000_jxOy平面面積為1的面量，但一個(gè)是順時(shí)針,掉反對稱張量重復(fù)的分量規(guī)疋cos：F , G=不難證明：:F,G

7、為F,G所表示的兩平面我們記單位面量Exy =-1000=_ab= _ Exy= Eyx。易知，任意一個(gè)面量都能寫成aExybExzcExtdEyzeEyf Ext的形式。（但并不是每個(gè)四維反對稱張量都是面量，詳見后面高維空間叉乘推廣）兩面量間的點(diǎn) 乘用同樣的定義，但 匚2卻不是簡單的兩面量間夾角余弦值了。要解釋清楚四維面量間的點(diǎn)四維空間中平面A、B間的角度關(guān)系需要用兩個(gè)參數(shù)描述。我們在一個(gè)平面A（或B）上取遍所有直線m，m與B（或A）間所夾的線面角會(huì)有一個(gè)最大值 円和最小值。線面角取最大值時(shí)的直 線m與線面角取最小值時(shí)的直線m相互垂直。射影面積定理推廣三維空間中的射影面積定理在四維空間中同樣

8、成立，只是正方形面積元投影時(shí)兩邊在夾角最大值方向和最小值方向上都要乘上角度的余弦值導(dǎo)致面積變?yōu)樵瓉韈os円cosi倍。而數(shù)量積本質(zhì)是一個(gè)面量乘以另一個(gè)面量在它上面的投影，所以我們得到四維空間面量間的點(diǎn)乘的幾何 意義：F G = F GCOScF,G：maxCOScF,Gmin。而當(dāng)兩個(gè)平面共胞時(shí)最小角為 日2= 0（它們 的交線方向?yàn)樽钚〗欠较颍?，最大角為它們的二面角（二面角的平面角的邊方向垂直于它們的?線，即最大角方向），COSdiCOSl二coscosO二COS弓，此時(shí)退化為三維空間中的射影面積定理。四維空間中平面間的夾角位置術(shù)語平行（絕對平行）：4 = 1=0；即兩平面通過平移能真正完

9、全重合。-0exyexzext1Qcy0eyzeyt-Qmaxcos A, BAmin聯(lián)立式子（1）（2）可計(jì)算任意兩平面間夾角 弓和二2w! mB#I的法向量）得置換張量si n A尼關(guān)系：若H二sin齊sin I， 即*-TX叉乘與點(diǎn)乘的關(guān)系2將式子展開可證：A B=(A B) 1=(B 1)A=(1 A) B= (A 1) B。這有點(diǎn)像向量混合積的類比,但由于標(biāo)量不占置換符號，二階張量占偶數(shù)個(gè)，所以隨便交換不變號面量與奇異面量det(F) =(xy zt-xz yt yz xt)2=(F F)2，顯然不是所有反對稱張量行列式值都為0。我們稱行列式不為零的反對稱張量為奇異面量。任意一個(gè)奇異

10、面量都能寫成兩個(gè)面量的和。面量之和有意義的條件 設(shè)F,G為兩個(gè)非奇異面量，即F F=0,G G=0。而F的奇異性則通過下式體現(xiàn):(F G)(F G) = F F F G G F G 2F G。故可得F G非奇異的充要條件為F G=0。即兩面量共胞。所以四維空間中只有共胞面量相加才有意義。面量與向量的叉積：得到向量面量與向量的叉積得面量與向量決定的三維空間(胞)的法向量，模為圍成的平行六面體體積。幾何意義：丨這里的日是平面與向量的線面角，只有一個(gè)?；旌戏e與點(diǎn)積的推廣根據(jù)面量叉乘的幾何意義,一個(gè)面量自身的叉乘應(yīng)為設(shè)一面量_0 xyxzxtr0ztytyzl-xy0yzyt-zt0 xt-xz-xz

11、-yz0ztyt-xt0 xy-xt-yt-zt0一-yzxz-xy0一-0 xyxzxt-xy0yzyt-xz-yz0zt-xt-yt-zt0 _-xz yt+ yzxt=0。F F =F (1 F)=而=xy ztF二面量與向量的叉積代原始公式計(jì)算麻煩，下面給出化簡式:是一階張量(向量)我們得規(guī)定兩不同階向量間的點(diǎn)乘運(yùn)算。0 x zt y + ytz-yz t zt x +0y xt，z +xz t -yt x +xt，y+0，z _xy，t yz，x xz y+xy z + 0 t；行乘以(x, y,乙t)所對應(yīng)的項(xiàng)，再把每一列加起來，而“張量運(yùn)算構(gòu)成了了一種新的點(diǎn)乘運(yùn)算即F a=(F a) 1=(1 F) a。類似的,為先把兩階張量有著共同階數(shù)的部分相乘，再把不同階數(shù)的部分合并累加, 量階數(shù)之差的新張量。By wxy2014624為了使化簡式成立,我們先看化簡式左邊，先硬性展開。設(shè)_0 xyxzxtl-xy0yzyt-xz-yz0zt.xt-yt-zt0一F =a =(x, y, z,t)，則，_y z十yt -z zfxz* xt-zt-xy t +xty -yt x兇，z xz y + y